七年级数学下学期第一次月考测试卷（北师大版2024）测试范围：整式的乘除~相交线与平行线

2025学年七年级数学下学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：整式的乘除~相交线与平行线（北师大版2024）。第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．a3b2÷a2b＝a C．（b2）5＝b7 D．m2•m5＝m7【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（﹣2a）2＝4a2，故A不符合题意；B、a3b2÷a2b＝ab，故B不符合题意；C、（b2）5＝b10，故C不符合题意；D、m2•m5＝m7，故D符合题意；故选：D．2．（3分）华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：D．3．（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）A．（4x﹣3y）（3y﹣4x） B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y） C．(−14x+2y)(14x+2y) D．（3y+2【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2和完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2判断即可．【解答】解：A、（4x﹣3y）（3y﹣4x）＝﹣（4x﹣3y）2，用的是完全平方公式，故选项A符合题意；B、（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）＝（﹣4x）2﹣（3y）2，用的是平方差公式，故选项B不符合题意；C、（−14x+2y）（−14x﹣2y）＝（−14x）2﹣（2D、（3y+2x）（3y﹣2x）＝（3y）2﹣（2x）2，用的是平方差公式，故选项D不符合题意；故选：A．4．（3分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；②∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；③∵∠C＝∠5，∴AD∥BC，④∵∠A+∠ADC＝180°∴AB∥CD，故选：B．5．（3分）如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线【分析】根据垂线段最短判断．【解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短．故选：B．6．（3分）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】分别根据线段的性质，平行线的定义，平行线的性质，余角和补角，对顶角的性质分别判断即可．【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误；②两点之间线段最短，原说法错误；③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；④相等的角不一定是对顶角，原说法错误；⑤等角的补角相等，原说法正确；⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；所以不正确的有①②③④⑥，共5个，故选：D．7．（3分）如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．−【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案．【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，又∵计算的结果不含x5项，∴﹣4m＝0．∴m＝0．故选：A．8．（3分）如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°【分析】过点A作AF∥BE，利用平行线的性质可得∠BAF＝∠3，从而可得∠CAF＝∠3﹣∠1，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AF∥CD，从而可得∠CAF+∠2＝180°，进而可得∠3﹣∠1+∠2＝180°，即可解答．【解答】解：过点A作AF∥BE，∴∠BAF＝∠3，∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1，∴∠CAF＝∠3﹣∠1，∵CD∥BE，∴AF∥CD，∴∠CAF+∠2＝180°，∴∠3﹣∠1+∠2＝180°，即∠2+∠3﹣∠1＝180°，故选：D．9．（3分）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．30【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积．【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①，由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②，由①﹣②得2ab+40﹣50＝0，∴ab＝5，即长方形的面积为5，故选：A．10．（3分）如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①∠AEC=90°−12α；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FEDA．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【分析】根据平行线的性质，角平分线和垂直定义逐个分析计算即可．【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，∴∠CGE＝∠GEB＝a，∴∠AEG＝180°﹣a，∵CE平分∠AEG，∴∠AEC＝∠CEG=12∠AEG＝90°−故①正确；∵∠CED＝90°，∴∠AEC+∠DEB＝90°，∴∠DEB=12a=1即DE平分∠GEB，故②正确；∵EF⊥CD，AB∥CD，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC+∠CEF＝90°，∴∠CEF=12∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB=12∴∠CEF＝∠GED，故③正确；∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°−12∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°+12∴∠FED+∠BEC＝180°，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y＝4．【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵5x﹣3y＝2，∴原式＝25x﹣3y＝22＝4，故答案为：4．12．（3分）一个角的余角的3倍比这个角的补角少12°，则这个角的度数为51°．【分析】先设这个角为x°，再根据互为余角和补角的定义求出这个角的余角和补角，然后根据这个角的余角的3倍比这个角的补角少12°，列出方程，求出这个角即可．【解答】解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90﹣x）°，这个角的补角为（180﹣x）°，由题意得：3（90﹣x）+12＝180﹣x，270﹣3x+12＝180﹣x，282﹣3x＝180﹣x，2x＝102，x＝51，∴这个角的度数为51°，故答案为：51°．13．（3分）已知多项式x3﹣2x2+ax﹣1为被除式，除式为bx﹣1，商式为x2﹣x+2，余式为1，则这个多项式为x3﹣2x2+3x﹣1．【分析】由题意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1，整理为x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1，得出b＝1，a＝2b+1，进而得出b＝1，a＝3，代入多项式x3﹣2x2+ax﹣1，即可得出答案．【解答】解：由题意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1，∴x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1，∴b＝1，a＝2b+1，∴b＝1，a＝3，∴x3﹣2x2+ax﹣1＝x3﹣2x2+3x﹣1，故答案为：x3﹣2x2+3x﹣1．