押浙江杭州卷第23题（一）（圆的综合问题：与三角形、相似、三角函数相结合）-备战2023年中考临考题号押题【浙江杭州专用】（原卷版）

备战2023年中考临考题号押题【浙江杭州专用】押浙江杭州卷第23题（圆的综合问题：与三角形、相似、三角函数相结合）关于圆的综合性问题，往往是杭州中考试题中的压轴题，特别是圆与三角形的综合问题近两年出现频率较高。其考查容涉及到了方程、三角形全等与相似、特殊四边形性质及其圆的相关知识点，解决这类问题要求学生必须稳固各方面的数学知识，熟练把握有关推理证明、计算分析、动态变化、分类讨论等多方面的类型题。1.有关切线问题解题技巧为：抓“相切”，连接圆心与切点。常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．求线段长问题解题技巧为：若题干中出现三角函数时，一般考虑用三角函数解题；若题于中不含三角函数,一般考虑用相似三角形或勾股定理解题。证明两线段相等问题解题技巧为：若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的半来证明；若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明。三角形外接圆解题技巧为：一般我们会先构造一条直径，然后再根据题目的一些已知条件构造特殊的三角形和边角关系，从而求解。1．（2021•杭州）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．（1）求证：．（2）已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．（3）已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．2．（2020•杭州）如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接．（1）设的半径为1，若，求线段的长．（2）连接，，设与交于点，①求证：．②若，求的度数．3．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．（1）若，①求证：．②当时，求面积的最大值．（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．4．（2017•杭州）如图，已知内接于，点在劣弧上（不与点，重合），点为弦的中点，，与的延长线交于点，射线与射线交于点，与交于点，设，，，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明；（2）若，，的面积为的面积的4倍，求半径的长．一．解答题（共20小题）1．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当∠CBD＝45°，DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．2．（2023•杭州一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？3．（2023春•西湖区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结AD，已知AE＝CD，BE＝2．（1）求⊙O的半径长；（2）若点G是AF的中点，连结DG，求AG的长；（3）在（2）的条件下，连结GC，求△CDG与△ADG的面积之比．4．（2022秋•西湖区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．（1）求证：△DBC是等腰三角形．（2）若DA＝DF．①求证：BC2＝DC•BF．②若⊙O的半径为5，BC＝6，求S△BCF5．（2022•萧山区校级二模）如图，已知线段AB＝8，点D为线段AB上的任意一点（点D不与A，B重合），过点D作DC⊥AB，且CD＝4，过A，C，D三点作⊙O交BC于点P，连接AP交CD于点E．（1）若AP平分∠BAC．①求∠ACD的度数：②求CE的长：（2）作直径垂直AB交AB于M，AP于点N．记AM＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并说明当MN的长度最大时，直线BC与⊙O相切．6．（2022•西湖区模拟）（1）如图1，扇形AOB的半径为2，∠AOB＝90°，点C，D，E分别是线段OA，弧AB，线段OB上的点，若四边形COED为正方形，求CD的长；（2）如图2，扇形AOB的半径为2，∠AOB＝120°，点C为线段OA的中点，CD∥OB交弧AB于点D，连接BD，求CD的长；（3）如图3，扇形AOB的半径为2，将其沿AB折叠，弧AB与射线BO交于点E，连接AE，若AE=3求BE的长．7．（2022•下城区校级二模）如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连结AD、AC，CD，线段AD与直径BC相交于点E．（1）若∠ACB＝60°，求sin∠ADC的值．（2）当CD=①若CE=2，BC⋅CEAB=②若CD＝1，CB＝4，求线段CE的长．8．（2022•上城区校级二模）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D，E是⊙O上的两点，连结DE交AB于G，交BC于H．（1）如图1，连结AD，AE，DB，若∠CAD＝10°，求∠AED的度数．（2）如图2，若DE⊥AB，求证：DG2﹣HG2＝CH•HB．（3）若2BE=AE且AB＝10，作DP⊥AE交AE于P，交CE于N，过D点作MD⊥DP交EC的延长线于M，当PD9．（2022•杭州模拟）如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连结CB，DB，若DBCB=1（3）如图2，连结DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若OA＝3，BT＝62．求DG的长．10．（2023•淳安县一模）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．①求证：△ABD∽△DBE；②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．11．（2022•西湖区校级二模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC=35，AD⊥BC于点D，P是边AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交AD于点M，过C，P，M三点作⊙O交AD的延长线于点N，连接CN，（1）①线段CD的长为；②求证：CN＝PN；（2）如图2，连接BN，若BN与⊙O相切，求此时⊙O的半径r；（3）在点P的运动过程中，试探究线段MN与半径r之间的数量关系，并说明理由．12．（2022•西湖区校级模拟）如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点．（1）若∠ACB＝56°，求∠ADC的度数；（2）当CD=12AC时，连接CD、AD，其中AD与直径BC相交于点E，求证：2CD2＝（3）在（2）的条件下，若∠COD＝45°，CB=2，求BC⋅CE13．（2022•萧山区一模）如图，已知半径为r的⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结BC，BD．设k=DECE（（1）若AB＝DC．①求证：CE＝BE；②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值；（2）若AD=BD=90°，且AE14．（2022•钱塘区二模）已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．（1）如图1，①求⊙O的半径；②求sin∠CMD的值．（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求HE•FH的值．15．（2022•西湖区一模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝8，∠AOB＝90°，点C，D分别在半径OA，OB上（点C不与点A重合），连结CD．（1）当sin∠ODC=45，BD＝CD时，求（2）点P是弧AB上一点，PC＝PD．①当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求证：PC⊥PD．②当OC＝4，∠PDO＝90°时，求S△PCD16．（2022•拱墅区一模）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，点F是BD的中点，连接BE，CF交于点G．（1）求证：CE=（2）若∠ABC＝45°，BO＝r，求线段AD的长（用含r的代数式表示）．（3）若BC＝3AD，探索CG与FG的数量关系，并说明理由．17．（2022秋•滨江区期末）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F．连接AC，BO．（1）求证：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求DFDE（3）如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r．求图中阴影部分的面积（结果用含r的代数式表示）．18．（2022秋•杭州期末）如图，⊙O的半径为1，直径AB，CD的夹角∠AOD＝60°，点P是BD上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M，N．（1）若PC⊥AB，求证：PA⊥CD．（2）当点P在BD上运动时，①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明．②求证：PA+PC=319．（2020秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）如