2023年高考数学一轮复习新课标版 题组层级快练 51-60

题组层级快练（五十一）

一、单项选择题

1.直线X—小>，+。=0（〃为常数）的倾斜角为（）

JIJT

AVBT

2n5无

C•亍D-6-

答案A

2.倾斜角为120°且在），轴上的截距为一2的直线方程为（）

A.尸一向+2B.y=一小x-2

C.y=Sx+2D.y=y[3x—2

答案B

3.直线/过点”（一2,5）,且斜率为直线），=—3x+2的斜率的3则直线/的方程为（）

A.3x+4y-14=0B.3x-4y4-14=0

C.4x4-3>—14=0D.4%一3），+14=0

答案A

解析因为直线/的斜率为直线y=-3x+2的斜率的：，则直埃/的斜率〃=一点故y一5

3

=-1（x+2）,即3x+4y—14=0,故选A.

4.直线工+（/+1）y+1=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[o,f]B.[券,n）

cl'y]u（T'"）D[T'》[筌,"）

答案B

解析由直线方程可得该直线的斜率为一号]又一1W—*XO,所以倾斜角的取值范

围是[等,Ji）

5.（2021.北京东城期末）已知直线/的倾斜角为a,斜率为匕那么“a号”是“6@'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当爹v。＜天时，上0；当人＞\份时，?v2.所以“。＞万”是“心^”的必要不充分

条件，故选B.

6.）一奴一十=0表示的直线可能是（）

答案B

解析由y—依一（=0,整理得■）="+!，则"W0,排除C；当”＞0时，卜0,排除A；当

〃＜0时，卜0,排除D,故选B.

7.已知点42,-3）,仅一3,-2）,直线/的方程为依一），一4+1=0,且与线段A8相交,

则直线I的斜率k的取值范围为（）

313

A.(—8,—4JU[-,+8)B.(一8,--]U[-,+oo)

33

cf-?T6

l4,rD.

答案A

解析由"一），一A+1=0得£（工一1）一。-1）=0,即直线/过定点P（l,1）,如图,

-3—1—2—13

,.,4(2,-3),仇―3,-2),P(l,1),kp=_.=_4,kpn=.=7,

A491*71•

要使直线/与线段A8相交，则直线/的斜率k应满足W&或AWA肉,

3

3-

：.k^~4或4本即直线I的斜率k的取值范围是（一8,4

二、多项选择题

8.下列说法中，正确的有（）

A.直线y=3x-2在y轴上的截距为一2

B.直线l巾），+1=0的倾斜角为60"

C.过点（5,4）并FL倾斜角为90°的直线方程为x-5=0

D.过点P（l,2）且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0

答案AC

解析A中，令x=0,得)，=-2,则直线y=3x—2在y轴上的截距为一2,故正确;

B中，x—小,+1=0可化为,，=察+坐，则该直线的斜率上邛，则其倾斜角为30。，故

错误；

C中，过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的所有点的横坐标为5,故方程为工一5=0,

故正琬；

D中，点P(l,2)在直线y=2丫上，且该直线在x,，轴上的截矩都为0,故错误.

9.若直线过点A(l,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/的方程为()

A.x-y+\=OB.x+j-3=0

C.2r—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

10.如果A8<0,BC<0,那么直线Av+切+C=0经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案ABC

解析直线AY+8\，+C=0在x轴上的截距为一亨=一祭0,在)，轴上的截距为一$0,故

/1/\DD

直线几+8y+C=0经过第一、二、三象限.故选ABC.

三'填空题与解答题

11.直线/过(一1,一1)，(2,5)两点，点(1011,b)在/上，则b的值为.

答案2023

.„,..“y—(-1)x—(—1).)'+1x+1„

解析r直线,/的方程为$_(_[)=「_(_])*即-6-=-3—，即)，=2x+I.

令x=1011,得y=2023,.")=2023.

12.⑴过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

(2)过点M(—2,I),且与点用一I,0),8(3,0)距离相等的直线方程是.

5

案

答-

3(2卜+3y—I=0或y=1

5

-

解析(1)当直线过原点时，直线方程为)，=3

当直线不过原点时，设直线方程为：+=一=1(aHO),

(i-a

把(一3,5)代入，得。=一8,所以直线方程为工一)，+8=0.

