2023年高考数学一轮复习 备用题 第10单元 立体几何

第十单元立体几何

10.1空间几何体的直观图、三视图及其应用

1.给出下列四个命题，其中正确命题的个数是—

⑴一个棱柱至少有5个面.⑵平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.

⑶有一个面是平行四边形的棱柱一定是四棱柱.⑷正极锥的侧面是全等的等腰三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：D

解析:⑴三棱柱的面最少，有5个面，故（1）正确.⑵平行六面体的六个面都是平行四

边形，且相对的面两两是全等的，故（2）正确.⑶棱锥的侧面都是三角形，有一个

面为平行四边形，这个而一定是底面，即为四棱锥，故（3）正确.⑷正极锥的底面

是正多边形，恻校长都相等，故侧面都是全等的等腰三角形，所以（4）正确.

2.一个四核锥的三视图如图所不，一只蚂蚁从该四棱锥底面上的一个顶点出发，经过四梭•锥的

侧面爬到与其不相邻的另一个顶点（同-条棱上的两个端点称为相邻顶点），则这只蚂蚁

经过的最短路程为（）.

h--2--IIKT

正（主）视图他（左）视图

帽视图

V2心/+W73+V?

答案：B

解析：四棱锥P-ABCD如图吁示,PDJ_平面ABCD,BD_LDC,底面为平行四

边形，且PD=DC=1,AD=PC=Y,PA=.

①沿着侧面从A到C,若沿着侧面PAD与侧面PDC展成平面图形，则最短的

路程为1+6，若沿着侧面PAB与侧面PBC展成平面图形，＜■

口

y3+优

则由余弦定理得最短路程为：

②沿着侧面从B到D,若沿着侧面PAB与侧面PAD展成平面图形，得最短路

程为W.若沿着侧面PBC与侧面PCD展成平面图形，则最短路程为一厂.

综上，最短路程为第.故选B.

3.已知△ABC的平面直观图△A，B，C是边长为a的正三角形，那么原^ABC的面积为（）

口岸0

A.2B.4C.2

答案：C

=空—Sr

解析:直观图的面积S'=T1一下，设原图面积为S,则由S'=T,得S'=

取、展字故选c.

4.如图足利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知ABO的面积为16,过N

作ACJ_x，轴，则AC的长为（）

A.2戊B艰C16a.D.1

答案：A

解析：•.,AB犷轴.,.在^ABO的中，AB±OB,5LVAABO的面积为16

AB«OB=i6，•.•OB=O'B'=4,AAB=8，.•.AE=4.如图，作AC_LOE于C

V2

•.•<A'B'C'=45。,JAC的长为:4sin45*2▼.故选A

5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直,

ifWH

则该几何体的体积是（）

17<16012

A尸VC产

D.D.32

・M0

答案:B

解析：根据三视图可得几何体为正方体中挖去一个倒置的四棱锥O-AIBCQI.

116C

-K4K4乂7

如图所示，故其体积为：4?-3=3.^B.

6.一个正方体挖去一个多面体后，剩余几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和视

图均为边长等于2的正方形，贝J挖去多面体的体积为（）

A.8B.2C.4D3

凶

答案:D

解析:将三视图还原可得下图，挖去多面体为正四棱锥,其体积为V=

故选D.

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（)

A

K-2—H

ATBVC"D,2*3

答案:B

解析：由三视图知:该几何体是一个底而边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥，如图所示:

ABNBI/C作故选B

・•・该几何体的体积为V=/SA

8.（2021•北京）某四曲体的三视图如图所不，该四曲体的表面枳为（）

正（主）视图倒（左）视图

俯视图

A.3+立B.3+73C.-+\5D.3+—

2222

【答案】A

【解析】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O-AAC,其侧而为等腰直角三角形,

底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为

+

3x—xlxl+^-xfV?）-=^,故选A.

24''2

9.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）

A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个棱柱

【答案】B

【解析】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的

长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆

柱，故选B.

10.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCO为底

面，则四边形EFGH的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定

【答案】B

【解析】由长方体的性质：各对面平行，易知HGUEF,EHUFG,EFGH为平行g

边形.

故选B.

