湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以.故选：B.2.若集合，则集合的子集的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】，所以集合A子集的个数为4．故选：C.3.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，则【答案】D【解析】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.故选：D4.在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（）A.10 B.100 C.110 D.120【答案】B【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以.故选：B.5.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有所以共有种故选B6.已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，直线，可知直线过定点，斜率为，因为，则点在圆内，可知当时，弦长最短，又因为，可知直线的斜率，即，所以直线l的方程为，即.故选：C.7.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则在上恒成立，可知在上单调递增，则，可得，即.故选：C.8.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点,且满足,，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】∵为圆上的点，，，∴是的中点，又是的中点，，且，又，，是圆的切线，，在中，又有，，，故双曲线的离心率为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a的值为0.005 B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225【答案】AD【解析】由，可得，故A正确；前三个矩形的面积和为，所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.故选：AD10.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数有最大值【答案】BC【解析】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC.11.设数列的前n项和为，下列命题正确的是（）A.若为等差数列，则，，仍为等差数列B.若为等比数列，则，，仍为等比数列C.若为等差数列，则为等差数列D.若为正项等比数列，则为等差数列【答案】ACD【解析】对于选项AC：设等差数列的公差为，则，，同理可得，所以，所以仍为等差数列，故A正确；因为，则，所以为等差数列，故C正确；对于选项B：取数列为，当为偶数时，，则不能成等比数列，故B错误；对于选项D：因为，设等比数列的公比为，则，则（定值），所以数列为等差数列，故D正确.故选：ACD.12.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（）A. B.C.的最大值为16 D.当最小时，直线的斜率不存在【答案】AD【解析】A选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，由题意得，设直线方程为，联立与得，，易知，设，则，则，，则，A正确；B选项，在A选项基础上得到，由于两直线均过焦点且垂直，可得，故，B错误；C选项，由B选项可知，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16，C错误；D选项，由A选项可知，点横坐标为，故，所以，由于两直线均过焦点且垂直，可得，则，其中，当且仅当，即时，等号成立，当时，取得最小值，此时，故当最小时，直线的斜率不存在，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】因为，所以切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为：.故答案为：14.已知，则__________.【答案】【解析】由得，所以，两边平方得，解得.故答案为：15.某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________．【答案】150【解析】先将学生安排出去，共有种排法，若5名学生都去同一个社区，共有种排法；若5名学生去2个社区（每个社区至少安排1名志愿者），共有种排法；所以符合题意的所有排法的总数为.故答案为：150.16.若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】，令，，显然函数单调递增，所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，因，所以，解得，，得切线方程为，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根．所以实数a的取值范围为故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设为实数，函数.（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.解：（1）底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为，点是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则故，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以点到平面的距离为．19.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求B；（2）若的中线长为，求面积的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化简得，因为，则，，即，所以，又因为，所以，即.（2）由是的中线，可知，所以，即，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以三角形面积，即的面积的最大值为.20.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．（1）求和的值，并猜想的通项公式；（2）证明第（1）问猜想的通项公式；（3）设，数列的前n项和为，求证：．解：（1）由题意对任意正整数n，有，令时，，即，可得；令时，，即，可得；由、、猜想：.（2）由（1）可知：；当时，，则，即，即，故时，，且也适合上式，所以.（3）由（2）可得，故，则，可得，所以，由于，可知，所以.21.在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足.（1）求的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值.解：（1）由题，，所以，解得.所以的标准方程为.（2）设，直线的方程为.联立直线与椭圆的方程，消得，从而由韦达定理得.由(1)知，所以直线和的方程分别为联立直线和，可得交点的横坐标满足，解得，即点总在直线上.同理可得点也在直线上，所以直线的方程为.因为，所以，其中分别为点，点的纵坐标.联立直线和直线，得;联立直线和直线