故所求直线方程为>'=—或x—y+8=0.

(2)据题意直线与A3平行或过A8的中点(1,0),所以直线的斜率为k=O或4=一7所以直

线方程为x+3y—1=0或y=l.

13.将直线尸1十小-1绕它上面一点(1,小)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程

是.

答案产小工

解析由)，=工+小-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向艇转15°,倾

斜角变为60。，所以所求直线的斜率为小.又因为直线过点(1,小)，所以直线方程为)，一事

=小(工一1),即y=y[3x.

14.(2022•沧衡八校联盟)若直线双+勿=囱〃>0,历>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴

上的截距之和的最小值为.

答案4

解析,直线ax+勿=a〃(a>0,方>0)过点(1,1),'.a-\-b=ab,即!+万=1，

...截距之和为a+〃=(a+〃)(%3=2+9+注2+2・£=4,当且仅当a=b=2时上式

等号成立.

・•.直线在x轴、)，轴上的截距之和的最小值为4.

15.已知△ABC的三个顶点44,-6),8(—4,1),C(-l,4).求：

(1)47边上的高B。所在的直线方程；

(2)A8边上的中线CE所在的亘线方程.

答案(l)x-2y+6=0(2)13i+2y+5=0

-6-4

解析(1);A(4,-6),仇一4,1),C(-l,4),.,.^c=4_(_；)=-2.

又,.•AC_LB。，.•“==，直线8。的方程为厂1=於+4),即x-2y+6=0.

5

+-

52

-

；八的中点为2，中线CE的方程为5―,即

(2)8E(0,4+-13x+2y+5=O.

2

重点班•选做题,

16.设尸为曲线C：+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为

[(),亍，则点。的横坐标的取值范围为.

答案[—1，—2

解析由题意知y'=2K+2,设P(XO,优)，则曲线C在点P殳切线的斜率为&=2ro+2.又

切线倾斜角的取值范围为［o,卦所以0WZ1,即0W2S+2W1.所以的仁卜八-2.

17.(2022・八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在

直线的斜率分别为.

答案I，-3

解析设正方形此条对角线的倾斜角为明由已知得lan。=2,则正方形的两条邻边所在

H

直一段,、的，，倾一斜川角“分、别…为a+彳，«nf+,TnjA=l14--ttaann^a-3uan(-TnjA=tla+nta<7n—.1

=/所以两条邻边所在直线内斜率分别为今-3.

题组层级快练(五十二)

一、单项选择题

1.若直线〃a+4厂2=0与直线2A—5)，+〃=0垂直，垂足为(1,〃)，则实数”的值为()

A.-12B.-2

C.0D.10

答案A

解析由2/〃-20=0,得〃1=10.

由垂足(I,p)在直线"〃+4y—2=0上，得10+4〃­2=0.

.,.p=-2.

又垂足(I,一2)在直线2x—5y+〃=0上，解得〃=-12.

2.“a=2”是“直线ax+3y+2a=0和入+(“+1»—2=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析直线at+3)，+20=0和2x+(a+1))，-2=0平行的充要条件为

fflX(«+1)=2X3,

•…，r、~vr得a=2或a=_3.又“a=2"是"a=2或a=-3”的充分不

3X(.-2)手(a+1)X2a,

必要条件，所以“a=2”是“直线at+3y+2a=。和微+(4+1))，-2=0平行”的充分不必

要条件.故选A.

3.在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线/对称，则直线/的方程为()

A.x+2y—2=0B.x-2y=()

C.2x-y-3=0D.Zt—y+3=0

答案C

解析因为点(0,2)与点(4,C)关于直线/对称，所以直线/的斜率为2,且直线/过点(2,

1).故选C.

4.一条光线从点P(—2,1)射出，与直线/：X—y+1=0交于点。(1,2).经直线/反射，

则反射光线所在直线的斜率是()

A.1B.小

C.2D.3

答案D

解析结合图象可知，。关于直线/：x—)，+1=0的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜

2——1)

率为—F—=3.故选D.

