中考数学二轮培优题型训练压轴题08二次函数与面积最值定值问题（六大类型）（原卷版）

压轴题08二次函数与面积最值定值问题（六大类型）题型一：二次函数与三角形面积最值问题例1．如图，已知抛物线y=12x2+bx过点A（﹣4，0）、顶点为B，一次函数y=12x+2的图象交y（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；②请直接写出△MHN面积的最大值．题型二：二次函数与三角形面积等积问题例2．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴．（1）求直线AB的解析式；（2）求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；（4）若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．题型三：二次函数与四边形面积最值问题例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A（3，0），该抛物线的对称轴为直线x＝1．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点B、C的坐标；（3）将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．题型四：二次函数与面积分割问题例4．已知抛物线y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的顶点C在定直线l上．（1）求C点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；（3）当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）时，是否存在直线n满足以下三个条件：①n与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），且与线段AC交于点P；②∠APN＝2∠ACO；③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．题型五：二次函数与面积比问题例5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=23x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线（1）填空：b＝；（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．题型六：函数关系与面积问题例6．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；②当58≤S≤15

一、解答题1．（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(−2,0)，点P(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于

A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y=−x+3与x轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)点Mt,0是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN=2t，△MNB的面积为154时，求出点M与点4．（2023·广西贵港·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4，0)(1)求抛物线的表达式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S5．（2023·新疆克孜勒苏·统考一模）如图所示，抛物线y=−x2+2x+3的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(1)求抛物线顶点D的坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC的面积最大，求点M的坐标及四边形ABMC面积的最大值；(3)点E在抛物线上，当∠EBC=∠ACO时，直接写出点E的坐标．6．（2023·广东珠海·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A−1,0、B4,0，与y轴交于点C0,2．点D为抛物线第四象限一动点，连接AC、BC、BD(1)求抛物线的解析式；(2)当S△BCD=S(3)在第（2）问的条件下，延长线段AC、DB交于点E．请判断△ADE的形状，并说明理由．7．（2023春·上海·八年级专题练习）在边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=x，S△PCE(1)求证：DF=EF；(2)当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)点P在运动过程中能否使△PEC为等腰三角形？如果能，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．8．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）在平面直角坐标系中xOy中，二次函数y=ax2+bx+2a<0的图像与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是二次函数图像上位于线段BC上方的一个动点．①如图，连接AC，CP，AP，AP交BC于点E，过点P作AC的平行线交BC于点Q，将△PEQ与△PCE的面积比S△PEQS△PCE记为a，将△PCE与△ACE的面积比S△PCES△ACE记为②已知点N是y轴上一点，若点N、P关于直线AC对称，求CN的长．9．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为y=−x+6，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线y=−29x2+bx+c交x轴于点A和点B(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，点D在线段OB上，连接PD、CD，∠PDC=45°，点F在线段BC上，EF⊥BC，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若∠GED+∠DCE=180°，DC>DE，S△CDE=15，求点10．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca<0与x轴交于A−2,0、B(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N点的坐标．11．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中A(−4,0)、B(1，0)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM，交线段AC于点D，求SΔADMS(3)连接CM，是否存在点M，使得∠ACO+2∠ACM=90∘，若存在，求12．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，已知抛物线L:y=x2+bx+c的图象经过点A0,3，B1,0．过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；(3)若将抛物线向上平移ℎ个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出ℎ的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023·广东珠海·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为(4,0)(1)求抛物线y=−12x(2)点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ=45°？若存在，求出点Q的坐标．14．（2023·广西梧州·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A−6，0，B0，8，C8，0，点P为线段AC上的一动点（点P与点A，C不重合），过点P作PQ∥BC交AB于点Q，将(1)当点D恰好落在BC上时，求点P的坐标；(2)若△PDQ与△ABC重叠部分面积S与点P横坐标t之间的函数解析式为S=a(t+6)2(−6<t≤1)−(3)是否存在点P，使得∠BDQ为直角？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+ax+1（a为常数），经过点P2,−7，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、(1)求抛物线的解析式．(2)若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC，求△PBC的面积．(3)当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围．(4)已知点M2m−1,−7、N2m−1,12m+1、E2,12m+116．（2023·广西贺州·统考一模）如图1，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y(1)求点A，B，C的坐标；(2)设点P的横坐标为m，请用含m的式子表示线段PD的长；(3)如图2，连接OP，交线段BC于点Q，连接PC，若△PCQ的面积为S1，△OCQ的面积为S2，则17．（2023·辽宁辽阳·统考一模）如图，在平而直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A−2,0，B4,0(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．18．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0，点B−3,0，与y(1)求抛物线的解析式及顶点坐标D；(2)如图1，点Ex,y是线段BD上的动点（不与B，D重合），EF⊥x轴于F，设四边形OFEC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+3向下平移k个单位长度，平移后的顶点为D'，与x轴的交点是A'，B19．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A3,0和点B，对称轴是直线x=2，与y轴交于点C，点P在抛物线上（不与(1)当a=2时．①求抛物线的解析式；②点P在直线AC的下