10.如图所示是水平放置的三角形的直观图，Q'是中B'C边的中点，且A77平行

于y'轴，那么AZ',A'r>',4'C'三条线段对应原图形中的线段4所从。,4。中（）

A.最长的是48,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是A8

C.最长的是A3,最短的是AOD.最长的是A。，最短的是AC

【答案】C

【解析】由题中的直观图可知，A'。'"/轴，8'。'//"轴，根据斜二测画法的规则可知,

在原图形中AD〃y轴，8C〃x轴.

又因为。为8C的中点，所以△ABC为等腰三角形,且AD为底边8C上的高，则有AB=AOAD

成立.故选C.

11.如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OA3,斜边长03=1,那

么原平面图形的面积是（）

y

A

A）R0n1

A.2B.C•D.

242

【答案】B

【解析】根据斜二测画法可得原图形为如图所示△O4'8',因为△OAB是等腰直角三角形,

根据斜二测画法可得为直角三角形，；OB=1,:.OB'=OB=l,

QA=204=JL所以原平面图形的面积是Ix夜二1.故选B.

22

12.（2021♦安徽合肥质检）如图.网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个四棱

锥的二视图，则该四棱锥最长棱的长度为（）

z正观K图侧视图N

―丁图

A.4拉B.4右C.8D.8五

【答案】：B

【薛析】：根据三视图转换为几何体的直观图为:

该几何体为四棱锥

体A-BCDE.如图所示：所以，BC=4=DE=AE所以

CD=AD=AC=BE=>]42+4i=4x/2,BE=«46)2+4?=4、回故选R

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

答案:32几

解析：根据三视图作出原几何体的直观图如下图所示:由三视图可知，该

几何体为三棱锥Ai-ABC,且AA】_L底面ABC,由三视图中的数据可

何^32+3=2V3V3+I2=□「1二AC

得AB=,BC=2,JaACM.AB-+BC~=AC~,

则ABJ_BC,将三棱锥ArABC补成长方体ABCD-A|BQD】,••三棱锥

Ai-ABC的外接球直径为2R=^12+4+16=4^...R=2便因此，该几何体的外接球的表面

积为S=4兀葭=32兀.故答案为：32兀.

14.已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若

该圆锥的顶点与底面圆周都在球0的球面上，则球0的表面积为.

答案:

解析：该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为0出=2,

且AO|=1,PA=B.二POi=BF=2®,设球O的半为R.

由球的性质可知，R2=Q*R)2+22.解之，得R，3故球O的表面积为S=4nR2=41rx

故答案为1.

15.如图，四边形A8C。是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB//CD,AD1CD,

且3C与轴平行，若48=6,8=4,3C=2五，则原平面图形的实际面积是.

【答案】20拒

【解析】由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且A8,CO的长度不变,

仍为6和4,高8。=4及，故所求面积S=gx(4+6)x4忘=20夜.故答案为：20夜

16.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视

图的面积为cm2.

【答案】

【解析】根据题息，止四面体的校长可取为2夜cm，且该止四面体的主视图是•个底边长

为。=20cm，腰长为向加的等腰三角形.所以主视图的高为

力=6)--(及)=2(7〃

从而可得主视图的面积为S=La〃=Lx2&x2=2点cm?.故答案为：2夜.

22

10.2空间几何体的表面积与体积

1.下列说法中正确的是().

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是恃殊的四棱柱

C.所有几何体的表面都能展开成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

答案B

解析棱柱的侧面都是四边形,A不正确；

正方体和长方体都是特殊的四棱柱,B正确；

不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形,C不正确；

棱柱的各条棱并不是都相等他棱柱的侧棱都相等.D不正确：

故选B.

2.某几何体由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，该几何体的三视图如图所示，若三棱锥的

体积为匕，四棱锥的体积为匕，则耳：匕=()

220^

正视图侧视图俯视国

A.1:4B.1:3C.2:5D.3:4

【答案】A

【解析】由三视图可知,该组合体的直观图如下；则

1141“吟，所以

V=-x-x2x2x2=-,V：=-x2x2>

1323'3

416

V,：V,=-：y=l：4.故选A.

3.已知：△ABC是面积为竿的等边三角形,且其顶点都在球o的球面上.若球O的表面积为

16乃，则O到平面ABC的距离为（)

A.V3B.5C.lD.苧

答案C

解析设球。的半径为改.则41^7=16]!，解之，得超=2.设△4BC外接圆

半径为n边长为。：公川配是面积为竿的等边三角形，二#x苧=苧里逡

解之，得°=3.二丁="以上=人二球心。到平面曲的距离

3443、4

d=V第一e=V4-3=1.故选C.