I—0

5.已知直线/：丘一)，+2—攵=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-l=0上，则|MPJ的最

小值是()

J

C.^6D.3小

答案B

解析直线/:匕一)，+2—2=0,即依¥—1)-y+2=0,过定点M(l,2),

点P(x,y)在直线Zx+y—1=0上，

方法一：*.'y=\~2x,

9

：.\MP\=yj(x-1)2+(l-2x-2)2=yj5x2-l-2xA-2=yl5(x+1)2+-

55

故当x=—/时，|MP|取得最小值为挈，故选B.

方法二：|MP|的最短距离就是点M到直线2A•+y—l=O的距离，日点到直线的距离公式得|历/)|

的最小值为乎.

6.若动点力(为，yi),3(X2,刈分别在直线小1+厂7=0,l2：x+y—5=0上移动，则A5

的中点M到原点距离的最小值为()

A.3rB.2V5

C.3小D.4-J2

答案A

解析由题意知，点M所在直线与八，/2平行且与两直线距离用等.设该直线的方程为x+

k+7||c+5|

y+c=O(cH—5且cW—7),则rl否=下，解得。=一6.所以点M在直线x+y—6=0上.点

M到原点距离的最小值就是原点到直线工+），-6=0的距离，即〃=寻=36.故选A.

二、多项选择题

7.已知直线八：（〃+l）x+ay—2=0,b：av+（l—a）y—1=0»则（）

A.八恒过点（2,-2）B.若h〃h，贝1］标=£

C.若/1U2，则4=1D.当OWaWl时，上不经过第三象限

答案BD

解析本题考查直线与直线的位置关系，直线过定点.

/）:（a+l）x+ay+2=0Oc/（x+y）+x+2=0,

x+y=O,

由八得工=-2,y=2时，即直线人恒过点（一2,2）,次A不正确;

［x+2=0,

若则有（4+1）（1—。）=82,解得故B正确；

若则有。（。+1）+。（1一。）=0,解得。=0,故C不正确；

若直线/2不经过第三象限，则当L2。时，有±2°.-自也解得°*<1,当1

一。=0,即〃=1时，直线勿x=l,也不经过第三象限.综上可知，当OWaWl时，，2不

经过第三象限，故D正确.故选BD.

8.己知三条直线八：2v—3y+1=0,I2：4x+3y+5=0,I3：w—1=0不能构成三角形,

则〃？的值口J以为（）

A-3B-4

C.-jD.1

答案ABC

9.已知直线/i：ox-y+l=O，八：x+ay+l=0,“WR,以下结论正确的是（）

A.不论。为何值时，A与/2都互相垂直

B.当a变化时，人与分别经过定点人（0,1）^05（-1,0）

C.不论a为何值时，人与/2都关于直线x+y=0对称

D.如果/］与/2交于点M，则IMOI的最大值是也（O为坐标原点）

答案ABD

解析对于A,aXl+（-l）xa=0恒成立，则八与八互相垂直色成立，故正确.

对于B,直线八：ov-y十1=0,当a变化时，工=0,y=l恒成立，所以八怛过定点4(0,1)；

〃：x+a.v+l=0,当a变化时，x=-1,,=0恒成立，

所以6恒过定点3(—1,0),故正确.

对于C,在/［上任取点(x,av+1),

其关于直线％+y=0对称的点的坐标为(一ax—l,—x),

代入，2：x+ay+l=0,则左边不恒等于0,故不正确.

—a—1

对于D，叫,arm-y++皿1=0,，解得A_TTT，

—a+1

产而

即“瑞瑞')，所以斗

所以|MO|的最大值是小，故正确.故选ABD.

三、填空题与解答题

10.已知点A(—3,—4),华6,3)到直线/：av+)，+1=0的距离相笔,则实数a的值为.

答案一号或一1

|-3a~~4+1||6a+3+1|1.7

解析由点到直线的距离公式得解得〃=一§或一§.

