中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案

中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案

学校:班级：姓名:考号：

1.在等边AASC中，点E是AC上一点，点。是3C上一点，BE与AD交于点尸，且

ZAFE=60°.

⑵如图2,延长BE至点G,使得/3GC=60。,连接CG,点H为AC中点，连接GH,

FC,求证：FC=2GH；

⑶如图3,8c=2也，点。为BC中点，将VABC沿AC折叠得到四边形4BCQ,动点尸在

线段CQ上运动（包括端点），连接AP、BP,将A尸绕点P顺时针旋转60。得到PA，将

绕点尸逆时针旋转120。得到尸？，连接.AE，点M为AF的中点，求的取值范围.

2.如图1,点。是正方形ABCL（两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.

图1图2

（1）求证：DE1AG；

（2）如图2,正方形A2CD固定，将正方形OEFG绕点。逆时针旋转a角（0。<a<360。），

得到正方形OE'/'G；

①在旋转过程中，当/Q4G'是直角时，求a的度数；

②若正方形A3。的边长为2,在旋转过程中，A尸长的最大值为.

3.在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行

探究.如图1,ZC=90°,AC=2BC=10,AD=2,过点。作DESAC交AB于点E,将VADE

绕点A逆时针方向旋转［(0<a<360。).

(1)将VADE旋转至如图2的位置时，连接8瓦。，求证：—.

BECD

(2)若将VADE旋转至B,D,E三点在同一条直线上时，求线段CD的长.

4.已知线段和点C,将线段AC绕点A逆时针旋转膜0。<a<90。)，得到线段AD,将

线段BC绕点B顺时针旋转180。-a,得到线段BE,连接F为。E的中点，连接AF,BF.

D

⑴如图1,点C在线段AB上，依题意补全图1,直接写出a。B的度数;

(2)如图2,点C在线段的上方，写出一个a的度数，使得4歹=石3/成立，并证明.

5.如图，在VABC中，ZACB=45。，仞,8£分别为丫43(?的高.

(1)如图1,若80=指，AC=546,连接DE,求。E的长;

⑵如图2,连接DE,将DE绕点E逆时针旋转90。到砂，连接G为线段。尸上一点，

连接CG.若NECG=ZADE,求证：AB=2CG；

⑶如图3,若C3=C4=2应，尸是线段AD上一动点，将线段CP绕着点C逆时针旋转60。至

线段C。，连接尸昆尸E,DQ.当。。取得最小值时，请直接写出的面积.

6.已知:如图VABC和ADEC都是等边角形.。是BC延长线上一点，AD与BE相交于点

P.AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N.

AA

⑴在图①中，求证:AD=3E；

⑵当ACDE绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，ZAPB=.

7.将一副直角三角板ABC和。£尸如图（1）放置，此时RB,E,C四点在同一条直线上,

点A在边DF上，其中NABC=ZD£F=90。，NEDF=30°,乙%C=45。.

⑴求NC4£）的度数；

（2）将图（1）中的三角板DEF绕点A以每秒1。。的速度，按顺时针方向旋转一定的角度

a。（0°＜。。＜360°）后,记为三角板D'E'F',设旋转的时间为f秒.

①当旋转至图（2）时，此时OELAC,求。的值；

②若在旋转过程中，三角板DE尸的某一边恰好与2c所在的直线平行，直接写出/的值.

8.如图，在VABC中，ZACB=30°,将VABC绕点C顺时针旋转60。得到A£＞EC,连接AE.

⑴求证：AB^AE；

（2）若NMC=/ACB,证明：直线AE与BC互相垂直.

9.已知VABC和VADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,ZEAD=ZBAC,且

图1图2图3

(1)如图1,猜想3尸与3E的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,依次取CE、AC的中点M、N,连接句0、MN,求证：—=^.

FM2

(3)如图3,在(2)的条件下，连接若AC=1,在将△AEC绕点A旋转的过程中，请

直接写出线段引V的最大值.

10.如图(1),在中，/ACB=90o,tan/BAC=^.点。是BC边上任意一点(不

与B,C重合)，连接AD,过点。作于点E,连接CE,点尸为AD中点，连接CFEF.