3.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的

底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则半球的说法

正确的是（）

A.半径是3B.体积为烟!

C.表面积为27兄D.表面积为18H

答案：ABC

解析：如图，△次是正四棱锥的对角面，设球半径为了，4£是半圆的直

径，则正四棱锥底面边长为缶，棱锥体积为/\

40c

2

y=lx（Va-）xr=p=18,r=3,半球体积为

V=^HF3=?-!rx3a=18JI>表面积为S=2JFX3,+>TX3?=27H，故选：ABC.

4.（2021.四川成都三诊）某几何体的三视图如图所示，已知网珞纸上的小正方形边长为1.

则该几何体的表面积为（）

A(20+8伪房B.(20+4扬乃

r（24+8淄）乃n（24+4&）1

【答案】B

【解析】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分

为圆柱，圆锥的底面半径为2,高为2,圆柱的底面半径为2,高为4.则该几何体的表面积

为.5=^X22+2^X2X4+^,X2X2垃=（20+4&）乃故选g

5.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1,显方,则此三棱锥的外接球的表面

积为（）

A.6RB.12nC.18HD.

答案A

解析由题意，得三棱锥的外接球即为长宽高分别为L逐次的长方体的外接球，又•・♦长方

体的体对角线长为外接球的直径，球的半径尺=+（血fMG）=如.•.球的表面积

22

S=4nR2=6H.故选A.

6.（2021•安徽合肥调研）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三

视图，则该儿何体的体积为（）

48^

A.2布+46+10B.C.5D.3

【答案】C

-x2x4

【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体是由一个底而面积为2的直角三角形,

V=1，・2*4・2=-

高为2的三极锥体，故323.故选c.

7.已知圆锥的表面积等于1271cm2,其侧面展开图是一个半圆，则底而圆的半径为（）.

A.lcmB.2cmC.3cniD.4cm

答案：B

解析：SA=7rr+nr»2r=3rtr=\2n,，L？cm.故选B.

8.《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.

今有如图所示的堑堵形状（A8=8。）容器装满水，当水量使用/一半时，水面高度占A8的

C.2D.叵

22

【答案】C

【解析】水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半,

因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的也，所以水面高度占AB的”也，

22

故选C.

9.（2021•浙江卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的为积是（）

D.3正

【答案】A

【解析】几何体为如图所示的四棱柱ABC。-A/GA,其高为1,底面为等腰梯形AACO,

一也

该等腰梯形的上底为下底为2及，腰长为1，故梯形的高为

一2

故匕BCD-A用C闽=gx（五+2何=,故选A.

10.如图是某几何体的三视图，则该儿何体的体枳为（）

【答案】A

【解析】如图，由三视图知原几何体是一个三棱锥A—8C。，A3_L平面8CO,

BC=CD=4i，BCLCD,A3=2，V8co=:x2x；xV5x&=；.故

D«**乙D

选A.

BD

C

II.（2021•北京卷）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而

在水平面上枳聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如

卜.:

等级24h降雨量（精确到01）200mm-H

••••••••••••

小雨0.1-9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0~49.9

暴雨50.0-99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.

若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨

量的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

200

【解析】由题意，一个半径为二100（mm）的圆面内的降雨充满•个底面半径为

2

200150

—X—=50（mm）,高为150（mm）的圆锥，所以枳水厚度

-^-X502X1501工人山田也n

,3icT属于中雨.故选B.

d=---------；——=12.5（mm）

^-xlOO2'7

12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的梯卯结构，它的外观是如

图所示的十字立方体，其上.下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经

90。桦卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形

容器内，则该球形容器的表面积至少为（）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留乃）.

A.96乃B.84汇C.42乃D.16万

【答案】B

【解析】若球形容器表面枳最小，则正四极柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱

的体对角线长，即2R=揩+（2+2尸+2]=2用，所以R=后,球形容器的表面积

5=4乃/?2=84乃.故选B.

13.如图所示，在正方体44。）-4产。口中，S是棱上任意一点，四棱锥S-ABC。的

D.不确定

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为〃，则正方体的体积丫=/,易知四棱锥S-A8CO的高为S点

到底面的距离，即侧棱长，所以四极锥S-A3CD体积为=1/•〃=《，

3ABCD…33

所以P：V=_L,故四棱锥S-ABCD的体积与正方体A8C。-ABCQ的体积之比为

33

故选B.

