《用样本估计总体分布》教学设计一

2/2《用样本估计总体分布》教学设计一教学设计一、提出问题，引入新课情境1：某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品.情境2：某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%.上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况？师生活动：教师展示问题，学生思考回答.这个问题学生很容易回答，由于“生产100个产品有10个不合格品”与“生产1000个产品有10个不合格品”，这两种情况虽然都是10个不合格品，但是工厂生产产品的数量却大不相同，因此只知道某个指标的频数是不够的，需要用频率来刻画.从而出本节课的课题：从频数到频率.设计意图：通过生产生活中两个情境的比较，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，引入本节课的课题学习.二、新知探究（一）从频数到频率问题1：我们知道，频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征，请看下面2个例子：例1下表是某两名篮球运动员在中国男子篮球职业联赛（CBA）某个赛季的得分情况统计：根据这些数据分析两名运动员的得分水平.例2下面给出了2012年至2016年我国普通高等学校和高中新生录取人数及其相应的录取比例，请根据下图中的数据说明频数与频率的不同之处.师生活动：教师用多媒体展示两个例题，让学生分析、思考、交流.教师引导学生思考的角度：（1）对于例1，我们如何通过表格分析两名运动员的得分水平？解：由上面的数据可以看出，两名运动员的参赛场次相同，每场出场平均时间甲少于乙；甲的场均得分和总得分均高于乙.从投篮命中率、三分球命中率和罚球命中率来看，甲均高于乙，可以认为运动员甲的各项命中率较高.（2）对于例2，你能通过上图从频数和频率两个角度来分析录取新生的增长情况吗？通过分析你能得出什么结论？教师先让学生表述分析的结果，然后进行适当的补充和完善.解：从2012年—2016年，普通高等学校新生录取人数及其相应的录取比例都在逐年递增；高中新生录取人数基本呈逐年下降趋势，其相应的录取比例基本呈逐年上升趋势.从频数来看，高中录取新生，2013年是822.70万人，2014年是796.60万人，较上一年减少了26.10万人.但是从这两年的频率来看，2013年—2014年的频率却增长了3.67%.这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的.师指出：频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布.在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计.设计意图：通过学生熟悉的实际问题，引导学生分析从频数和频率两个角度分析问题的差异性，明确不能从频数一个角度分析实际问题.（二）频率分布表问题2：1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665年—1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下（单位：mm）：146141139140145141142131142140144140138139147139141137141132140140141143134146134142133149140140143143149136141143143141138136138144136145143137142146140148140140139139144138146153148152143140141145148139136141140139158135132148142145145121129143148138149146141142144137153148144138150148138145145142143143148141145141请你估计在1665年—1666年，英国男性头盖骨宽度的分布情况.师生活动：思考1：上述106个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？提示：最大值是158mm，最小值是121mm；变化范围.思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述106个数据按组距为5mm进行分组，那么这些数据共分为多少组？提示：，可以将数据分为8组.思考3：以组距为5mm进行分组，上述106个数据共分为8组，各组数据的取值范围可以如何设定？提示：思考4：如何统计上述106个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？提示：思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测头盖骨的宽度分布的大致情况，这里体现了一种什么统计思想？提示：用样本的频率分布估计总体分布.思考6：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？提示：极差和组距.思考7：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5~12组.若以0.1或1.5为组距对上述106个样本数据分组合适吗？提示：不合适，组距太小，组数太多.思考8：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？提示：第一步，求极差（极差=样本数据中最大值与最小值的差）；第二步，决定组距与组数；（设k=极差组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=）第三步，分组，确定分点，将数据分组；第四步，统计频数，计算频率，制成表格.（频数=样本数据落在各小组内的个数，频率=频数样本容量）设计意图：通过8个思考问题的设计，启发学生思考，引导学生归纳总结出列频率分布表的一般步骤.培养学生分析问题、解决问题的能力，提升学生数学抽象的核心素养.（三）频率分布直方图问题3：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：上图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积=组距=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.这里的频率分布直方图中横轴表示头盖骨的宽度，纵轴表示.