2025年春初中数学七年级下册冀教版上课课件 6.3 二元一次方程组的应用（第2课时）

6.3二元一次方程组的应用

课时2七下数学JJ第六章

二元一次方程组1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念.3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.二元一次方程组的前世今生“方程”:

我国:汉

郑玄

“解九数”《九章算术》

第八卷

“方程”

13世纪

“立天元一为某某”(“设x为某某”)西方:古巴比伦人

古希腊人

拉T文oequation

英文equation亚历山大里亚时期

丢番图

《算术》“元”:表示未知数

我国宋元时期的天元术.李冶

《测圆海镜》和《益古演段》、朱世杰《算学启蒙》和((四元玉鉴)).清末

李善兰

和伟烈亚力

译英国数学家德摩根

《代数学》

创用“多元一次方程”这样的术语现代:二元一次方程组的重要应用例1

我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动.他们分工合作，在一架3150m长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算:“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为42.5s,列车完全在桥上的时间约为32.5s.你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗?知识点1

行程问题列车42.5s内所行路程=桥长+车长列车32.5s内所行路程=桥长-车长知识点1

行程问题思考：(1)问题中涉及了哪些量？(2)画示意图，并寻找等量关系.(3)用x、y分别表示火车的速度(m/s)和长度(m)，列方程组.(4)解答上面的问题.知识点1

行程问题

例2

小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？知识点1

行程问题分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的时间+走下坡的时间=________，走上坡的时间+走平路的时间=_______．路程=平均速度×时间1015知识点1

行程问题方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以，小华家到学校的距离为700m.知识点1

行程问题方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为

xmin,上坡路所花时间为

ymin.

所以，小华家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m）.

坡路距离：80×5=400（m）.知识点1

行程问题变式练习

甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.知识点1

行程问题（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知识点1

行程问题解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得解方程组，得答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.知识点1

行程问题例3

去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？今年，七年级人数+高中一年级人数=500(1+18%)；分析：本题中的等量关系去年，七年级人数+高中一年级人数=500；今年，七年级人数=去年七年级人数+增长数；今年，高中一年级人数=去年高中一年级人数+增长数；知识点2

增长率问题解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名.根据题意，得解得所以答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名.如果将今年两个年级计划招生人数设为未知数，如何列方程组呢？知识点2

增长率问题知识点2

增长率问题基本关系式：增长率＝（增长后的量－增长前的量）/增长前的量×100%；

相等关系：增长前的量×(1＋增长率)＝增长后的量；下降前的量×(1－降低率)

＝下降后的量．【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有总产值/万元总支出/万元利润/万元去年今年(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy200变式练习某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?知识点2

增长率问题去年的总产值-去年的总支出=200万元，

今年的总产值-今年的总支出=780万元．分析关键:找出等量关系.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）今年的总产值=去年总产值×(1+20%）知识点2

增长率问题解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有x-y=200，(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.因此,去年的总产值是2000万元，总支出是1800万元.解得x=2000，y=1800.知识点2

增长率问题实际问题

设未知数、找等量关系、列方程（组）

数学问题

[方程（组）]解方程（组）数学问题的解检验实际问题的答案

知识点2

增长率问题1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(

)B

2.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现在有含蛋白质分别为20％，12％的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？分析本问题涉及的等量关系有：甲配料质量+乙配料质量=总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量.解:设含蛋白质20％的配料需用xkg，含蛋白质12％的配料需用ykg.根据等量关系得解这个方程组得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20％的配料需用37.5kg，含蛋白质12％的配料需用62.5kg.3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来的单价.解:设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.根据等量关系得解这个方程组得答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价为60元.4.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少?分析

设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表.一班二班两班总和学生数达标学生数xy10087.5﹪x75﹪y81﹪×100解:设一、二班的学生数分别为x名，y名.根据题意,得解得答：一、二班的学生数分别为48名和52名.x+y=100，87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100.x=48,y=52.5.某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为10m/s，跑步的平均速度为，自行车路段和长跑路段共5km，共用时15min．求自行车路段和长跑路段的长度．分析：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，