(图1)(图2)

(1)当8O=2CD时，判断四边形CDE/的形状，并证明.

(2)点。在线段BC上的什么位置时，ADEF的面积最大？请说明理由.

(3)如图(1)中的ABDE绕点B旋转到如图(2)所示位置，得到使得点A在直线

DE'上,连接CE',点尸为AD中点，AD与8C交于点G,其他条件不变.求证：

AE'-D'E'=2CF'.

11.如图，VABC中，=AC=0,NBAC=90。,DE经过点A,且OE_L3C,垂足为E,

NDCE=60°.

D

(1)以点E为中心，逆时针旋转ACDE,使旋转后的AC'D'E'的边C力’恰好经过点4求此时

旋转角的大小;

⑵在(1)的情况下，将AC力£沿BC向右平移r(O<t<l).设平移后的图形与VABC重叠

部分的面积为S,求S与/的函数关系式，并直接写出/的取值范围.

12.如图1,VABC中，AB=AC,NBAC=(z,点。、E分别在AB、AC上，AD=AE.将

VADE绕点A逆时针旋转£度(0<£<360),使得2、D、£三点共线.

⑵若a=60。，当180<乃<360时，作AF10E于忆在图2中画出符合要求的图形，并探

咒BE、CE、AF之间的数量关系，并证明你的结论;

⑶如图3,若以=90。，AC=80,当0(尸<180时，直接写出S四边形ABCE的最大值

13.如图1,点。为直线AB上一点，过点。作射线OC,使/3OC=120。，将一直角三角

板的直角顶点放在点。处，一边在射线08上，另一边ON在直线48的下方.

⑴将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边在—30c的内部，且恰好平分

NBOC,问：直线av是否平分/4OC?请直接写出结论:直线ON_（平分或不平分）,AOC.

（2）将图1中的三角板绕点。按每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第

/秒时，直线ON恰好平分锐角4OC,贝IR的值为_.（直接写出结果）

（3）将图1中的三角板绕点0。顺时针旋转,请探究，当ON始终在NAOC的内部时（如图3）,

与NNOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.

14.itAABC与AEDC中，ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△£DC可以绕点C旋

转，连接AE,BD

⑴如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系；

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

（2）如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

15.已知/ABC=90。，BA=BC,在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋

转角小于180。）得AADE.

E.

图⑴图⑵图(3)备用图

(1)若AE//2。如图(1),求旋转角/BA。度数;

(2)当旋转角为60。时，延长即与BC交于点R如图(2).求证：AC平分NZME

⑶点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°至UAG,如图(3)示例，设AB=8C=a,

求CG长度最小值(用含。式子表示)

参考答案

1.(1

(2)见解析

(3)V13<FM<A/31

【详解】(1)解：如图所示，过点A作AT,5c于点T,

:等边AASC中，

AAB=BC,ZABC=60°

•/ZAFE=NBFD=ZBAF+ZABF=60°,

又ZABF+Z.EBC=ZABC=60°

/BAD=/CAE,

在VABQV8CE中，

ZBAD=ZCAE

AB=BC

ZABD=NBCE

AABD^ABCE(ASA)

/.BD=CE=—

2

在RtAABT中，BT=TC=；BC=6,AT=[AB。-BT?=3，

DT=BT-BD=y/3--=—,

22

A/15

在RtZvlDT中,AD=yjAT2+DT2=

~T

（2）解：如图所示,

延长AF至Af,使得FM=BF,连接8M

•/ZBFM=ZAFE=60°

是等边三角形，

，BF=FM=BM,

设ABAD=cc,

由⑴pJWAGBC=ABAM=a,

：.ZABM=180。-a—60。=120。一2,

XVZBGC=60°,

ZBCG=1200-af

：.ZABM=ZBCG,

在中，

ZBAM=ZCAG

<AB=BC

ZABM=ZBCG

：.AABM^ABCG(ASA)

