山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置，并在答题卡规定位置贴条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的答题区域内．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，由，可得，即，所以．故选：D．2.若复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由，得，所以．故选：B．3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，，若，则，解得或，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．4.已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为数列为等差数列，则，又，则，即，设数列的公差为，因为，所以，故．故选：C．5.设是空间中的一个平面，，，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解析】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A错误；对于B中，由，，知或，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确．故选：D．6.已知，，，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，，故，且，故，所以．故选：D.7.若正四棱锥的高为，且所有顶点都在半径为的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，由题意球的半径为，，所以，，，故中，边的高为，所以该正四棱锥的侧面积为．故选：B．8.若是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，当时，，则，所以在上单调递增，则在上单调递增，当时，，由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号，所以，又由，得到，所以，即实数的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，真命题是（）A.若，则B.若，则C.若.则D.若，则【答案】BC【解析】A选项，时，，A选项错误；B选项，设，根据幂函数的性质可知其在R上单调递增，，B选项正确；C选项，若，则，则，而，根据不等式的性质，，从而，C选项正确；D选项，满足，但无意义，D选项错误.故选：BC10.函数的图象，如图所示，则（）A.的最小正周期为B.函数是奇函数C.的图象关于点对称D.若在上有且仅有三个零点，则【答案】BCD【解析】依题意，，观察图象可得时，函数fx取最大值，又0<ω<1，所以，，解得，，而，解得，，的最小正周期为，A错误；是奇函数，B正确；，，令，，可得，，因此的对称中心为，当时，函数的对称中心为，故C正确；，，当时，，依题意，，解得，D正确．故选：BCD．11.在正方体中，分别为棱的中点，则（）A.平面 B.C.直线与直线所成角为 D.平面经过棱的三等分点【答案】ABD【解析】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，对于A，，设平面的一个法向量，因为平面，所以平面，A正确；对于B，因为，所以，B正确；对于C，设直线与直线所成角为，则，又，所以，C错误；对于D，在棱上取一点，如下图所示：则，设平面的法向量，平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，又，解得平面的一个法向量，因为平面平面，所以当时，共面，此时，即解得，所以平面经过棱的三等分点，可得D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，若，则__________．【答案】【解析】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，故．由题意，得，即，，所以．故答案为：13.已知正数，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，得，所以，因为，，所以，所以，即，所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”，所以的最小值为．故选：D.14.一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．【答案】-2【解析】因为，，所以，，则在点处的切线方程为，即；在点处的切线方程为：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若为边上一点，且，求的值．解：（1）依题意，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，所以，即，因为，所以，所以，即．（2不妨设，则，因为，所以为等边三角形，则，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以．16.已知函数．（1）证明：函数的图像关于点对称：（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：函数的定义域为，依题意，所以函数的图像关于点对称．（2）解：当时，，由已知，不等式恒成立，因为，所以，以上不等式可化为：，整理得，，设，由，知，上式可转化为，，因为，由，知，所以，所以实数的取值范围为．17.如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点(不包括端点)，求二面角的正弦值的最小值.（1）证明：连接交于点，连接，因为是菱形，所以，为的中点，，所以．又，面，且，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：过做交于点，平面平面，，面面，面，所以面，则即为直线与平面所成角，，，，面，，面，面，则，为，的交点，为等边三角形，所以为的重心，，则，中，解得，以为原点，，所在直线为，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，故．设，，则，设平面的一个法向量为，则，令，故.设平面与平面夹角为，，令，，因为，所以，则，当时，即，时，，此时，二面角的正弦值的最小值为.18.已知函数．（其中是自然对数的底，，）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求整数的最大值（）．解：（1）函数定义域为，．当时，，在上是增函数；当时，由，解得，由，解得．所以函数在上是增函数，在上是减函数．综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数．（2）由题意当时，，整理得．令函数，则．令，则．当时，恒成立，所以在单调递增．又，，所以，使得，即．故时，；时，．因此在单调递减，在单调递增，所以．令函数．则，所以在单调递增，因此．又，，∴．因此整数的最大值为1.19.已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为阶等比数列．（1）已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式；（2）若数列二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列；（3）已知，令的前项和为，，证明：．（1）解：因为，又，所以为公差为，首项为的等差数列，因此，即，所以．（2）证明：因为为二阶等差数列，所以（为