14.正方体M为CG的中点，A8=2,k列说法正确的是（)

A.A[C±BM

B.三极锥C-8O何与剩余部分的体积比为土

c.直线G。与平面BOM所成角的正弦值为正

6

D.平面截正方体内切球的截而面积为£

【答案】BCD

【解析】因为AC_L8G，所以AC不垂直于8M,所以选项A错误：

112222

%-8/W=Vw-8CC=§X]X2x2xl=§,匕徐郃分=8一％_8““=8—§=彳，所以

二[’所以选项B正确：

%余部分11

设点G到平面BDM距离为/?,直线CQ与平面BDM所成角为6.因为M为CG的中点,

2

所以C到平面8DM等于C到平面8。例的距离，VC.BDM=~S^BDMh=-,因为

12A

$3=寸2必&=瓜，所以h=了，所以sine=_L=U^=@，直线G。

2标一CQ-2夜一6

与平面BDW所成角的正弦值为正，所以选项C正确；

6

如图，设。为正方体内切球的球心，O?为截面圆的圆心，。为球O与底面A8CD的切点,

连接,OO],OM,OO2,则。O；,_L面3ZW.Rt/XOOM中

O、MOO,=（X）TOM,所以oo、==且普=9,所以

0、MGQ

4。2=/'=5,所以截面圆的面积为?，所以选项D正确.

故选:BCD.

15.在三棱锥产一A8c中，R1_L底面ABC,BC±PC,P4=AC=&,BC=a,动

点。从8点出发，沿外表面经过棱PC上•点到点A的最短距离为痴，则该棱铢的外接

球的表面积为（）

A.51B.&7TC.10汗D.20期

【答案】B

【解析】符侧面P8C沿PC就折到与侧面A4C共面，如下图所示：

则动点。从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB，

底面48C,ACu平面ABC,:.PALAC,又BCA.PC,PA=AC,

NAC8=—+一,

24

.•.482=4。2+3。2-24。3。（：00/4。8=2+。2+2&。又巫=10，解得：a=2,

2

:.PB7PC?tBC27P#+AC?+BC?=26取户8r点。，连接AQC°,

•.•24_14也产。_13。，/./10=。0=,尸6,，0为该校锥的外接球的球心，共半径

2

R=&，，球。的表面积S=ITTR?=8».故选B.

2

16.（2021・贵州模拟）如图，在△/WC中，48=AC=JLcosNBAC=-,,。是棱BC

的中点，以A。为折痕把八48折叠，使点C到达点C'的位置，则当三棱锥C'—AB。体

积最大时.，其外接球的表面积为（）

【答案】D

【解析】在aABC中，因为A5=AC=G，cosN8AC=-g,由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=3+3-2x百xx/5x〔-g）=8,所以BC=2>/L

当CDJLBD,即CD±平面ABD,三极锥C-ABD体积最大，此时C'D、DB、DA两

两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：1,血,及，所以三

qBD'AD'CD:/+（可+（垃）=立,所

棱锥U—A3。的外接球半径为:

-2.22

以外接球的表面积为：S=4TTR2=4TTX（—^尸=5乃.故选D.

17.设正方体AHCO-AqGR为部有两个球01和O?,已知球。与正方体的三个面相切，球

。2与正方体的六个面均相切，且球。I与球。2也相切.设球。”。2的半径分别为（，4,

则上=（）

r2

A.V3-V2B.2->/3C.D.1--

22

【答案】B

【解析】不妨设正方体的棱长为2,球。।同时与以A为公共顶点的三个面相切.由题可知,

两个球心。一和两球的切点均在体对角线AG上，两个球在平面处的截面如图所

示，则。2"=4=1，4。2=年=\/5,:.AF=AO2-O2F=43-\,又

AF=AOI+OIF=^+/5=（^+1）7；,._1_（——1）.2...4=2—3

V3+12"今

18.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面.上，则该圆柱的

B

体积为（）

3・

A.兀B,C.D.

答案B

解析绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC=1,AB』.结合勾股定理，得底面半径

一WX隹）=-!!

?.由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积V=7tLh=\2j•.故选B.

