辽宁省八校2025届高三上学期12月质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省八校2025届高三上学期12月质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故．故选：D．2.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：A3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（）个奇数A.1012 B.1348 C.1350 D.1352【答案】C【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4.如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】中，不共线，点D在BC上，则，存在唯一实数t使，因为为的中点，，而，所以，所以.故选：B5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，比较和的大小，其中，因为，所以，又因为在0,+∞单调递增，所以，即；比较和的大小，其中，即，因为在0,+∞上单调递增，所以，即；比较，的大小，因为，，所以，即，故选：.6.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.(1)4次均不下雨，概率：；(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；概率为：；(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：；(5)4次均下雨，概率为：；两天都不淋雨的概率为：，所以至少有一天淋雨的概率为：.故选：D.7.已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可知圆心为，半径，由题意，所以当时，取最小值，由点到直线的距离公式可得，此时，过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，由于与关于直线对称，，与关于直线对称，因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，所以的最小值为.故选：C8.在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为得，即所以点在的角平分线上，设的中点为因为，所以点在线段上，不妨设，所以易知所以因为所以因为所以故选：B9.对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（）A.若A，且，则B.若A，且，则C.若A，且，则D.存在A，，使得【答案】ABD【解析】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．10.在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）A.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面所成角的余弦值为【答案】AC【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.对于A，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A正确.对于B，因为，，所以，所以DP，EC不垂直，故B错误.对于C，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C正确.对于D，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D错误.故选：AC.11.随机事件A，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，，所以，，故D正确故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为数列是递增数列，当时，，可得，当时，，即，解得，又，所以，解得或.综上，实数的取值范围是.故答案为：.13.已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______.【答案】【解析】，故，因为在区间上的值域为，且，故必有，如图所示，则故故答案为：14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．【答案】①.②.【解析】，，所以，由题意可得，所以，又因为，所以，则.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和，，且．（1）求；（2）求数列的前项和；（3）设数列的前项和，且满足，求证：．（1）解：在，中，，令，可得，∴．（2）解：，①当时，，②可得，∴，∴是公差为的等差数列，∴，∴．（3）证明：由（2）可得，∴，∴．16.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因为，所以，所以，因为，所以；（2）因为，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，当时，取得最小值，此时，即，所以当时，的面积取到最小值，最小值为.17.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值；（3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.（1）证明：的中点，连结，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为n=x则，即，取，则，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，因为，故平面与平面所成角的正弦值为.（3）解：是内一动点且，则点在以为直径的圆上，当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，，设直线与直线所成角为，所以，所以直线与直线所成角得余弦值为.18.已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.（1）求双曲线C的方程；（2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.解：（1）由题意可知，因为，所以.设，则，所以，又，所以.所以双曲线C的方程为.（2）（i）由题意知直线l的方程为.联立，化简得，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，即满足：，所以或；（ii）证明：，直线AD的方程为直线BE的方程为.联立直线AD与BE的方程，得，所以，所以，所以所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.19.已知函数.（1）求函数y=（2）若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；（3）已知，函数有3个零点为：，且，证明：.（1）解：，令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）解：设切线分别与和交于，的导数为，的导数为，所以处切线方程为，处切线方程为，由公切线可知，，所以，化简可得，因为公切线有两条，所以有两个根；设，所以，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以存在唯一使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以且，所以，由对勾函数性质可知在时单调递增，所以，所以，且时，，时，，所以若有两个根，则，故整数的最小值为.（3）证明：定义域为，由题意可知，是方程的三个根；当时，令，所以，令