湖南省部分名校2025届高三上学期11月期中联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分名校2025届高三上学期11月期中联合考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全集，集合，所以，故选：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.3.已知向量，满足，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，因为，所以，从而.故选：D.4.已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为，则正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为棱锥的高和球的半径均为，所以底面正方形的外接圆圆心即为球心，外接圆半径即为球的半径，所以正四棱锥的底面边长，故四棱锥的体积为.故选：B.5.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为R，又，所以为奇函数.又，在定义域R上单调递增，所以在R上单调递增，所以，即，解得，故选：A.6.已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于函数，易知的图象关于点对称，设为的最小正周期，则，又，得，当时，，，得到，，又，可得，故选：C.7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】则由双曲线定义可知，，所以，，，所以，解得，因为为钝角，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以双曲线方程为.故选：B.8.已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，若时，由求导得，，故当时，f'x<0；当时，f所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，当时，；当时，；若时，由求导得，，因为，故恒有f'x>0，即在上单调递增，且当时，，当时，，即当时，恒有.作出函数的大致图象如图所示.又由可得或，由图知有两个根，此时方程有2个不同的解；要使方程恰有5个不同的解，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：B.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（）A. B.C.时，的最小值为 D.最小时，【答案】BC【解析】对于A，由，则，又，则，故A错误；对于B，由A已得，则，故B正确；对于C，由上分析，当时，，当时，，又，又，所以时，的最小值为，故C正确；对于D，当最小时，，故D错误.故选：BC.10.如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（）A. B.，，三线不共点C.与平面所成角为 D.设，则多面体的体积为1【答案】AC【解析】对于A，如图，连接，，由G，E分别为，的中点，可得，由可知，侧面为正方形，所以，所以，故A正确；对于B，如图，连接，，由题易知,则，延长，相交于点P，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以，，三线共点，故B错误；对于C，作于点M，因，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平面.而，所以为与平面所成的角，等于，故C正确；对于D，过点H作交于点D，过点D作，连接，易知直三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，柱高，则，四棱锥的底面是边长为1的正方形，锥高，则，则多面体的体积为.故D错误.故选：AC.11.已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（）A.的方程为 B.已知点，则MA+MF1C. D.若，则与的面积相等【答案】BCD【解析】当过点时，设，联立，可得，，故，解得，则，故A错误；过点向的准线引垂线，垂足分别为，点到的准线的距离，由抛物线定义可知，等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故B正确；设，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故C正确；，故，注意到，可得，所以，从而与的面积相等，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.曲线在点1,f1处的切线方程为______.【答案】【解析】因为，则f1=0所以切点为1,0，且，则，由直线的点斜式可得，化简可得，所以切线方程为.故答案为：13.已知数列的通项公式为，则__________.【答案】【解析】因，可得则，又则，…,则.故故答案为：.14.将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成____个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为__________.【答案】①.60②.3333330【解析】因为要构成自然数，所以第一位数只能是1和2，故共有个自然数；第一位数为1共有30个自然数，第二位排0，1，2，分别有、、种排法；根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法；所以，所有第一位数为1的自然数之和为.故答案为：60；3333330.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，，因为，所以.（2）由，，得，即，解得，由余弦定理可得，，则.16.已知函数.（1）证明：；（2）设函数，证明：函数有唯一的极值点.证明：（1）因为，定义域为0,+∞，所以，由于函数，在0,+∞上均为单调递增函数，所以在0,+∞上单调递增，因为，所以x∈0,1，f'x<0，x∈所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，所以.（2）因为，的定义域为0,+∞，所以.设，则，当时，h'x>0，所以hx所以，即，所以.又，且在0,+∞上单调递增，所以存在唯一的，使得，即，当x∈0,x0时，，当x∈x0,+∞时，所以函数Fx有唯一的极值点17.如图，在直角梯形中，，，，点E是的中点，将沿对折至，使得，点F是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.（1）证明：因为，，点E是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，又，，所以四边形是正方形，所以，且，所以，且，即，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为F是的中点，，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）知，平面，因为平面，所以.因为，.所以.又，由余弦定理得，因为，所以，所以，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，作平面为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，.因为F是的中点，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以为平面的法向量，设平面一个法向量为n=x,y,z，则，所以，取，则，，所以，所以，设二面角的平面角为，所以，所以二面角的正弦值为.18.电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2－2列联表：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100女性市民合计500（1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；（3）用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）被调查的女性市民人数为，其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为.偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，所以2×2列联表为：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100300女性市民80120200合计280220500零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，根据列联表中的数据可以求得，由于，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为，所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B，则，，所以.（3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为，所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件，则.“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件，则，，，，，，所以，，，故X的分布列如下：X012P.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T.（1）以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；（2）设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值；（3）F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，，由折纸方法知，，则，根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程，则，，所以，.故曲线T