2024-2025学年高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨第1课时平行射影平面与圆柱面的截线课后提能训练新人教A版选修4-1

PAGE1-第1课时平行射影、平面与圆柱面的截线素养训练1．两条相交直线的平行射影是()A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线【答案】D【解析】两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投影方向不平行，则两条相交直线的平行射影为两条相交直线；若这个平面与投影方向平行，则两条相交直线的平行射影为一条直线．故选D．2．已知圆柱轴截面面积为Q，那么侧面积为()A．eq\f(1,2)πQ B．πQC．2πQ D．4πQ【答案】B【解析】若圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱侧面积S侧＝2πrh，Q＝2rh，即S侧＝πQ.故选B．3．(2024年安徽模拟)如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】A【解析】因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为R，长半轴a＝eq\f(R,cos30°)＝eq\f(2R,\r(3)).∵a2＝b2＋c2，∴c＝eq\f(R,\r(3)).∴椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选A．4．已知圆柱的底面半径为2，平面α与圆柱斜截口的离心率为eq\f(1,2)，则椭圆的长半轴长是________．【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】由Dandelin双球法知，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴，所以b＝2.又离心率为eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)⇒c＝eq\f(1,2)a.又a2＝b2＋c2，所以a2＝22＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2，解得a＝eq\f(4\r(3),3).5．已知椭圆两条准线间的距离为8，离心率为eq\f(1,2)，则Dandelin球的半径是________．【答案】eq\r(3)【解析】依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(a2,c)＝8，,e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，))∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴Dandelin球的半径为b＝eq\r(3).6．一圆柱底面半径为2，一截面与轴成60°角，从截平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为________．【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】由题意知截线是一个椭圆，并且其长轴长为2a＝eq\f(4,sin60°)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).又椭圆的短轴长为圆柱的底面直径，所以2b＝4，即b＝2.∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2－22)＝eq\f(2\r(3),3).又两个切点即为椭圆的两个焦点，故这两个切点的距离为2c＝eq\f(4\r(3),3).7．往一个放在桌面上的圆柱形玻璃杯中倒入半杯水，水平面所成的图形是______，假如将玻璃杯倾斜肯定角度(与桌面不垂直)，此时水平面的图形是______．【答案】圆椭圆【解析】当玻璃杯与桌面垂直时，水平面所成的图形是圆；当玻璃杯倾斜时，水平面的图形是椭圆．8．已知一圆柱的底面半径为3，圆柱的一截面的Dandelin双球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．【解析】由Dandelin双球法知，两球的球心距等于截面椭圆的长轴的长，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴的长，截面与两球的两切点即为截面椭圆的两焦点．∴2a＝12，b＝3，∴a＝6，b＝3.∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴两焦点间的距离为2c＝6eq\r(3).∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2).设截面与圆柱母线的夹角为φ，则cosφ＝e＝eq\f(\r(3),2)，又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).实力提升9．如图所示，设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的什么心？【解析】如