北京大学组合数学试卷

北京大学组合数学试卷一、选择题

1.在组合数学中，下列哪项是排列数公式？

A.$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

B.$A_n^m=\frac{(n-m)!}{n!}$

C.$A_n^m=n!$

D.$A_n^m=\frac{n!}{(n+m)!}$

2.从5个不同的元素中任取3个元素，不同的取法共有多少种？

A.5

B.10

C.20

D.25

3.在一个3阶行列式中，如果3个元素均取值1，另外3个元素均取值-1，那么这个行列式的值为：

A.0

B.1

C.-1

D.3

4.在一个8位二进制数中，至少有多少个1才能保证这个数是偶数？

A.1

B.2

C.4

D.8

5.在一个等差数列中，如果第一项为1，公差为2，那么第10项的值是多少？

A.18

B.20

C.22

D.24

6.在一个二项式$(a+b)^n$的展开式中，$a^kb^l$的系数是：

A.$\frac{n!}{k!l!}$

B.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}$

C.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}\timesa^k$

D.$\frac{n!}{(n-k)!(n-l)!}\timesb^l$

7.在一个6阶行列式中，如果4个元素均取值1，另外2个元素均取值-1，那么这个行列式的值为：

A.0

B.1

C.-1

D.3

8.在一个3阶行列式中，如果3个元素均取值0，另外3个元素均取值1，那么这个行列式的值为：

A.0

B.1

C.-1

D.3

9.在一个8位二进制数中，至少有多少个1才能保证这个数是奇数？

A.1

B.2

C.4

D.8

10.在一个等差数列中，如果第一项为3，公差为-1，那么第10项的值是多少？

A.2

B.0

C.-2

D.-4

二、判断题

1.在组合数学中，组合数$C_n^m$等于排列数$A_n^m$。

2.在一个二项式$(a+b)^n$的展开式中，每一项的指数之和等于$n$。

3.在一个等差数列中，任意两项之和等于它们中间项的两倍。

4.在一个3阶行列式中，所有元素均为0的行列式的值为0。

5.在一个等比数列中，任意两项之比等于它们中间项的平方。

三、填空题

1.若一个排列中，第一个元素是最大的，第二个元素是次大的，那么这个排列的逆序数是_________。

2.在二项式$(a+b)^n$的展开式中，$x^2y^3$的系数为_________。

3.若一个等差数列的前三项分别是1，3，5，那么该数列的公差是_________。

4.在一个4阶行列式中，若某一行（或列）的所有元素均为2，其余元素均为0，那么该行列式的值是_________。

5.若一个等比数列的前三项分别是2，6，18，那么该数列的公比是_________。

四、简答题

1.简述组合数$C_n^m$的定义及其性质。

2.解释什么是组合数学中的“逆序数”，并给出计算逆序数的公式。

3.举例说明如何在二项式定理中应用二项式系数。

4.如何判断一个行列式是否为奇排列行列式，并解释其性质。

5.简述等比数列的定义、通项公式及其在现实生活中的应用。

五、计算题

1.计算排列数$A_5^2$和组合数$C_5^2$，并比较它们的值。

2.计算二项式$(x+2y)^4$的展开式中$x^3y$的系数。

3.已知等差数列的前三项分别是2，5，8，求该数列的前10项和。

4.计算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值。

5.若一个等比数列的第一项是3，公比是$\frac{1}{3}$，求该数列的前5项和。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司在招聘过程中，需要从30位应聘者中选出5位进入下一轮面试。请问，有多少种不同的选择方式？

案例分析：

首先，我们需要确定这是一个组合问题，因为应聘者的选择顺序不重要。根据组合数的定义，我们可以使用组合数公式$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$来计算。在这个案例中，n是应聘者的总数，即30，m是进入下一轮面试的人数，即5。

计算过程如下：

$$

C_{30}^5=\frac{30!}{5!(30-5)!}=\frac{30\times29\times28\times27\times26}{5\times4\times3\times2\times1}=142506

$$

因此，有142506种不同的选择方式。

2.案例背景：一个学生参加了一个数学竞赛，共有10道题目。他必须从以下三个条件中选择题目来回答：

（1）选择3道题目，每道题目都是5分；

（2）选择2道题目，每道题目都是10分；

（3）选择1道题目，该题目是20分。

学生需要确保自己至少答对5道题目才能获得奖项。请分析学生应该如何选择题目，以确保自己能够至少答对5道题目。

案例分析：

为了确保至少答对5道题目，学生需要考虑两种情况：答对5道题目和答对6道题目。

-答对5道题目：

学生可以从5分题目中选择3道，从10分题目中选择2道，或者从20分题目中选择1道。这可以通过组合数来计算：

$$

C_5^3\timesC_2^2+C_5^2\timesC_3^2+C_5^1\timesC_4^4=10\times1+10\times3+5\times1=10+30+5=45

$$

-答对6道题目：

学生可以从5分题目中选择3道，从10分题目中选择3道，或者从20分题目中选择1道，然后从5分题目中选择1道。这可以通过组合数来计算：

$$

C_5^3\timesC_5^3+C_5^2\timesC_5^2+C_5^1\timesC_4^3\timesC_5^1=10\times10+10\times10+5\times4\times5=100+100+100=300