AM=BG

又•：BF=FM

：.AF=FG

9：AAFG=60°

**•~4FG是等边三角形，

AAG=FGfZAGF=60°

延长CG至N,使得GV=CG,

・•・ZAGN=180°-60°-60°=60°

・・・ZAGN=ZFGC

在△AGM△产GC中，

AG=FG

<ZAGN=ZFGC,

GN=GC

：.△AGV0△尸GC(SAS),

・•・AN=FC,

,:AH=HC,GN=GC,

：.HG=-AN

2f

：.HG=-FC；

2

(3)解：如图所示，连接尸将依绕点月逆时针旋转60。得到依〃，连接5E则

是等边三角形，

・・,将VABC沿AC折叠得到四边形ABCQ,

・・・四边形ABCQ是菱形，

依题意，？,尸1〃三点共线，且依♦尸3〃，

又PA=P4,PE=尸3,ZAPBn=ZAPB=60°

；・AAPBRAPB

ArB,f=AB=2y/3

••'M为AB的中点,

:・PMJAE=6,PM//A!Bn

2

■:ZABnP=ZABP

：.ZA'B"P+ZPBC=ZABP+NPBC=60°

・•・ZA'B〃B+NB〃BC=ZABnP+ZPBC+NPB〃B+/PBB〃=60°+60。+60。=180°

ABf,//BC

•：AQ/7BC

：.ABr,//AQ

：.PM//BC

・・・M的轨迹为平行于5c的一条线段，且尸河二百

•:BC=2瓜点、。为中点，则AD15C,

由（1）可得CE=BD,则£为AC的中点，则==

在中，BD=6,AB=2超

：.AD=3,

・.,ZDAC=-x60°=30°,

2

EF=-AF=-FC

22

：.DF=l,AF=2f

如图所示，当尸,。重合时，F70取得最大值，此时如图所示,

则氏A,A共线,

AM=AQ+QM=2眄+6=3拒

在RtAAFM中，FM=>]AF2+AM2=,2?+=回

如图所示，当C,P重合时，FM最小，

在RtAmW中，FD=1,DM=DC+CM=26

FM=^FD2+DM~=JF+仅回=屈

:.岳MFMM底.

2.(1)见解析

⑵①当NQ4G'=90°时，&=30°或150。；②4+0

【详解】(1)如图，延长即交AG于H,

:.OA^OD,OA1OD,

■：四边形OEFG是正方形

:.OG=OE

在AAOG和ADOE中，

OA=OD

<ZAOG=NDOE,

OG=OE

.-.AAOG^ADOE(SAS),

：.ZAGO=ZDEO,

■.■ZAGO+AGAO=90°,

:.ZGAO+ZDEO=90°,

ZAHE=180。-(NGAO+ZDE(9)=180°-90°=90°,

即。E_LAG；

(2)①在旋转过程中，NO4G成为直角有两种情况:

如图2,a由0。增大到90。过程中，

当NQ4G'=90°时，

OA=OD=-OG=-OG',

22

*八,,OA1

・••在RtaOAG'中，--=-

OG'2

.•.ZAG'O=30。，

■.■OA1OD,OAVAG,

OD//AG',

:.ZDOG'=ZAG'O=30°,即<z=30。；

a由90。增大到180。过程中，当NOAG'=90。时，如图

G'——

同理可求N3OG'=30。，

:.a=ZDOG'=180°-Z.BOG=180°-30°=150°,

综上所述，当NQ4G'=90。时，&=30。或150。；

②如图，连接。尸，

G

,四边形OEFG是正方形,

:.ZFOE=45°,OG=GF,ZOGF=90°

11•正方形ASCD的边长为2,

OA=-AC=-^AB2+BC-=-A/22+22=0,

222

OG=2OD=2OA=2x0=2&，

贝UOF=yJOG2+GF2=J(2>/2)2+(2^)2=4，

当。=360°-ZFOE=360°—45°=315°时，

A、0、9在一条直线上，此时A9的长最大,

最大值为AO+OF=4+&,

故答案为：4+0.