.a2+1勺『+1

11.若点尸是曲线产『Tnx上任一点，则点P到直线x-y-4=0的最小距离是

答案2^2

解析要使点P到直线%一)-4=0有最小距离，

只需点P为曲线与直线x—y—4=0平行的切线的切点，

即点尸为曲线上斜率为1的比线的切点，设P(xo,兆)，戈(>>0,

y=x^—\nx,y1k=.卬=20一2=1,解得沏=1或刈=一/舍云),

|1-1-4|

点尸(1,1)到直线x-y-4=0的距离为=2®

所以曲线y=f—Inx上任一点到直线x-y—4=0的距离的最小值为2小.

12.若函数>'=67x4-8与y=-5+力的图象关于直线y=x对称，则a+b=

答案2

解析直线)，=at+8关于y=A,对称的直线方程为x=町+8,

所以x=ay+8与)=—%+〃为同一直线，故得：一，2'所以。+方=2.

乙b=4.

13.已知A(4,0),8(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线48反射后再射到直线08上,

最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是.

答案2<io

解析由题意，求出P关于直线x+y=4及)，轴的对称点分别为P|(4,2),P2(-2,0),由

物理知识知，光线所经路程即为内尸2|=24而.

14.已知点M(a,。)在直线3x+4y=l5上，则，石"的最小值为.

答案3

解析/»在直线3x+4y=15上，.•.3〃+4/)=15.而，石衣的几何意义是原点到W点

_____I—|5|

的距离IOM,.••漫版+/加产，=3.

y3T14一

15.正方形的中心为点。(一1,0),若它的一条边所在的直线方程是x+3)，-5=0,求其他

三边所在直线的方程.

答案x+3y+7=0,3A—y-3=0,3x—y+9=0

解析点C到直线x+3y-5=O的距离]=导管=嘤.

设与x+3,y—5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+/〃=0("iW—5),

3^/10

则点C到直线x+3.v+m=0的距离d=解得加=—5(舍去)或/n=7,

-1+9―5

所以与x+3y—5=O平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.

设与x+3y—5=0垂直的边所在直线的方程是3x—y+〃=0,

|—3+2?|3VTb

则点C到直线3L)，+〃=0的距离d=解得〃=—3或〃=9,

人9+1―5

所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x—y—3=0和3x—y+9=0.

司重点班•选做题.

16.设定点A(3,1),〃是x轴上的动点，C是直线)一X上的动点，则△ABC周长的最小值

是()

A.小B.2小

C.3小D.VlO

答案B

解析作出43,1)关于y=A•的对称点A'(1,3),关于x轴的时称点A"(3,—1),连接A'

A”,交直线y=x于点C,交x轴于点8,则|AC]=H'C|,|A8|=|4"用，「.△ABC周长的

最小值为|A'A"|=U(1-3)2+(3+(2=2小.故选B.

17.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”

诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某

处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设

军营所在区域为『+VW1,若将军从点人(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.

并假定将军只要到达军营所在区域即|可到军营，则“将军饮马’的最短总路程为（）

A.Vio-1B.2^2-1

C.2yj2D.VW

答案A

解析设点A关于直线x+y=3的对称点为A'（a,b）,则AA'的中点为（尖厂，5,依

（T）=-1,q

bIa-24=3,

=一>，故〈解得L.’A'（3,1）,“将军饮马''的最短总路程即

a—2^+2,b-仍=】，

［—+5=3,

为点A'到军营的最短走离，即为。（3—0）2+（］一（））2一］二回一］故选人.

题组层级快练（五十三）

一、单项选择题

1.（2022・衡水中学月考）若直线纱+公=1与圆f+）2=1相交，则p（a,力与圆『+），2=i

的关系为（）

A.在圆上B.在圆外

C.在圆内D.以上都有可能

答案B

解析X0荐泮~~~<1,/.a24-/?2>l,.,.P（a,在圆外.

2.如果圆的方程为/+）?+去+2,，+标=0,那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）

A.（-1,1）B.（1,-I）

C.（-1,0）D.（0,-1）

答案D

解析/=表/公+4-43=^4—31c,

当k=0时，/■最大，此时圆面积最大，，圆心坐标为（0,-1）.故选D.

