广东省深圳市福田区耀华实验学校华文班2024届高三下学期第二次联考（5月）数学试题

广东省深圳市福田区耀华实验学校华文班2023届高三下学期第二次联考（5月）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则实数的大小关系为（）A． B． C． D．2．集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．83．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A．4 B． C． D．4．已知，则的值等于（）A． B． C． D．5．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．6．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．97．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③8．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．9．若集合，，则（）A． B． C． D．10．若函数满足，且，则的最小值是（）A． B． C． D．11．已知集合，集合，则等于（）A． B．C． D．12．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______．14．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.15．若函数为奇函数，则_______.16．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，，，证明：（1）；（2）.18．（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.20．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．21．（12分）已知函数.（1）当时.①求函数在处的切线方程；②定义其中，求；（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.22．（10分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

将化成以为底的对数，即可判断的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得.又因为，故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.2．D【解析】

先确定集合中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．3．D【解析】试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.考点：线性规划.4．A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有，所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选：A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题5．D【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.6．B【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.7．A【解析】逐一考查所给的函数：，该函数为偶函数，周期；将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象，该函数的周期为；函数的最小正周期为；函数的最小正周期为；综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．8．C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.9．B【解析】

根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.【详解】依题意，；而，故，则.故选：B.【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.10．A【解析】

由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足，，即，，，，即，，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.，由于函数在区间上为增函数，所以，当时，取得最小值.故选：A.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】

求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.12．C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【详解】，且)，由得或，即的定义域为或，（且）令，其在单调递减，单调递增，在上是单调函数，其充要条件为即.故选：C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．12【解析】

由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。【详解】由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，则直四棱柱的体积为，又由三棱锥的体积为，解得，即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。14．1296【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.15．-2【解析】

由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.16．【解析】

由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：，设点，则有，由，且解出，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线的方程为，代入消得：，设点，则有，，而，又，解得：，所以离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得证；（2）首先推导出，再利用，展开即可得证.【详解】证明：（1），，，（当且仅当时取等号）.（2），，，，，，，.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．18．（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）【解析】

（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.【详解】（1）设，则由知：点在圆上点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又∴，消去得：顶点的轨迹方程为【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.19．（1）曲线，曲线.（2）.【解析】

（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.【详解】解：由和，得，化简得故：将两边同时乘以，得因为，所以得的直角坐标方程.（2）设直线的极坐标方程由，得，由，得故当时，取得最大值此时直线的极坐标方程为：，其直角坐标方程为：.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.20．矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵的特征多项式为，令，解得，，将代入二元一次方程组，解得，所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围．【详解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切线方程为.②，.令，则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），当时，函数单调递增；当时，，函数单调递减∵，，所以，函数在上的值域为.因为，，故，，①此时，当变化时、的变化情况如下