19.（2021•全国）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉

七世就己经开始用15种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水己经逐渐成为众多女士的日常

用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男1•香水的包装瓶如图（I）所示,其三视图如图（2）

所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为I,则该香水瓶的体积为（）

图⑴

A.乃+120B.2乃+120C.江+110D.2万+110

【答案】D

【解析】由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：故其体积为

2

5x(24-2)+,rxlx2=110+2乃，

故选D.

20.（2021•山西太原模拟）如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（

俯视图

A.该四面体外接球的体积为48万

2/r

B.该四面体内切球的体积为3

C.该四面体外接球的表面枳为326乃

D.该四而体内切球的表而枳为2广

［答案］口

【蓝析】由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为三棱锥，底面三角形3C。为等腰直角三角形，BD±CDtRD=DC=2五,

侧棱AO_L底面BCO,且人。=46.设三棱锥外接球的球心为0,8c的中点为七，连接

OE,则=.外接球的半径为8=2?=20外接球的体积

"一§"乂(28)-32%,表面积为41x(20)2=48,设三楂锥内切球的半径为r,由等

体积法可得：

—X—x4x2x4V2=—(―x4x2+2xix2>/2x4\/2+—x4x6)/•r=^-

323222，解得：2,则三棱锥内

4

-JTX上4,x°

切球的体积为33,表面积为.综上可知，A、3、C错误,

。正确.故选D.

21.两个半径都是/(rAl)的球01和球O?相切，且均与直二面角1-/一/7的两个半平面都

相切，另有•个半径为1的小球。与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球。।和球O?

都外切，则厂的值为().

及+177+3

A.72+1B.5+3rD.

2

答案D

解析•・•三个球都与直二面角a-1-B的两个半平面相切，J/与。।、

。2、。共面.如图所示，过点。「。2分别作«M_U、O2NYl,

垂足分别为点M,N,过点。分别作OAJL/,OB，。.，则|。也|=102可二正广,

22

\OA\=42,|O,B|=|O2B|=r,|<9O,|=|002|=r+1,\0B\=|-\0,B|=V2r+I

|=|。4|+|O耳=0+N/27+T=叵r；历斤=夜一贝.等式两边平方得

2r+1=2/-4r+2•化简得2，一6r+1=0，Vr>\,解之：得/•二^^，故选D.

22.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为(

9

正D.—71

.542

【答案】D

【解析】由三视图可知该几何体是底面为边长为2的正方形，斜高为石的正四枝锥

S-ABCD,如下图所示：

连接正方形A8CO的两条对角线AC与30,交于点O',连接SO',则SO'是四棱锥

S-ARCD的高,设七为8C的中点，连接SE,则SE_L8C,设外接球的球心为O,则O

在SO'上.

连接OCO'E,在RsES。中,SE=5E(y=\,EO'_SO',.设外接

球的半径为R,则。。=|2-用，OC=R,O'C=&,「.(2—/?『+(正『=R2,解得:

R=13,，外接球的体积V=24»R3=42;r-==9乃，故选D.

233⑵2

23.已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八而体、正十二面体和正二十面体.

任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1的球既是一个正四面体的内切球，又

是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为（）

A.73-1B.IC.272-ID.2

【答案】D

【解析】固定正四面体A8C。不动，则其内切球也随之固定，考虑顶点A与正六面体（即

正方体）的顶点的距离，当正方体的顶点在球面上移动时，顶点A到球面上点的距离最小

值就是顶点A与正方体顶点距离的最小值，即当球心和顶点A以及正方体的顶点共线且A

和正方体的顶点落在球心同侧时取得最小值，由正四面体的内切球半径为1,根据正四面体

的特征,可知球心到顶点A的距离为3,所以顶点A到球面卜点的距离最小值为3-1=2.

故选D.

24.已知圆柱的上、下底面的中心分别为Oi，（X过直线01,的平面截该圆柱所得的截面是

面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12乌B.12兀C.8"D.lOn

答案B

解析根据题意，可得截面是边长为2迎的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半

径是出的圆，且高为2出所以其表面积为S=2兀卢）2+2兀戊.2迎=12兀故选B.

25.已知圆锥的表面积为9,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面面积等

于.

答案:3

3匚G1^+2^!^-=3!!^=9二—=：:5鹿=*=3

解析：S«=",

26.八面体的每一个而都是正三角形，并旦4个顶点A.BC.D在同一个平面内，如果四边形

ABCD是边长为30cm的正方形，则这个八面体的表面积为.