频率分布直方图中各小长方形的高度在数量上有何特点？思考1：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？提示：各小长方形的面积=各组的频率，各小长方形的面积之和为1.思考2：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出头盖骨的宽度的一些数据特点吗？提示：（1）头盖骨的宽度的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的.（2）大部分头盖骨的宽度集中在一个中间值附近，只有少数头盖骨的宽度很大或很小.（3）头盖骨的宽度的分布有一定的对称性.思考3：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？提示：第一步，画平面直角坐标系；第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度；第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.思考4：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在头盖骨的宽度样本中，你能以10为组距画频率分布直方图吗？师指出：从图中可以得到头盖骨的宽度落在各个宽度区间内的频率（例如，宽度在的头盖骨所占的频率为43.4%），每个宽度区间内的频率值就是该宽度区间所对应的频率分布直方图的面积.图中所有小矩形的面积之和，就是头盖骨的宽度落在各个宽度区间内的频率之和，等于1.当样本容量较大时，样本中落在每个区间内的个体的频率会稳定于总体在相应区间内取值的比例.因此，我们就可以用样本的频率分布直方图来估计总体在相应区间内取值的比例，也就得到了总体的分布情况.（四）频率折线图问题4：如何由频率分布直方图得到频率折线图？师生活动：教师让学生阅读教材第163~164页内容.得出频率折线图的概念.学生动手画出教材例3的频率折线图.在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图，有时也用它来估计总体的分布情况.思考1：用样本是否能够准确地估计总体分布情况？样本容量的大小对总体的估计是否有影响，如何影响？提示：在上面的例子中，虽然我们是用样本数据的频率分布来估计总体的分布，与真正的总体分布是有差别的，但是当样本量不断增大时，样本中落在每个区间内的个体的频率会越来越稳定于总体在相应区间内取值的比例.也就是说，一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确.思考2：随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，这条折线将如何变化？提示：上面的例题中，若样本容量增大，则每个区间的长度可以由原来的5mm减小为4mm或3mm，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.当然，样本容量越大，工作量也就越大.所以在实际问题当中，我们一般都要根据不同的情况选择适当的样本容量.设计意图：让学生在思考问题的引导下进行学习，提升学生的思维水平.在思考的同时，要让学生动手画图，动手与动脑相结合，提升学生的数据分析与直观想象的核心素养.三、典型例题例1某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，40，59，46，45，67，53，49，65，47，54，35，57，43，46，58.（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计年龄在32~52岁的知识分子所占的比例约是多少.解：（1）极差为，取组距为5，分为8组.样本频率分布表如下：（2）样本频率分布直方图如下：（3）因为，故年龄在32~52岁的知识分子约占70%.例2为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4第一小组的频数是5.（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；（2）求并且将直方图补充完整.（3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？解：（1）第四小组频率为，参加测试的学生人数为.（2），频率分布直方图如图所示.（3）优秀率为.四、巩固练习1.教材第164页练习第1题.2.教材第165页习题6-3A组第1题.五、课堂总结1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.板书设计3用样本估计总体分布1.频数与频率2.频率分布表第一步，求极差（极差=样本数据中最大值与最小值的差）；第二步，决定组距与组数；（设k=极差组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=）第三步，分组，确定分点，将数据分组；第四步，列表，统计频数，计算频率，制成表格（频数=样本数据落在各小组内的个数，频率=频数样本容量）3.频率分布直方图图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积=组距=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图频率分布直方图的作图步骤：第一步，画平面直角坐标系；第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度；第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形4.频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图例1例25.课堂总结教学研讨本案例紧扣教材，充分挖掘教材，以问题导学，让学生在思考、讨论、交流中进行知识的抽象概括，在数据的分析中形成图表.在学习频率分布表时设计了一个大问题，然后又设计了8个思考问题引导学生思考，在追问中让学生的思考更条理，最后归纳总结出列频率分布表的一般步骤.在教学中，要让学生弄清楚统计的基本思想是研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质，即如何根据样本去探求有关总体的规律性，而统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，可以为人们制定决策提供依据，借助死记硬背一些概念公式，简单模仿例题来