3.圆C的半径为2,圆心在x轴的止半轴上，直线3、十4），十4=0与圆C相切，则圆。的

方程为（）

A.『+V一2^—3=0B.f+产+4%=0

C..F+y2—4x=0D.『+炉+〃-3=0

答案C

解析由题意设所求圆的方程为（X一机）2+）2=4（〃＞0）,则战卷=2,解得6=2或,〃=一

14

万（舍去），故所求圆的方程为（X—ZF+./u*即f+y2—4x=0.故选C.

I3

4.“一声应”是“直线/：与圆C：（x—23+4=3相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系、充分条件与必要条件的判断.由题知，圆（x—2户+）7

=3的圆心为（2,0）,半径为小，则直线/：），=匕与圆（工-2）2+），2=3相交0我+＜小。

一巾＜女＜巾.因为[一9,I（一小,小），所以“一吴仁!”是“直线/：产心•与圆C：（x

-2）2+）2=3相交”的充分不必要条件.故选A.

5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4冗一3），=0和x轴都相切，则该圆的标

准方程是（）

2?2

A.(A—3)+0-1)=1B.住—2)2+°，-3/=1

C.。-2)2+°，一1尸1D.(*-3)2+。，一2尸1

答案C

解析本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系.

方法一：因为圆c与x轴相切，半径为I,且圆心在第一象限，所以设圆c的圆心坐标为m.

D3。）,由圆C与直线41尸。相切，得也解得y2或户

一女舍去），所以圆C的标准方程为（X—2）2+G，-l）2=].故选C.

方法二：因为圆。与x轴相切，且半径为1,所以圆心C的纵坐标为1,排除B、D,又点

3I）到直线4.3产°的距离为器爸gq知,所以圆与直线

23尸。不相切，所以排除A,而点（2,I）到直线41尸。的距离为背卷+I

故选c.

6.己知直线/过点A（a,0）且斜率为I,若圆/十方=4上恰有3个点到/的距离为1,则a

的值为（）

A.3巾B.±3&

C.±2D.土也

答案D

解析由题知直线/的方程为），=x-a,即4—），一〃=0.若圆/十）2=4上恰有3个点到/的

距离为1,则圆心0（0,0）到直线工一），一。=0的距离为1,即$=1，得。=地.故选D.

7.过点A（—4,-1）作圆C：戊-2）2+（），-1>=4的一条切线AB,切点为B,则△ABC的面

积为（）

A.2®B.

C.12D.6

答案D

解析本题考查直线与圆的位置关系.由题可得圆心C的坐标为（2,1）,半径「=2,

所以WC=4（-4-2）2+（—1-1）2=2四,所以|A8|=、|AC|2一，=140-4=6,因此

S.A8C=；|A阴・|C同=：X6X2=6.故选D.

8.圆/+9+21—8=0截直线>，="+R）所得的最短弦长为（）

A.2市B.26

C.4小D.2

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系、直线被圆所截的弦长.

直缓y=h+l过定点（0,1）,

圆的方程*+〉2+2.%—8=0可化为（x+l）2+y2=32,

故圆心为（一1,0）,半径/=3.

因为（0,1）到（一1,0）的距离为利（-1）2+（一］）2=g<3,所以点（0,I）在圆f+）2+2x

-8=0内，

根据圆的几何性质可知，圆?+r+2A—8=0截直线》，=依+1伏仁11）所得的最短弦长为

2x^32—（立）2=2币.故选A.

9.已知圆C关于x轴对称，经过点（0,1）,且被y轴分成两段弧，弧长之比为2：1,则圆

的方程为（）

近24

+=-

一33

24近2

+_

-_+

'33

答案c

解析方法一（排除法）：由圆心在x轴上，排除A、B,再由圆过点（0,1）,故圆的半径大于

I,排除D,选C.

