辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设集合，可得：，且，故.故选：C.2.已知i是虚数单位，则复数，，若是实数，则实数a的值为（）A. B.2 C.0 D.【答案】A【解析】因为，因为是实数，则，解得.故选：A.3.不等式成立的一个充分不必要条件是()．A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式化为，即，解得不等式成立的充要条件是所以不等式成立的一个充分不必要条件是，故选A.4.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（）A.八层 B.十层 C.十一层 D.十二层【答案】D【解析】设该塔共有层，则，即，解得或（舍），即该塔共有层.故选：D5.已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，为圆锥底面的中心，则底面圆，则即为圆锥母线与底面所成的角，设圆锥的半径为，则圆锥的高为，所以，当且仅当即，则母线与底面所成角的正弦值为.故选：A.6.已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】依题意，为奇函数，则，即，由于，所以，，因为，则，由于在上单调递增，可得，解得，所以的最大值为.故选：C.7.已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为直线与圆相切，设圆的半径为r，则，所以圆的标准方程为.故选：A.8.如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（）A.对于任意点，平面B.直线被球截得的弦长为C.过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为D.当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为【答案】C【解析】对于A，根据已知条件圆为以为圆心，半径的圆；在棱上移动，当与点重合时，平面即为平面，因为在直线上，所以平面，所以与平面相交，A错误；对于B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，则，，，设直线与直线夹角为，则，由此可知，连结，过作直线的垂线，垂足为，则在中，有，解得，设直线被球O截得的弦长为，则，B错误；对于C，过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，有垂直于过的平面，此时圆的半径为，圆的面积为，C正确；对于D，根据题意当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面为正六边形，，在中，，所以边长，所以截面面积为，D错误.故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】对于A，由于，故数列是递增数列；对于B，由于，故数列是递增数列；对于C，由于，，故数列不是递增数列；对于D，由于，当时，，，即，又，所以数列是递增数列．故选：ABD.10.已知，.若，则（）A.的最小值为9 B.的最小值为9C.的最大值为 D.的最大值为【答案】BC【解析】由题意知，.A.，当，即时，等号成立，所以的最小值是4，故A不正确；B.，当，时，等号成立，所以的最小值为9，故B正确；C.由于，，故，当时等号成立，即时等号成立，所以的最大值为，故C正确；D.，当且仅当时，即时，等号成立，但，所以等号不能成立，故D不正确.故选：BC.11.已知内角对边分别为a,b,c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若的三角形有两解【答案】ABD【解析】对于A，因为，则由正弦定理可得，，所以，即，故A正确；对于B，由余弦定理得，化简得，故为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理，因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；对于D，若，则由正弦定理得，因为，所以三角形有两解，故D正确；故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数是奇函数，则________.【答案】【解析】若，则，故，而，所以.故答案为：13.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是_____，体积是_____．【答案】①.②.【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：该几何体为直三棱柱，正视图为等腰直角三角形，且斜边长上的高为，斜边长为，故该“堑堵”的正视图的面积是，体积为.故答案为：；.14.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点，，若点，且，则直线的斜率为________.【答案】【解析】设直线的斜率为，，则直线，，联立方程，消去得，，则，，故，，设直线的倾斜角为，则，则，故，令，解得．故答案为：．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）函数取得最大值或最小值时的x组成集合A，将集合A中的所有x的值，从小到大排成一数列，记为，求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）由，所以且时，最小值为，且时，最大值为，结合题意知，，故（2）由，所以.16.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数，；；.（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.解：（1）因为，故常数为；（2）推广：当时，．证明：因为，则，．17.在如图所示的五面体中，四边形为直角梯形，，平面平面，，是边长为2的正三角形.（1）证明：平面；（2）证明：平面．

证明：（1）因为四边形为直角梯形，所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又平面BAEF，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，依题意易知，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，由（1）有：，所以，在和中，，，又，所以，所以.因为，平面，所以平面.18.已知双曲线的焦点为，且过点．（1）求双曲线的方程；（2）过点作斜率分别为直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由题意知，解得，所以双曲线的方程是；（2）直线的方程为，设．由，得，所以，所以，所以，所以，同理可得，因为，所以，即，当且时，，所以直线的方程为，，，，，所以，所以直线过定点；当或时，直线的方程为，所以直线过定点．综上，直线过定点．19.已知函数为自然对数的底数（1）求在处的切线方程；（2）当时，，求实数的最大值；（3）证明：当时，在处取极小值.解：（1），且，则所以在处的切线方程为（2）当时，，即当时，，当时，，即，令，则，因为，所以当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，所以所