14．（3分）已知a−b=b−c=c−a=35，a2+b2+c2【分析】利用完全平方公式求出（a−b），（b−c），（a−c）的平方和，然后代入数据计算即可求解．【解答】解：∵a−b=b−c=c−a=3∴(a−b)2=925∴a2−2ab+b2=∴2a∴2(a∵a2+b2+c2＝1，∴2−2(ab+bc+ac)=27∴ab+bc+ca=23故答案为：235015．（3分）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是112．【分析】按照题目所给规律依次写出6，7，8次方的等式，就可以发现系数之间的规律，结合所要求的的式子a换成2x，b换成﹣1．即可得到答案．【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8的等式，右边各项的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．16．（3分）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，AB∥CD，折痕分别为AD，CB，若∠DAB＝2∠GCB，DF∥CG，则∠ADF＝60°．【分析】根据折叠的性质得出∠GCB＝∠4，∠7＝∠ADF，根据已知条件得出∠3＝∠2＝α，进而得出∠FDC＝∠FDA＝∠7＝α．【解答】解：如图所示，根据折叠可得∠GCB＝∠4，∠7＝∠ADF，设∠7＝∠ADF＝α，∵AB∥CD，∴∠1＝∠4+∠GCB＝2∠GCB，∠3＝∠7＝α，∠6＝∠FDC，∴∠3＝∠ADF＝α，∵AE∥DF，CG∥BH，DF∥CG，∴CG∥AE，∠2＝∠5，∴∠1＝∠2＝2∠GCB，∵∠DAB＝2∠GCB，∴∠3＝∠2＝α，∴∠FDC＝∠5＝∠2＝α，即∠FDC＝∠FDA＝∠7＝α，又∵∠7+∠ADF+∠FDC＝180°，即3α＝180°，解得：α＝60°，∴∠ADF＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）简便运算：（1）（﹣0.125）2024×82025；（2）20242﹣2023×2025．【分析】（1）利用积的乘方法则将原式变形后计算即可；（2）利用平方差公式变形后计算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125×8）2024×8＝（﹣1）2024×8＝8；（2）原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）＝20242﹣20242+1＝1．18．（8分）先化简，再求值：[(2x−y)2−4(x−y)(x+y)]÷(−12【分析】应用完全平方公式和平方差公式，将中括号中的式子展开，合并同类项后，在根据多项式除单项式进行化简，将4x＝5y代入，即可求值．【解答】解：[=(4x=(−4xy+5y＝8x﹣10y，当4x＝5y时，原式＝2×4x﹣10y＝2×5y﹣10y＝0．19．（8分）幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．（2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解；（2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小．【解答】解：（1）∵3m×9m×27m＝312，∴3m×（32）m×（33）m＝312，∴3m×32m×33m＝312，∴m+2m+3m＝12，∴6m＝12，解得：m＝2；（2）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，∵32＜81＜125，∴3211＜8111＜12511，∴a＜b＜c．20．（8分）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的补角相等），∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的补角相等），∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．21．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD．（1）OE、OF有什么位置关系，请说明理由；（2）若∠AOC：∠AOF＝2：3，求∠BOE的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠AOE=12∠AOC，∠AOF=（2）先证明∠AOF＝3∠AOE，再由（1）得到3∠AOE+∠AOE＝90°，据此求出∠AOE＝22.5°，再利用平角的定义求解即可．【解答】解：（1）OE⊥OF，理由如下：∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD，∴∠AOE=1∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=1∴OE⊥OF；（2）由（1）得∠AOE+∠AOF＝90°，∵∠AOC：∠AOF＝2：3，∴2∠AOE：∠AOF＝2：3，∴∠AOE：∠AOF＝1：3，即∠AOF＝3∠AOE，∴3∠AOE+∠AOE＝90°，∴∠AOE＝22.5°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝22.5°＝157.5°．22．（10分）问题情景：如图1，AB∥CD．（1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为90°．（2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，则∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°；（2）同（1）求解即可；（3）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，再证明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°，故答案为：90°；（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：如图所示，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP；（3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下：如图所示，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE，∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP，∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．23．（10分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2；（2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝33；【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是3．【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为（a﹣b）的小正方形的面积；（2）根据两种方法得到的面积相等列出等式；（3）根据完全平方公式变形求值即可求解．（4）根据阴影部分面积等于12【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）∵a﹣b＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33，故答案为：33．（4）阴影部分面积等于1=1=−ab=1∵a+b＝6，ab＝6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12，∴阴影部分面积等于14故答案为：3．24．（12分）如图（a）所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝120°，∠2＝90°．（2）如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0°＜n＜90°，且点C恰好落在DG边上时，①∠