2025高考数学一轮复习-多选题加练（一）函数性质的综合应用【含答案】

多选题加练(一)函数性质的综合应用1.(2024·无锡模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则()A.f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称2.(2024·长沙模拟)已知不恒为0的函数f(x)，满足∀x，y∈R都有f(x)＋f(y)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，则()A.f(0)＝0 B.f(0)＝1C.f(x)为奇函数 D.f(x)为偶函数3.若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则()A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6)C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)4.(2024·杭州质检)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则()A.f(2025)＝2 B.f′(x)的周期是4C.f′(x)是偶函数 D.f′(1)＝15.(2024·辽宁大联考)若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是()A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x)C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x)6.(2024·淮安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－x)f(x)，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是()A.f(－x－1)＝－f(x＋1) B.函数g(x)在(－∞，1]上递减C.若a<2－b<1，则g(1)<g(b)<g(a) D.若g(a)>g(a＋1)，则a<eq\f(1,2)7.(2024·威海模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(x＋2)为偶函数，g(x)为奇函数，则()A.f(x)＝f(4－x) B.g(x)＝－g(4－x)C.f(x)＝－f(x＋4) D.g(x)＝g(x＋4)8.(2024·重庆模拟)已知R上的偶函数y＝f(x)在区间[－1，0]上单调递增，且恒有f(1－x)＋f(1＋x)＝0成立，则下列说法正确的是()A.f(x)在[1，2]上是增函数 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称C.函数f(x)在x＝2处取得最小值 D.函数y＝f(x)没有最大值9.(2024·河北名校联考)函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)g(x＋2)＝4，f(x)g(－x)＝4.若f(x)的图象关于点(0，2)的对称.则()A.f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B.eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(k＝1))f(k)＝2048C.g(x)的一个周期为4 D.g(x)的图象关于点(0，2)对称10.(2024·临汾模拟)定义在R上的函数f(x)＝(ax－x2)(x2＋bx＋4)满足f(4－x)－f(x)＝0，则下列说法正确的是()A.函数f(2－x)是奇函数 B.函数f(3x＋2)是偶函数C.函数f(sin(x＋2))是周期函数 D.若函数f(x)有4个零点，则函数f(x)的最大值为多选题加练(一)函数性质的综合应用1．AD[因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)关于点(2，0)对称，又f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称．故选AD.]2．BD[令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或1.令y＝x，则f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)，若f(0)＝0，则f(x)＝0，与f(x)不恒为0矛盾，∴f(0)＝1，∴B正确，A错误；令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)＝2f(x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，∴D正确，C错误．]3．BCD[∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．]4．ABC[因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，对f(－x)＝－f(x)左、右两侧分别求导，可得f′(－x)＝f′(x)，则函数f′(x)是偶函数，C正确；又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，B正确；f(2025)＝f(1)，A正确；由f(x＋2)＝f(－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，D错误．]5．BCD[若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，h(x)＝h(－x)，对于函数y＝F(x)＝f(h(x))g(x)，则F(－x)＝f(h(－x))g(－x)＝f(h(x))·(－g(x))＝－f(h(x))·g(x)＝－F(x)，则y＝f(h(x))g(x)为奇函数；对于函数y＝G(x)＝f(g(x))＋h(x)，则G(－x)＝f(g(－x))＋h(－x)＝f(－g(x))＋h(x)＝f(g(x))＋h(x)＝G(x)，则y＝f(g(x))＋h(x)为偶函数；对于函数y＝H(x)＝f(g(x))h(x)，则H(－x)＝f(g(－x))h(－x)＝f(－g(x))h(x)＝f(g(x))h(x)＝H(x)，则y＝f(g(x))h(x)为偶函数；对于函数y＝M(x)＝f(x)|g(x)|h(x)，则M(－x)＝f(－x)|g(－x)|h(－x)＝f(x)|－g(x)|h(x)＝M(x)，则y＝f(x)|g(x)|h(x)为偶函数．]