^X302=1800v5c!rf

解析：S=8**

27.（2021全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3（反则该圆锥的侧面积为

28.球。的球心为点。，球。内切于底面半径为5、高为3的圆锥，三棱锥y-ABC内接于球

已知。A_LO8,AC_L8C,则三极锥V一/此的体积的最大值为.

解析圆锥的母线长为历3=2代,设球O的半径为了，则言=言，解得

r=l,vOil100,04=00=1A4B=V2--ACLBC,式：在以AB为直

径的圆上，二平面Q4B坪面必T,二O到平面ABC的距离为李

故『到平面4BC的最大距离为乎+1，又C到AB的最大距离为它

二三极锥V-题:的体积的最大值为:x界ax?x4+l）=萼

2+V2

故答案为

12

29.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为婆篇.若三

棱锥P-AHC为鎏膈，旦B4JL平面ABC,R4=2,AB=3,BC=4,ABLBC则该墨膈

的外接球的体积为-

答案上

6

解析可以把几何体放在长方体中研究，如图所示,

所以长方体的体对角线长为，

厉不亨不不=V®=2ffAR=等.所以该几何体的外接球的体积为

7="第=噌

故答案为也反

6

30.在三极锥A-BCO中，AB=CD=\,AD=BC=2,NABC=90。，则该三棱锥的外接球的

表面积为,该三核锥的体积的最大值为.

答案：5兀，"

15

解析：取4£的中点E,连接DE,如图在△ABC中，VAB=\,BC=2ZA«C=90°

-AC=V3-在AilCD中VCD=\,AD=2,AC=书,A4D2+CD2=AC2.\ZADC=

90。都是以好为斜边的直角三角形.，4£的中点菅到三极锥A-BC。的四个

顶点A、B、C、。的距离相等.，红的中点E是三棱锥的外接球的球心，••・7=4E=手=[

・••三棱锥的外接球的表面积：$=4一=5父・•三棱锥的体积：『

y=^s^Kht由题意得：/J,歹”

=*x1X2=1.，J=■而J表示点。到平面A，b

48。的最大距离.当平面AC/)JL平面ABC时，而取得最大值，此时J为中点。到边

AC的距离，*~=^^=等=萼,•,吠―=孑=誓X1=1

31.在梯形ABC。中，NA8C=NB4O=90，AB=BC=-AD=\,M为AC的中点,

2

将△ABC沿直线AC翻折成VAgC,当三棱锥岗-AC。的任枳最大时，过点M的平面

截三棱锥B.-ACD的外接球所得截面面积的最小值为.

【答案】-

2

【解析】如下图所示，连接用“，则片MJ.AC,

则―故利二管嗡泻，设

二面角四—AC—Q的平面角为。，设三棱锥勺-4CO

的高为力,则/?=gMsina=4^ina，

V^j-ACD=§S^ACD.'=§S"B•—sincr<—S

AAC/)

26

当且仅当a=90时，等号成立，即当平面与AC_L平面AC。时，三棱锥用-ACO的体积

最大，v/4C=x/2.AB-BC-X./人3C=90，故△ABC为等腰直角三角形，且

NACA=45。，

在梯形ABC。中，NA8c=NBA。=90',则8C//A。，所以，ZC4D=ZACB=45\

在△AC。中，AC=0，AO=2，NC4O=45：由余弦定理可得

CD=VAC2+AD2-2AC-ADcos45o=72*故4。2+。。2=4。2,.・.8_14(7，

因为平面4AC_L平面AC。，平面44。口平面4。。二人(；，CD±AC,CDu平面

ACD,\8八平面AAC.・.・4瓦u平面&AC,则A旦，CO,因为A用_L&C,

qCcCO=C,..A%_L平面片C。，•••qOu平面片C。，所以，A£J.q。，记AO

中点为。，由。4=04=0C=。。得。为三棱锥与―AC。的外接球的球心，旦球的半

径为OC=，A£）=I,

2

设0M与过点M的平面所成的角为6,设点。到截面的距离为“，则

d=OMsinO=

2Nt,当且仅当，=go”时，过点M的

2

平面截三棱锥外接球0所得截面面积最小，所以截面圆面积的最小值为4x

32.（2021•嘉峪关模拟）已知球。是正四面体S43C的外接球，E为线段8C的中点，过点

E"的平面。与球。形成的截面面枳的最小值为6万，则正四面体SA8C的体积为

【答案】