山东省济南市2023-2024学年高二上学期期末质量检测模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2023-2024学年高二上学期期末质量检测模拟数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由题意得，解得，故选：A.2.记等差数列的前项和为，则（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，故选：C.3.在三角形中，，，，则（）A.10 B.12 C. D.【答案】A【解析】记，则，，，．故选：A.4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，对于D，平行，不可能垂直，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线【答案】C【解析】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.6.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆,其长轴长度约为,短轴长度约为.若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆方程为：，，由题意可得，，将，代入方程，得，因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，令，得(m)，故选：C．7.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分条件 B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】由已知得圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，即，所以所求直线方程为．“”是“直线与圆相切”的充要条件，故选：C．8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，，则，即，故，则有，即，即，则，由，故.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B.直线在轴的截距是2C.直线的倾斜角为30°D.过点且倾斜角为90°的直线方程为【答案】CD【解析】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD10.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A.A1C⊥平面B.存在点P，使得AC1∥平面C.存在点P，使得点A1到平面的距离为D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】连接因为，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面易证⊥平面，所以⊥平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.因为，点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面梯形，D正确故选：ACD11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A.B.延长交直线于点，则，，三点共线C.D.若平分，则【答案】AB【解析】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上，所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_____.【答案】【解析】如图：，，，所以，所以，所以的长为，故答案为：.13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．【答案】；【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，由题可知：，所以球的半径所以圆锥的体积为，球的体积，所以；圆锥的表面积，球的表面积，所以，故答案为：；.14.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________.【答案】【解析】如下图所示，易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；由题意可知球心为中点，故球O的直径，解得由分别是的中点可得，可得平面；所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，在三棱锥中，易知平面，且，所以，而，由等体积法得，所以，故截面面积为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆心在直线上.（1）若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标（2）若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆.解：（1）根据题意可设圆心，半径为；由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：由勾股定理可得，解得，此时圆心，半径为2，圆的方程为；所以圆心的坐标为；（2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：因为圆心在直线上，所以；若圆与直线相切可得，若圆与圆相外切，则，即，可得，该方程，所以该方程无解，故不存在满足题意的圆.16.已知两条直线：，：.（）（1）若，求值；（2）若，求，之间的距离.解：（1）由于，所以.（2）当时，两条直线的方程分别为和，此时两直线不平行，不符合题意.当时，由于，所以，解得或（舍去）当时，两条直线的方程分别为和，，之间的距离为.17.已知数列满足，且点在直线上（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值．解：（1）由点在直线上得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列，故，即．（2），所以，要使对恒成立，，即，又，所以的最小值为5．18.如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）在线段上找一点，使平面，并说明理由；（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.解：（1）如图所示：当点为的中点时，平面，证明如下：设为中点，连接.因为在三棱柱中，，分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）如图所示：取中点，连接.因为，，所以为正三角形，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为为等边三角形，所以.以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意得，所以，.设平面的法向量，则由，得，令，得.取平面的法向量，设平面与平面所成二面角的大小为，则.所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.19.已知直线与抛物线相切于点A，动直线与抛物线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A.（1）求抛物线C的方程及点A的坐标；（2）当点A到直线的距离最大时，求直线的方程.解：（1）