中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题05 函数与最值（解析版）

题型五函数与最值【要点提炼】【将军饮马】线段长度和最小值的问题原图问题解法答案P在直线l上，求PA+PB的最小值AB的长即为PA+PB的最小值P在直线l上，求PA+PB的最小值A’B的长即为PA+PB的最小值M、N分别在直线l1和l2上，求PM+MN+NP的最小值P’P’’的长即为PM+MN+NP的最小值M、N分别在直线l1和l2上，求PM+MN+NQ的最小值P’P’’+PQ的长即为PM+MN+NQ的最小值线段长度差最大值的问题P在直线l上，求|PA-PB|的最大值AB的长即为|PA-PB|的最大值P在直线l上，求|PA-PB|的最大值AB’的长即为|PA-PB|的最大值【函数与线段最值】竖直的线段：首先设出上下两个端点的坐标，然后用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标，即为该线段长度的表达式，由于列出的表达式是函数表达式，所以可以利用函数知识将最值求出，例如二次函数的配方法水平的线段：首先设出左右两个端点的坐标，然后用右边端点的横坐标减去左边端点的横坐标，即为该线段长度的表达式，由于列出的表达式是函数表达式，所以可以利用函数知识将最值求出，例如二次函数的配方法倾斜的线段：可以利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半、勾股定理等知识将倾斜线段的长度转化为水平或竖直的线段的关系式，再列出线段长度的表达式，并用函数知识来求最值【函数与面积最值】（1）与线段最值类似，需要先将所研究面积的表达式列出来，再用函数知识求最值（2）求面积表达式的方法如下：【割补法】【“铅垂高，水平款”法】【专题训练】一．填空题（共1小题）1．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为．【答案】【解析】解：四边形是正方形，点，关于直线对称，连接交于，连接，，则此时，的值最小，，，，为的中点，，，设直线的解析式为：，，，直线的解析式为：，直线的解析式为，，解得：，，，设直线的解析式为：，，解得：，直线的解析式为，故答案为：．二．解答题（共9小题）2．（2015•遂宁）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点是轴上的一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小．【解析】解：（1）把代入得：，反比例函数的解析式为：；（2）把代入得：，，把，代入得，，一次函数的解析式为：；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，则的长度就是的最小值，由作图知，，直线的解析式为：，当时，，，．3．（2019•绵阳）如图，一次函数的图象与反比例函数且的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．（1）求的值和反比例函数的解析式；（2）若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．【解析】解：（1）将点代入，得，，解得，，，的值为4或；反比例函数解析式为：；（2）轴，轴，，，，，，，，，，，，将，代入，得，，解得，，，，设直线与轴交点为，当时，；当时，，，则，为等腰直角三角形，，则当垂直于时，由垂线段最知可知，有最小值，即．4．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．【解析】解：（1）把、代入一次函数得，，解得，，一次函数的关系式为，当时，，点，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的关系式为，答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；（2）点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，点，点，，，，当时，，答：面积的最大值是4．5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝6，点C的坐标为（2，0）；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．【解析】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，），∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．6．（2017•贵阳）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．（1）求的值和反比例函数的表达式；（2）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？【解析】解：（1）直线经过点，，，反比例函数经过点，，，反比例函数的解析式为．（2）由题意，点，的坐标为，，，，，，，时，的面积最大．7．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．（3）存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x轴，CK＝2，当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．8．（2020•阜新）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值；②若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）把，代入中，得，解得，．（2）①设直线的表达式为，把，代入．得，解得，，点是轴上的一动点，且轴．，，，，此函数有最大值．又点在线段上运动，且，当时，有最大值．②如图中，当点在线段上，，四边形是菱形时．，，，解得或0（舍弃），，，．如图中，当是菱形的对角线时，四边形是正方形，此时，可得．如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时，则有，，解得或0（舍弃），，，，．当点在轴的右侧时，显然，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点的坐标为或或，．9．（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．【解析】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，当m＝1时，S最大，最大值为8．10．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【解析】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M（a，），则N（a，），∴＝，∵，∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴当a