四川省自贡市2024-2025学年高三上册适应性联考数学模拟检测试题（一模）

四川省自贡市2024-2025学年高三上学期适应性联考数学模拟检测试题（一模）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在木试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求。1.若随机变量，且，，则）等于（）A. B. C. D.2.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.18 B.21 C.54 D.633.设圆与圆，点A，B分别是，上的动点，M为直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.已知直线和直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）A.192种 B.252种 C.268种 D.360种6.设的三个顶点为复平面上的三点，，，满足，，，则内心的复数坐标z的虚部所在区间是（）.A. B. C. D.前三个选项都不对7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，M和N分别是的重心和内心，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.68.正整数a，b，，且，，满足这样条件的（a，b，c）的组数为（）A.60 B.90 C.75 D.86二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。9.已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的可能值为（）A. B. C. D.10.曲线C的方程为，下列对曲线C的描述正确的是（）A.曲线C关于原点对称B.曲线C与椭圆无公共点C.曲线C所围成的封闭图形的面积大于椭圆围成的封闭图形的面积D.曲线C上的点到原点距离的最大值为a11.在棱长为2的正方体中，Q是的中点，下列说法正确的是（）A.若P是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值B.三棱锥外接球的半径为C.若AQ与平面AC，平面，平面所成的角分别为，则D.若平面ABQ与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分。12.曲线在，两点处的切线分別为，，且，则_______；若，互交点的横坐标为，则______.（第一空2分，第二空3分）13.设函数，其中a，b，c是的三条边长，且有，.给出下列四个结论：①若，则的零点均大于1；②岩，，，则对任意，，，都能构成一个三角形的三条边长；③对任意，；④若为直角三角形，则对任意，.其中所有正确结论的序号是______.14.设a，，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，，，且，则的值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤。15（本小题满分13分）已知圆和点，P为圆C外一点，直线PQ与圆C相切于点Q，.（1）求点P的轨迹方程；（2）记（1）中的点P的轨迹为T，是否存在斜率为的直线l，使以l被曲线T截得得弦MN为直径得圆过点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.16（本小题满分15分）随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以内店内无门槛优惠10元、20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更人的作为所得，否则正常抽取.（1）求第二大获得优惠金额的数学期望；（2）记“第i天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出.17（本小题满分15分）已知函数，.（1）求曲线在处的切线方程：（2）已知实数，设.（i）若3，求的极值：（ii）若有3个零点，求a的值.18（本小题满分17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E为AD上一点，.（1）求AB的长：（2）若E为AD的中点，求二面角的余弦值：（3）若M为PB上一点，且满足，求.19（本小题满分17分）桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素。应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.（Ⅰ）当时，岩，，求和的值；（Ⅱ）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明.（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.

八省适应性联考模拟演练数学答案及解析题号1234567891011答案BBCABABDABCACACD12.12 13.①③④ 14.14415.（1）设点P坐标为，直线PQ与圆C相切于点Q，则，所以，即，化简得（5分）（2）设直线l方程为，点，.联立方程，得，所以.（8分）因为以MN为直径得圆过点，则，即，化简得，（10分）代入根与系数关系中，得，解得或，故直线l的方程为或.（13分）16.（1）设第二天获得的优惠券金额为X，X的可能取值为10，20，30，第二天抽1张奖券的概率为，抽2张奖券的概率为，若抽2张奖券，优惠金额20元的概率为，优惠金额30元的概率为，，，，（3分）故第二天获得优惠金额的数学期望.（5分）（2）记“第i天抽取1张奖券”的概率为，则“第i天抽取2张奖券”的概率为，则“第天抽取1张奖券”的概率为，，设，则，（7分）又，则，所以数列是公比为的等比数列，（9分）（15分）17（1）由，得，所以，又，所以曲线在处的切线方程为（2分）（2）（i），则，则，设，则，令得，令得，在上单调递减，在上单调递增，又，恒成立，（5分）令得，令得，在上单调递减，在上单调递增，有极小值为，无极大值.（7分）（ii），则，设，则，（9分），.令得，令得，在上单调递减，在上单调递增，，（10分）①当，即时，，，恒成立，令得，令得，在上单调递减，在上单调递增，不可能有3个零点，（11分）②当，即时，，又，，，设，由（i）得恒成立，在上单调递增，又，恒成立，，存在和，使得，（12分）当或时，；当时，，所以，当或时，；当或时，，在和上单调递减，在和上单调递增，又，，在有唯一零点：（13分），设，由（i）得恒成立，在上单调递增，又，所以恒成立，所以当时，，，在有惟一零点；所以要使得有3个零点，必有，代入可得.（15分）【第三问使用参变分离也给分】18.（1）因为底面ABCD为矩形，PD1底面ABCD，所以，，又底面ABCD，所以，（2分）又，PD，平面PDC，所以平面PDC，又平面PDC，所以，所以为直线AD与PB所成的角，即，设，则，，在中，（4分）又，所以，解得（负值已舍去），所以；（6分）（2）在平面ABCD内过点D作交BE的延长线于点F，连接PF，因为底面ABCD，底面ABCD，所以，又，DF，平面PDF，所以平面PDF，又平面PDF，所以，所以为二面角的平面角，因为E为AD的中点，所以，，（8分）所以，设二面角的平面角为，则，所以，即二面角的余弦值为；（10分）（3）依题意，，又，所以，，又，所以，又，PB，平面PBC，所以平面PBC，在平面PDC内过点D作，垂足为N，由平面PDC，平面PDC，所以，又，PC，平面PBC，所以平面PBC，（12分）在平面PBC内过点N作交PB于点M，在DA上取点E，使得，连接EM，所以且，所以四边形DEMN为平行四边形，所以，又，即，（14分）所以.（7分）19.（I）因为，，所以，；（4分）（II）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，设，，有，.对于任意的，，，2，3，4，当时，有，（6分）当时，有.（7分）即，（8分）所以，有，又因为，所以，，当且仅当时等号成立，所以，，即，当且仅当时等号成立