山东省济宁市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，焦点在轴上，故焦点坐标为.故选：C2.已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】在直线上取点，则与之间的距离即为点到直线的距离，即为.故选：A.3.已知数列为等差数列，且，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】由等差数列的下角标性质可知，得，，得，设等差数列的公差为，则，所以.故选：D.4.圆与圆的公共弦的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则圆心距离为，故两圆相交，则两圆的公共弦所在直线方程为，即，所以公共弦的长度为.故选：D.5.在三棱柱中，，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，又，，，故.故选：B.6.若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则r＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】圆心到直线距离，因为圆上恰有3个点到直线的距离为1，与直线的距离为的平行直线有两条，如图中虚线，当圆与这两条平行线中的一条有2个交点，一条相切时，可满足题意，此时.故选：C.7.若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知椭圆的参数方程为(是参数)，，故，，，故设，由两点间距离公式得，，故，而，，故，即，故B正确故选：B8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知条件有，当时，，，，，，以上各式累加得：，又，所以，经检验符合上式，所以，所以，设数列的前项和为，则，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知直线l：，则下列说法中正确的是（）A.直线l恒过点 B.若直线l的倾斜角为，则C.原点到直线l距离的最大值为 D.若直线l不经过第四象限，则【答案】AC【解析】对于A项，直线，则直线l恒过点，故A项正确；对于B项，直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为，得，故B项错误；对于C项，由A项知，直线l恒过点，则原点到直线l距离的最大值即为原点到点的距离，即，故C项正确；对于D项，当时，直线不经过第四象限，故D项错误.故选：AC10.已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法中正确的是（）A.若A与B互斥，则 B.若，则C.若A与B相互独立，则 D.若，则A与B相互独立【答案】ACD【解析】对于A，已知A与B互斥，则，故A正确，对于B，已知，则，故，故B错误，对于C，若A与B相互独立，则，故C正确，对于D，易知，，故，则A与B相互独立，故D正确.故选：ACD11.已知等差数列的前n项和为,且，则下列结论中正确的是（）A.是递增数列 B.时，n的最大值为13C.数列中的最大项为 D.时，n的最大值为27【答案】BC【解析】由已知，，，所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，B正确；则，所以是递减数列，A错误；且为等差数列的前n项和的最大值，C正确；，D错误.故选：BC.12.如图所示，在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，则下列结论中正确的是（）A.点到平面的距离为B.异面直线与所成角的余弦值为C.三棱锥的外接球的表面积为11πD.若点M在底面ABCD内运动，且点M到直线的距离为，则点M的轨迹为一个椭圆的一部分【答案】ACD【解析】对于A：以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设面的法向量，点到平面的距离为，则，，令，解得，，故，由点到平面距离公式得，故A正确，对于B：易知，，故，，设异面直线与所成角为，则，故B错误，对于C:设三棱锥的外接球的方程为，将代入球的方程，可得，利用加减消元法可得，解得，代入方程中可得，解得，，故表面积为，故C正确，对于D：因为到直线的距离为，故的轨迹是以为对称轴的圆柱，而又底面上，底面与对称轴不垂直，故在底面与圆柱的截面上，此截面必为椭圆的一部分，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题．13.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．【答案】121【解析】设公比为，故，解得，所以，故.故答案为：12114.若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______．【答案】【解析】因为A与B相互独立，，所以.故答案为：15.如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______．【答案】【解析】因为二面角的大小为，，.,即两点间的距离为.故答案为：16.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为______．【答案】【解析】设双曲线右焦点为，则，则，所以，又，所以，整理得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆M过点，，．（1）求圆M的标准方程；（2）若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且，求直线l的方程．解：（1）因为AB的中点为，AB的斜率为1，所以AB的垂直平分线为，即．又BC的垂直平分线为y＝0，联立，得，所以圆心M的坐标为．所以圆的半径为，所以圆M的标准方程为．（2）显然直线l的斜率存在，设其方程为．设圆心到直线l的距离为d，则，则，解得，所以直线l的方程为，即．18.一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．（1）若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；（2）若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．解：（1）把4个红球标记为,，,2个蓝球标记为,从箱子中随机抽取两球的样本空间为:，共有15个样本点，设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，则事件，包含7个样本点，∴．（2）设事件“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，则，且与互斥．所以，，则．19.已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．解：（1）由题意知，点M到准线的距离为3，所以，解得．故C的方程为；（2）设，，由得，所以，，，．因为，所以，即，解得或0．又直线l不过原点O，所以．又满足要求，所以．20.已知数列的前n项和为，且．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．解：（1）因为，①当时，，所以．当时，，②由①－②得，即，所以，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故．（2）因为，所以，解得，所以．所以，，两式相减得．．所以．21.如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，且，，．（1）求证：平面ACF；（2）在线段AE上是否存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为．若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四边形是菱形，且，所以，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，易知，则，，，，，所以，，得到，故，，得到，所以，又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．（2）假设存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，设，，则，所以，，．即，所以，，设平面的法向量为，则即，所以，令，得，所以，又平面的一个法向量为，所以，解得或(舍去)，所以，存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，点为线段的中点．22.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且．（1）求的标准方程；（2）不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值．解：（1）由题意可得，又因为椭圆的离心率为，所以，又，联立解得，，所