方法二（待定系数法）：设圆的方程为（.1一。）2+9=/，圆C与），抽交于40.1）,8（0,-1）,

由瓠长之比为2：1,易知NOCA=±NAC3=TX120°=60°,则lan60°=捌=而，所

4/

以4=|OC1=坐,即圆心坐标处（土乎，0）,/=|4C|2=I-

3-

、

一4

-

3

10.已知直线/：x—巾），一〃二0与圆C：（X—3）2+G，+巾）2=4交于点M,M点P在圆C

上，且NMPN=T",则4的值为（）

A.2或10B.4或8

C.6±2陋D.6±2于

答案B

解析连接CM,CN.因为圆的半径是r=2,圆心坐标是C（3,f）,4MPN=j且P

J

在圆C上，所以NMOV=¥，计算得IMN1=2小.又。点到直线/的距离（/=弊等=蚱9,

Jyi十3」

作］+/=『，所以（小尸+（”46）：=%则〃=4或8.故选B.

二、多项选择题

11.已知直线/：履+y=0与圆M：r+炉一〃一2,，+1=0,则下列说法中正确的是（）

A.直线/与圆M一定相交

B.若&=0,则直线/与圆M相切

C.当&=-1时，直线/与圆M的相交弦最长

D.圆心M到直线I的距离的最大值为明

答案BCD

解析由f+k—2x—2y+l=（W^x—l）2+G，-l）2=l,故M（l,1）,r=l,直线/过原点，

不一定与圆M相交，故A错误；

当攵=0时，/：>'=0,直线/与圆M相切，故B正确；

当攵=一1时，直线/的方程为丁=.口过圆M的圆心，故C正确；

当直线LLOM时，圆心M到直线/的距离最大为|0"|=地，故D正确.

12.一条光线从点（一2,-3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2-（y-2）2=1相切，则反射光

线所在直线的斜率可以是（）

23

-B-

A.32

34

C-D-

-43

答案CD

解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的

斜率为七则反射光线所在直线的方程为,+3=任1—2),即依一〉，一2上一3=0,又因为反射

光线与圆相切，

所以^~3/：止—a=i=]2F+25Z+12=0=A=—4或Z:=—7,故选CD.

yjlr+1J4

13.已知圆/+)2—21—6丁+。=0上至多有・点到直线3%+4)，+5=0的距离为2,则实数a

可能的取值为()

A.5B.6

C.7D.10

答案BC

解析圆的方程可化为(x—l)：+(y—3)2=10—a(a<10),圆心为(1,3),半径为110一a圆心

(I,3)到直线3x+4y+5=0的距离d=支中0=%要使圆上至多有一点到直线3x+4y+5

=0的距离为2,则410一忘4-2=2,得6Wa<10,所以B、C符合题意.故选BC.

三、填空题与解答题

14.若圆(x+l)2十。一3尸=9上相异的两点P，。关于直线"+2y—4=0对称，则A的值为

答案2

15.若直线/：4%—3)，-12=0与x,y轴的交点分别为4R,。为坐标原点，则以A8为直

径的圆的方程为：AAOB内切圆的方程为.

。

，2

X-_|十+-245

2)(1)2+0+|)2=|

、

解析由题意知，43,0),8(0,-4),则依同=5.

5

2-

.•.以A3为直径的圆的圆心2

a+-245

.••圆的方程为2)2

又AAOB的内切圆半径r=F—=1,内切圆的圆心坐标为(1,-1),

.•.内切圆的方程为(X—1)2+。+1)2=1.

16.一个圆与y轴相切，圆心在直线x—3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为2S，求

此圆的方程.

答案。-3)2+6，-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

解析方法一：•・•所求圆的圆心在直线X—3y=0上，且与)，轴相切，

・•・设所求圆的圆心为C(3〃,用，半径为r=3同.

又圆在直线y=x上截得的弦长为2巾，

|3。一〃|

圆心C(3a,a)到直线y=x的电高为d=

(-1)2'

，有心+(币)2=户.即加2+7=9R：.a=±\.

故所求圆的方程为

(L3)2+°，一1户9或(x+3)2+(y+l)2=9.

方法二：设所求的圆的方程是(X—。)2+°—〃)2=户,

\a-b\

则圆心(a,〃)到直线x—y=o的距离为

•・•、=(甯J+(币产

即2，=3—与2+14.①

由于所求的圆与)，轴相切，，产=/.②

又丁所求圆的圆心在直线“一3)，=0上,

.'.a-3b=0.@

联立①©③，

解得a=3,b=l,7=9或a=—3,8=-I,r2=9.

