大值、最小值问题课件北师大版选修

大值、最小值问题课程目标1理解大值、最小值的概念掌握求解大值、最小值问题的基本方法。2学会运用函数的性质求解大值、最小值能够灵活运用各种解题技巧解决实际问题。3提升数学思维能力培养分析问题、解决问题的能力。本章内容函数的单调性在定义域内，函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，就称函数具有单调性。函数的极值函数在某个区间内取得的最大值或最小值，称为该函数在该区间内的极值。函数的单调性和极值的关系函数的单调性与极值之间存在着密切的联系。什么是大值、最小值在数学中，大值和最小值是指一个函数或集合中最大的元素和最小的元素。在一个给定的范围内，一个函数可以有许多不同的值，而大值和最小值是指这个函数在这个范围内的最大值和最小值。例如，函数f(x)=x^2在x=1和x=2之间的最大值为f(2)=4，最小值为f(1)=1。大值、最小值的应用优化问题例如，在生产过程中，如何确定最佳生产方案以最大限度地提高利润，或在工程设计中，如何确定最佳材料组合以最小化结构成本。数据分析在数据分析中，我们可以利用大值、最小值来确定数据集中的极值，并分析数据的分布特征。经济学在经济学领域，大值、最小值可以用来分析经济指标的变化趋势，例如股市的波动、商品的价格变化等。如何求解大值、最小值问题1明确函数首先要确定所求解问题中涉及的函数。2确定自变量范围根据实际情况，确定自变量的取值范围，即函数的定义域。3求导数对于连续函数，求导数并分析导数的正负性，确定函数的单调性。4求驻点找到导数为零或导数不存在的点，即函数的驻点。5比较值将函数在定义域端点和驻点处的值进行比较，确定函数的最大值和最小值。问题分类函数类型根据函数类型，分为连续函数、分段函数和常见函数。求解目标求解目标可以是最大值、最小值或两者。约束条件问题可能包含对自变量或函数值的限制。连续函数的大值、最小值定义域确定函数的定义域，以便在该范围内寻找大值和小值。极值找到函数的极值点，这些点可能是最大值或最小值。边界值检查函数在定义域边界上的值，它们也可能是最大值或最小值。连续函数的性质在定义域内，函数图像是连续不断的曲线。当自变量的变化量无限小时，函数值的改变量也无限小。在闭区间上，连续函数一定取得最大值和最小值。求解连续函数的大值、最小值1找到导数首先，我们需要找到函数的导数。2求解驻点然后，我们将导数设置为零，并求解方程以找到驻点。3确定最大值和最小值最后，我们将驻点以及函数定义域的端点代入原函数，比较函数值的大小，就可以找到最大值和最小值。分段函数的大值、最小值1分段函数的定义定义域内，不同区间对应不同解析式2性质分析各段函数性质独立，找到关键点3求解步骤求各段函数大值/小值，再比较分段函数的性质定义域分段函数的定义域是由各段函数的定义域的并集构成，需注意各段函数的定义域是否包含所有实数。值域分段函数的值域是由各段函数的值域的并集构成，需注意各段函数的值域是否包含所有实数。连续性分段函数的连续性取决于各段函数的连续性，以及各段函数在分段点处的函数值是否相等。求解分段函数的大值、最小值1确定函数定义域首先要确定分段函数的定义域，即函数自变量的取值范围。2求出各段函数的大值、最小值分别求出每个定义域区间上的函数的大值和最小值。3比较各段函数的极值将各个区间上的大值、最小值进行比较，找到函数在整个定义域上的最大值和最小值。常见函数的大值、最小值一元二次函数通过配方、判别式、图像等方法求解反比例函数利用函数的单调性、图像等求解指数函数利用函数的单调性、图像等求解对数函数利用函数的单调性、图像等求解一元二次函数的大值、最小值顶点坐标一元二次函数的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)。开口方向当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。对称轴对称轴为直线x=-b/2a。反比函数的大值、最小值1定义域反比函数的定义域是x不等于0的所有实数2单调性当k大于0时，反比函数在定义域的每个区间上是单调递减的3值域当k大于0时，反比函数的值域是y不等于0的所有实数指数函数的大值、最小值1单调性a>1,单调递增2定义域全体实数3值域y>0对数函数的大值、最小值1单调性对数函数的单调性与底数有关。底数大于1时，函数单调递增；底数小于1时，函数单调递减。2定义域对数函数的定义域为正实数，这意味着只能对正数取对数。3值域对数函数的值域为全体实数，这意味着对数函数可以取到任何实数。三角函数的大值、最小值正弦函数y=sinx的值域是[-1,1]，最大值为1，最小值为-1。余弦函数y=cosx的值域是[-1,1]，最大值为1，最小值为-1。正切函数y=tanx的值域是(-∞,+∞)，没有最大值和最小值。余切函数y=cotx的值域是(-∞,+∞)，没有最大值和最小值。大值、最小值问题的解题技巧公式应用运用导数、不等式等数学工具找到函数的极值，从而确定最大值或最小值。图像分析通过观察函数图像，找出函数的最高点或最低点，从而确定最大值或最小值。逻辑推理结合题意和函数性质，进行逻辑推理，推断出最大值或最小值的取值范围。案例分析一我们以一个实际问题为例，说明如何利用导数求函数的最大值和最小值。设某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)=x^2-10x+25(元)，其中x为产品的产量(单位：百件)。已知产品的售价为每件15元，求当产量为多少时，工厂的利润最大？案例分析二某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件15元。为了促销，工厂决定对销量超过100件的部分进行折扣，折扣后的售价为每件12元。问：工厂应该生产多少件产品才能获得最大利润？案例分析三例：已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求函数\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最大值和最小值。解：函数\(f(x)=x^3-3x+1\)的导数为\(f'(x)=3x^2-3\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=-1\)。当\(x=-2\)时，\(f(-2)=-5\)。当\(x=-1\)时，\(f(-1)=3\)。当\(x=1\)时，\(f(1)=-1\)。当\(x=2\)时，\(f(2)=3\)。所以，函数\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最大值为3，最小值为-5。课后练习练习题1.求函数f(x)=x2-2x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最大值和最小值。3.求函数f(x)=sin2x+cos2x在区间[0,2π]上的最大值和最小值。拓展练习4.利用导数求函数y=x3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值。5.求函数f(x)=x+1/x在区间[1,4]上的最大值和最小值。6.在直角坐标系中，求点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和的最小值。课后反思回顾知识点回顾本节课所学的大值、最小值问题概念和解题方法，并思考其应用场景。反思学习过程思考在学习过程中遇到的难点和疑惑，并尝试寻找解决方案。拓展学习内容尝试寻找相关知识的拓展资料，进一步加深对大值、最小值问题的理解。知识拓展优化算法探索如何使用优化算法，如梯度下降法，来有效地找到函数的最小值