《备战2023年高考数学一轮复习》课件-第七章-第3节-空间直线、平面的平行

第3节空间直线、平面的平行课程标准要求1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.必备知识·课前回顾关键能力·课堂突破文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线

,那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为

,

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,所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行⇒线线平行)因为

,

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,所以l∥b必备知识·课前回顾回归教材夯实四基知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理l∥aa⊂αl⊄αl∥αl⊂βα∩β=b平行2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)因为

,

,

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,所以α∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行⇒线线平行)因为

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,所以a∥ba∥βb∥βa∩b=Pa⊂αb⊂αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b重要结论1.平行间的三种转化关系2.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.3.平行问题中的唯一性(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.对点自测D1.平面α∥平面β的一个充分条件是(

)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A;若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B;若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.B2.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线(

)A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,且在平面α内C.有无数条,一定在平面α内D.有无数条,不一定在平面α内解析:过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.故选B.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为

.解析:如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,所以EF∥BD1,又EF⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行4.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的条件是

(填上所有正确的序号).

解析:①③中α,β可能相交也可能平行,②④中α∥β.答案:②④关键能力·课堂突破类分考点落实四翼考点一直线、平面平行的基本问题1.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(

)A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一个平面B解析:若α∥β,则α内有无数条直线与β平行,反之不成立;若α,β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一个平面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不是充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,反之也成立,因此B中的条件是α∥β的充要条件.故选B.C2.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α,β,有如下命题:①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若α∥β,a⊂α,则a∥β;③若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b.以上正确命题的个数为(

)A.3 B.2 C.1 D.0解析:若a∥α,b⊂α,则a与b平行或异面,故①错误;若α∥β,a⊂α,则a与β没有公共点,即a∥β,故②正确;若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b无公共点,得a,b平行或异面,故③错误.所以正确命题的个数为1.故选C.3.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=

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题后悟通解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条件“线在面外”易忽视.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.例1-1(1)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证:FG∥平面AA1B1B;考点二直线与平面平行的判定与性质角度一用线线平行证明线面平行证明:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.又因为CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.(2)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.证明:(2)法一连接DG,CD.设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点,又因为H为BC的中点,所以HM∥BD.因为HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,所以BE∥HF.在△ABC中,因为G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又因为GH⊄平面ABED,HF⊄平面ABED,AB⊂平面ABED,BE⊂平面ABED,所以GH∥平面ABED,HF∥平面ABED.又因为GH∩HF=H,GH⊂平面FGH,HF⊂平面FGH,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.解题策略证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行,注意内外平行三条件,缺一不可.例1-2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BMD于GH.求证:AP∥GH.角度二用线面平行证明线线平行

证明:如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以AP∥OM.又MO⊂平面BMD,AP⊄平面BMD,所以AP∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD=GH,且AP⊂平面PAHG,所以AP∥GH.解题策略1.通过线面平行可得到线线平行,其中一条线应是两平面的交线,要树立这种应用意识.2.利用线面平行的性质必须先找出交线.例1-3如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F,G分别是棱BC,AD,PA的中点.(1)求证:PE∥平面BFG;角度三利用面面平行证明线面平行

(1)证明:如图,连接DE.因为在矩形ABCD中,E,F分别是棱BC,AD的中点,所以DF=BE,DF∥BE,所以四边形BEDF是平行四边形,所以DE∥BF.因为G是PA的中点,所以FG∥PD.因为PD⊄平面BFG,DE⊄平面BFG,FG⊂平面BFG,BF⊂平面BFG,所以PD∥平面BFG,DE∥平面BFG.又PD∩DE=D,PD⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,所以平面PDE∥平面BFG.因为PE⊂平面PDE,所以PE∥平面BFG.例1-3如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F,G分别是棱BC,AD,PA的中点.(2)若PD=AD=1,AB=2,求点C到平面BFG的距离.

解题策略证明线面平行,可先证明直线所在的平面同另一个平面平行,再运用面面平行的性质得到线面平行.[针对训练]1.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.求证:MN∥平面C1DE.2.如图,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形.证明:因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD.因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面BCFE∩平面PAD=EF,BC⊂平面BCFE,所以BC∥EF.因为AD=BC,AD≠EF,所以BC≠EF,所以四边形BCFE是梯形.考点三面面平行的判定与性质例2如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;证明:(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.例2如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明:(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,A1E⊂平面EFA1,EF⊂平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.[典例迁移1](变条件)在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.证明:如图所示,连接A1B,因为D为BC1的中点,H为A1C1的中点,所以HD∥A1B.又HD⊄平面A1B1BA,A1B⊂平面A1B1BA,所以HD∥平面A1B1BA.[典例迁移2](变条件)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.解题策略判断、证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.考点四平行关系的探索问题例3如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.(1)求证:平面ABF∥平面DCE;(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF,又DE⊂平面DCE,AF⊄平面DCE,所以AF∥平面DCE,因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD,又CD⊂平面DCE,AB⊄平面DCE,所以AB∥平面DCE,因为AB∩AF=A,AB⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.例3如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.(2)在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5?若存在,求出点G的位置;若不存在,请说明理由.解题策略解决这种数值或存在性问题的题目时,注意先给出具体的值或先假