故所求的圆的方程是

(x-3)2+(y-l)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

方法三：设所求的圆的方程是/)x+Ey+尸=(),

圆心为(一3，一9，半径为上步+序一".

令x=0,得产+玲+尸=o

由圆与)，轴相切，得4=0,即炉=4E④

7D八l-f+f('

又圆心(一今，一句到直线x—y=0的矩离为一^―,由已知，得_22+(6)2=户,

即(。一七)2+56=2(》+/一4b.⑤

又圆心(一学，-在直线x—3y=0上，

：.D~3E=0.®

联立④©⑥，

解得。=-6,E=-2,/=1或0=6,E=2,F=\.

故所求圆的方程是A2+/-6.t-2y+!=0或/+9+64+23，+1=0,即(工一3尸十()，一1尸=9

或(x+3)2+(y+l)2=9.

恒重点班•选做题

17.直线x+y+2=0分别与x轴、『轴交于A,8两点，点尸在圆(X-2)2+尸=2上，则△A3P

面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]

C.诋3例D.3M

答案A

解析设圆（工一2）2+）2=2的周心为c,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则

圆心。（2,0）,r=V2,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为26，可得&.=26+「=

35，4加=26—「=也.由已知条件可得依8|=26，所以△48P面积的最大值为llAAI-dmx

=6,△4BP面积的最小值为例用-dmin=2.综上，△A8P面积的取值范围是[2,6J.故选

A.

18.若尸为直线x-y+4=0上一个动点，从点P引圆C：/+9-4%=0的两条切线PM,

PN（切点为M,N）,则|MN的最小值是.

答案竽

解析本题考查利用直线与圆相切求最值.

如图，连接CM,CN,由题可知圆C的圆心为C（2,0）,半径r=2.

因为./2=唱=等

所以当|PM|敢小时，IMN1最小，因为|PM|=A/|PC|2-4,

所以当伊。最小时，|MN|最小.

|PQmin=^==3V2,此时8S/MCP=^=坐，

5

-

cosZMCN=2cos-ZMCP9

则|MMmin=y22+22-2X2X2X

题组层级快练(五十四)

一、单项选择题

1.(2022•山东省实脸中学期中胭G：(X+2)2+。，-2)2=4和圆。2：住—2)2+(3，-5)2=16的

位置关系是()

A.相离B.相交

C.内切D.外切

答案B

解析易得圆G的圆心为G(-2,2),半径外=2,圆G的圆心为C?(2,5),半径废=4,

22

圆心距|CiC2|=A/[2-(-2)]+(5-2)=5<外+小=2+4,圻以两圆相交.

2.已知圆『+)2+2L2)，+“=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数。的值是()

A.-2B.-4

C.-6D.-8

答案B

解析先求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，再列方程求解.

由圆的方程『+产+〃-2)，+。=0可得，圆心为(一1,I),半径,工(“<2).圆心到直

线x+y+2=0的距离为J="~~"』=也•由/=j+(9，得2—a=2+4,所以a=~4.

3.已知圆Oi的方程为/+()，+1产=6,圆02的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两

点，且|4阴=4,则圆0?的方程为()

A.(A—2)24-(j--1)2=6

B.(L2)2+()，—1产=22

C.。-2)2+。，-1产=6或(%—2产+1产=22

D.(A-2)24-(Y-1)2=36或(十一2)2+()，-1)2=32

答案C

4.在平面直角坐标系中，直线工一)，+1=0与圆C：/+)2—*8)，+13=0相交于A,B两

点，P为圆。上的动点，则△布8面积的最大值为()

A.2+26B.2

C.14-^2D.2+6

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.

圆。的标准方程为3-1)2+。-4)2=4,圆心为C(l,4),半径r=2,圆心C到直线AB的

11-44-11

距离d==6...|AB1=2V?二了=26.由于P为圆C上的动点，则点P到直线

A3距离的最大值为d+r=j+2,因此，ZSAW面积的最大值为枭阴Yd+r)/x2啦X(小

+2)=2+241故选A.

5.(2022・衡水中学调斫卷)圆«+〉2一以+2)，+。=0与)，轴交于4B两点,其圆心为尸，若

N"8=9