2025年春初中数学七年级下册冀教版上课课件 9.3 公式法 第2课时 完全平方公式

第九章因式分解七下数学JJ9.3公式法

课时2完全平方公式

1.经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力.2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式.3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值..1.因式分解：2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式法a2-b2=(a+b)(a-b)把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.

多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？a2＋2ab＋b2=a2＋ab＋ab＋b2=a(a＋b)＋b(a＋b)=(a＋b)(a＋b)a2－2ab＋b2=a2－ab－ab＋b2=a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a－b)=(a＋b)2=(a－b)2提公因式提公因式分组

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到整式乘法(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2a2＋2ab＋b2=(a＋b)2a2－2ab＋b2=(a－b)2因式分解a2+2ab+b2

a2－2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍

知识点1完全平方公式的结构特征简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2++尾2±2×首×尾(首±尾)2

知识点1完全平方公式的结构特征例

1

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;

（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.

知识点1完全平方公式的结构特征对照

a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：③

a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²

②m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²

①

x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=(

)²x2x+2

aa

2ba+2b2bmm-33x2

m3

知识点2用完全平方公式分解因式...例2

把下列各式分解因式：(1)t2＋22t＋121；

(2)m2＋n2－mn.解：(1)t2＋22t＋121=t2＋2×11t＋112=(t＋11)2.

知识点2用完全平方公式分解因式

跟踪训练

下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由.(1)x2＋10x＋25；

(2)4m2－4m＋l；(3)4a2＋18ab＋9b2；

(4)m2－4mn＋4n2.解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.

(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.

(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.

(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.

知识点2用完全平方公式分解因式

思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式?具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解.

知识点2用完全平方公式分解因式

解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22=(x＋y－2)2运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.例3

把下列各式分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋.

知识点2用完全平方公式分解因式例4

把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；a2

＋2ab＋b2

＝(a+b)2(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.a2

－＋b2

＝(a-b)22ab

知识点2用完全平方公式分解因式方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

知识点2用完全平方公式分解因式例

5

用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)²

(2)原式＝(34＋16)2=1.＝2500.

知识点2用完全平方公式分解因式例

6

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.

知识点2用完全平方公式分解因式1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(

)A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋9D2.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(

)A．64B．48C．32D．16A3.分解因式：（1）x2-12x+36；（2）－4a2－8ab－4b2；（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.解：(1)原式

=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2.(2)原式

=－4(a2＋2ab＋b2)=－4(a＋b)2.

(3)原式

=[2(2a+b)]²-

2×2(2a+b)×1+1²=(4a+2b-

1)2.4.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.

当ab＝2，a＋b＝5时，5.已知a，b，c分别是三角形ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断三角形ABC的形状，并说明理由．∴三角形ABC是等边三角形．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，公式a2±2ab+