$$

因此，学生可以选择45种不同的题目组合来确保至少答对5道题目，或者300种组合来确保至少答对6道题目。

七、应用题

1.应用题：某班级有30名学生，需要从中选出4名学生参加数学竞赛。如果每名学生只能参加一次，那么有多少种不同的选拔方式？

解答：

这是一个组合问题，因为选出的学生之间的顺序不重要。我们需要计算从30名学生中选出4名学生的组合数，即$C_{30}^4$。

$$

C_{30}^4=\frac{30!}{4!(30-4)!}=\frac{30\times29\times28\times27}{4\times3\times2\times1}=27,405

$$

因此，有27,405种不同的选拔方式。

2.应用题：一个密码锁由4个转盘组成，每个转盘上有10个数字（0到9）。用户设置的密码是四个不同的数字。计算所有可能的密码组合总数。

解答：

每个转盘有10个数字，因此第一个转盘有10种选择，第二个转盘也有10种选择，以此类推。总的可能性是这些选择的乘积。

$$

10\times10\times10\times10=10^4=10,000

$$

所以，共有10,000种不同的密码组合。

3.应用题：一个篮球队有12名球员，教练需要从中选择5名球员参加比赛。如果教练希望至少选择1名后卫，那么有多少种不同的选择方式？

解答：

首先，我们计算所有可能的选择方式，即从12名球员中选择5名球员的组合数，即$C_{12}^5$。

$$

C_{12}^5=\frac{12!}{5!(12-5)!}=\frac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792

$$

然后，我们计算没有后卫的情况，即从剩余的9名非后卫球员中选择5名球员的组合数，即$C_{9}^5$。

$$

C_{9}^5=\frac{9!}{5!(9-5)!}=\frac{9\times8\times7\times6\times5}{5\times4\times3\times2\times1}=126

$$

最后，我们从所有可能的选择中减去没有后卫的情况，得到至少选择1名后卫的选择方式数。

$$

792-126=666

$$

因此，有666种不同的选择方式，至少包含1名后卫。

4.应用题：一个班级有20名学生，其中有5名学生擅长数学，7名学生擅长物理，8名学生擅长化学。如果每个学生至少擅长一门科目，那么有多少种不同的学生组合方式，使得每个组合中的学生至少擅长一门不同的科目？

解答：

这是一个组合问题，我们需要计算所有可能的组合方式，使得每个组合中的学生至少擅长一门不同的科目。由于每个学生至少擅长一门科目，我们可以使用容斥原理来解决这个问题。

首先，计算所有学生的组合方式，即$C_{20}^5$，然后减去那些没有数学学生的组合数（即从剩下的15名学生中选择5名），再减去没有物理学生的组合数（即从剩下的13名学生中选择5名），再减去没有化学学生的组合数（即从剩下的12名学生中选择5名）。但是，我们重复减去了那些既没有数学也没有物理或化学学生的组合数，所以需要将这些组合数加回。

计算如下：

$$

C_{20}^5-C_{15}^5-C_{13}^5-C_{12}^5+C_{10}^5+C_{8}^5+C_{7}^5

$$

计算每个组合数：

$$

C_{20}^5=\frac{20!}{5!(20-5)!}=15504

$$

$$

C_{15}^5=\frac{15!}{5!(15-5)!}=3003

$$

$$

C_{13}^5=\frac{13!}{5!(13-5)!}=1287

$$

$$

C_{12}^5=\frac{12!}{5!(12-5)!}=792

$$

$$

C_{10}^5=\frac{10!}{5!(10-5)!}=252

$$

$$

C_{8}^5=\frac{8!}{5!(8-5)!}=56

$$

$$

C_{7}^5=\frac{7!}{5!(7-5)!}=21

$$

将它们代入公式：

$$

15504-3003-1287-792+252+56+21=13236

$$

因此，共有13,236种不同的学生组合方式，使得每个组合中的学生至少擅长一门不同的科目。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.C

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.错误

2.正确

3.正确

4.正确

5.正确

三、填空题答案：

1.0

2.16

3.2

4.0

5.$\frac{1}{3}$

四、简答题答案：

1.组合数$C_n^m$是从n个不同元素中，任取m个元素的所有不同组合的数目。它的性质包括：对称性$C_n^m=C_n^{n-m}$，递推公式$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$，以及非负性$C_n^m\geq0$。

2.逆序数是指在一个排列中，任意两个元素的位置相反的数目。计算逆序数的公式是：逆序数=$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}[a_ia_j=-1]$，其中$a_i$和$a_j$是排列中的两个元素。

3.二项式定理可以表示为$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$C_n^k$是二项式系数，表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。

4.奇排列行列式的值是奇数，偶排列行列式的值是偶数。如果一个行列式的任意两行（或列）交换位置，则行列式的值会改变符号。

5.等比数列是首项为$a_1$，公比为$q$的数列，其通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$。等比数列在现实生活中的应用包括金融投资、人口增长、物理学中的振动等。

五、计算题答案：

1.排列数$A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=5\times4=20$，组合数$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$。因此，$A_5^2=2C_5^2$。

2.二项式$(x+2y)^4$的展开式中$x^3y$的系数是$C_4^1\times2^1=4\times2=8$。

3.等差数列的前10项和$S_{10}=\frac{10(2+8)}{2}=5\times10=50$。

4.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)=1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)=-3+12-9=0$。

5.等比数列的前5项和$S_5=\frac{3(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{