6．BCD[对于A，因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A错误；对于B，因为f(x＋1)是奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)，所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确；对于C，因为a<2－b<1，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正确；对于D，因为g(a)>g(a＋1)，且a<a＋1，由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，得eq\f(a＋（a＋1）,2)<1，解得a<eq\f(1,2)，故D正确．]7．ABD[由f(x＋2)为偶函数，得f(2－x)＝f(2＋x)，所以由2－x代替x得f(x)＝f(4－x)，故A正确；对f(x)＝f(4－x)左、右两侧分别求导，可得f′(x)＝－f′(4－x)，所以g(x)＝－g(4－x)，故B正确；因为g(x)为奇函数，所以g(x)＝－g(－x)，又因为g(x)＝－g(4－x)，所以－g(－x)＝－g(4－x)，即g(－x)＝g(4－x)，则g(x)＝g(x＋4)，故D正确；令f(x)＝cosπx，则f(x＋2)＝cos[π(x＋2)]＝cos(πx＋2π)＝cosπx为偶函数，g(x)＝f′(x)＝－πsinπx为奇函数，满足题干，当x＝1时，f(1)＝cosπ＝－1，f(x＋4)＝f(5)＝cos5π＝cosπ＝－1，所以f(1)≠－f(1＋4)，即存在x＝1，使得f(x)＝－f(x＋4)不成立，故C错误．]8．BC[因为f(x)是偶函数，且f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f[－(x－1)]＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，又f(x)在[－1，0]上单调递增，从而f(x)在[1，2]上单调递减，A错误；∵f(1－x)＋f(1＋x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，B正确；因为偶函数y＝f(x)(x∈R)在[－1，0]上单调递增，f(x＋2)＝－f(x)，所以函数在区间[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以在x＝2处取得最小值，C正确；显然函数的最大值为f(0)，D错误．]9．AC[A中，由f(x)g(－x)＝4，得f(－x－2)g(x＋2)＝4，又f(x)g(x＋2)＝4，所以f(－x－2)＝f(x)，f(x)的图象关于x＝－1对称，A正确；B中，由f(x)的图象关于点(0，2)对称，得f(－x)＋f(x)＝4，由A选项结论知f(x－2)＝f(－x)，所以f(x－2)＋f(x)＝4，从而f(x－4)＋f(x－2)＝4，故f(x)＝f(x－4)，即f(x)的一个周期为4，令x＝5，则f(5－4)＋f(5－2)＝f(1)＋f(3)＝4，令x＝6，则f(6－4)＋f(6－2)＝f(2)＋f(4)＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，所以eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(k＝1))f(k)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝4048，B错误；C中，由f(x)＝f(x＋4)，及f(x)g(－x)＝4，则f(x＋4)g(－x－4)＝4，得g(－x)＝g(－x－4)，函数g(x)的一个周期为4，C正确；D中，取f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))＋2，g(－x)＝eq\f(4,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))＋2)，又g(－1)＋g(1)＝eq\f(16,3)，与g(x)的图象关于点(0，2)对称矛盾，D错误．]10．BCD[对于A，∵f(4－x)－f(x)＝0，即f(4－x)＝f(x)，∴f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(2－x)是偶函数，故A错误；对于B，∵f(4－x)－f(x)＝0，即f(4－x)＝f(x)，∴f(2－3x)＝f(3x＋2)，∴f(3x＋2)是偶函数，故B正确；对于C，∵f(sin(x＋2))＝f(sin(x＋2＋2kπ))，k∈Z，∴f(sin(x＋2))是周期函数，故C正确；对于D，f′(x)＝(a－2x)(x2＋bx＋4)＋(ax－x2)(2x＋b)，∵f(4－x)－f(x)＝0，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4)＝f(0)且f′(2)＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（4）＝（4a－16）（20＋4b）＝0，,f′（2）＝（4a－12）（4＋b）＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－5，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4，))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4))时，f(x)＝(4x－x2)(x2－4x＋4)＝x(4－x)(x－2)2，易得函数f(x)只有3个零点，不符合题意．