上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合，则_______．【答案】【解析】由，则.故答案为：.2.函数的定义域是_______．【答案】【解析】函数的定义域是，所以，解得：或.所以函数的定义域为：.故答案为：.3.若，则_______．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：4.在的二项展开式中，项的系数为_______．【答案】【解析】二项式的通项公式为，令，可得，所以.故答案为：.5.设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______．【答案】【解析】令，可得恒成立，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.6.若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留）【答案】【解析】因为圆锥的底面半径，高，设母线为，则，所以该圆锥的侧面积为.故答案为：7.已知非零复数满足，则的虚部为_______．【答案】【解析】设，则，因为，，所以，解得或（舍去），所以，则的虚部为.故答案为：8.已知，则的解集是_______．【答案】【解析】因为，设，则，所以，所以，不等式，即或，解得或，综上可得的解集.故答案为：9.如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______．【答案】【解析】设分别为的中点，连接，在正三角形ABC中，，，在正方形BCDE中，，，，所以为二面角的平面角，即，.故答案为：.10.双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______．【答案】【解析】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，因为是抛物线的焦点，∴∵，∴，在△中，由余弦定理得，∴，即，解得又∵和是双曲线的左、右焦点，∴，∴.故答案为：.11.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）【答案】【解析】设第二次拍照飞船的实际上升了，所以，解得：，所以拍照时飞船的瞬时速度为：.故答案为：.12.已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．【答案】【解析】由于，可以先将任意排列，再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种，再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种，再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种，以此类推，将插入该数列，共有种.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．13.已知，则“”是“”的（）条件．A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】由题意，，由，即，则或，由，则，所以“”是“”的必要非充分条件．故选：C.14.已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（）．A.事件和事件独立 B.事件和事件互斥C.事件和事件对立 D.事件和事件互斥【答案】B【解析】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.故选：B15.已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．A. B. C.． D.【答案】A【解析】空间中的动点P满足，则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，将正四面体放入如图所示的正方体中，则正四面体的内切球心O为正方体的中心，设正方体的棱长为，所以，所以，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，所以，，，，所以，所以，所以以为邻边的平行四边形面积为：，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，又因为点到平面距离为，以为邻边的平行六面体的体积为：.故选：A.16.设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（）．①存在等比数列以及锐角α，使成立．②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题【答案】A【解析】对于①，若，，成等比数列，即，，则，即，得，在同一坐标系内作和的图象：可知方程，有且只有一解，所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题；对于②，假设存在等差数列以及锐角α，使成立，则必有，当时，显然不成立；当时，，，所以，，所以，则，，即，即，因为，所以，，不存在这样的使得等式成立；当时，，，所以，，所以，同理，因为，所以，，不存在这样使得等式成立；所以②是真命题.故选：A.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤．17.设．（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；（2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．解：（1）因为且函数的最小正周期为，所以，解得，所以，则，由，则，所以当，即时取得最大值.（2）当时，，则，因为，所以，则，解得；因为，所以，由余弦定理，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.18.如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接交于点，连接，，在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点，又、分别是、的中点，所以且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：因为异面直线与所成角为，又，所以即为异面直线与所成角，即，即，又平面，如图建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．（1）求图2中这20名观众满意度评分的第35百分位数；（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；（3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．解：（1）∵，∴第35百分位数为第两个数的平方数（2）由图1可知，图2中有2人，所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，所以.（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，所以，设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，所以，解得：，，解得：.这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．（1）当时，求的值；（2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．解：（1）由椭圆方程知：，，，则，设，，解得：，即，由椭圆定义知：.（2）由（1）知：，，；若存在点，使的面积为，则点到直线的距离，，直线方程为：，即，设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，，解得：或；当时，直线方程为，由得：，解得：或，或，点或；当时，直线方程为，由得：，方程无解，即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点；综上所述：存在满足条件点，点坐标为或.（3）由题意可设直线，，，由得：，，即，，，设线段中点为，则，，，又为中点，，，，即，，直线与轴和轴均不平行，，，，整理可得：，，，解得：，即实数的取值范围为.21.设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．（1）判断是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．（1）解：记，显然，则其是偶函数.当时，，故，所以对恒成立，具有性质.（2）解：，当时严格单调递增，当时严格单调递减.若，则，函数在上严格单调递增，恒成立，此时函数具有性质.若，则函数在上严格单调递减，