3.(1)详见解析

⑵言叵或4石

【详解】(1)证明：-.■ZC=90°,DE±AC

:.DE//BC

.'.^ADE^^ACB

ADAE

'AC-AB

・・・将VADE绕A点顺时针旋转到图2位置

NEAD+NDAB=NBAC+NDAB

:.ZDAC=ZEAB

:.AADC^AAEB

.AEAD

,BE~CD

(2)・・・NABC=9(T,AC=2BC=10

二.BC=5

:.AB=y/AC2^-BC2=V102+52=5A/5

­.­DE//BC

.ADAC_2AEAB

'DE~BC~"AD~AC

・.・AD=2

：.DE=1

由（1）知，—=7^7

BECD

,BEAE

,CD~AD

.BE_AB545y/5

*CD-AC

:.CD=^-BE

5

如图，当点。在班上时，

,\ZADB=90°

在反△的«中，AB=5加,AD=2

由勾股定理得，DB=yjAB2-AD2=J（5A/5）2-22=11

:.BE=BD+DE=U+l=n

：,CD=n^=^H

55

如图，当点。在班的延长线上时，

由勾股定理得，BD=yjAB2-AD2=J（5A/5）2-22=11

BE=BD-DE=11-1=10

2/s

.•.CD=10x宰=4,

综上所述：线段c。的长为¥或46.

4.(1)90°

(2)60°,理由见解析

【详解】(1)解：补全图1,如图，连接CD,CE,CF,

ABAD+ZABE=180°,即/FAB+ZDAF+ZFBE+/FBA=180。，

:.AD//BE,

:.ZD+ZE=180°,

AD=AC,BC=BE,

ZADC=ZACD=1(180°-a)=90°-1a,NBCE=NBEC=1[180°-(180°-tz)]=1a,

ZCDE+ZCED=180。-(90。-g“-ga=90。，

:.NDCE=90°,

,•,尸为DE的中点，

：.CF=DF=EF,

■.■AD=AC,AF=AF,

.-.AACF^AADF(SSS),

同理ABCF%BEF(SSS),

ZFAB=ZDAF,ZFBA=ZFBE,

2NE4B+2NFB4=180。，

.-.ZE4B+ZFBA=90°,

ZAFB=180°-(ZFAB+ZFBA)=90°；

(2)a=60°,

证明：延长转到点G,使得GF=AF,连接BG,连接GE并延长，与AB的延长线相交于

点、H.

・・,尸是DE的中点,

:.DF=FE.

♦：/DFA=/GFE,GF=AF,

必会△GFE(SAS).

/.AD=GE,ZDAF=ZFGE.

・•.AD//EG.

.\ZZMB+ZH=180°.

在△AC5中，

ZACB=1800-ZCAB-ZCBA

=180°-(ZZMB-ZZMC)-(ZEBA-ZEBC)

=180°-ZDAB+a-ZEBA+1800-a

=ZH+ZEBH

=NBEG.

・.・BE=CE,AD=AC=GE,ZACB=NBEG,

/.△ABC^ABEG(SAS).

/.AB=BG,ZABC=ZGBE.

AF_LBF,ZABG=2ZABF,ZABG=ZEBC.

,/a-60°,

ZEBC=180。—a=120。.

.\ZABF=60°.

ZFAB=30°.

AF=y[3BF.

5.(1)739

(2)见解析

(3)0+逅-2

2

【详解】(1)解：如图，过点、E作EHJ.BC交BC于点、H,

VZACB=45°,分别为VABC的高，BD=^3,

AC=5^/6,

△ADC是等腰直角三角形,

AD=CD,

•.•VAB7+CD?=AC>

2AD2=150,

AD=CD=5也,

BC=BD+CD=6^/3,

1■•SAABC=^BCAD=^ACBE,即gx6如*5坞=；*5"2£,

BE=3娓,

在Rt^ABO中，AB2=AD2+BD2>BPAB=\lAD2+BD2=778，

同理在RtZWE中，AE7AB2-AD?=2甚,

CE=AC-AE=3娓,

:.CE=BE,

・•・△3CE是等腰三角形，

VEHIBC,

BH=CH=-BC=3y/3,

2

DH=BH-BD=2^3,

在RtACE”中，

/ZACB=45°,NEHC=90。,

EH=CH=3力,

在RtADHE中，DE=yjDH2+EH2=739；

(2)证明：连接。厂，设AD与BE交点、为点、P,

・・,NACB=45。，AD,跖分别为VA5C的高,

B

，ZD4C=45°,

ZBPD=ZAPE=45°,AD=CD,

・・./CBE=45。,

・•・△5CE是等腰三角形，

ABE=CE9

・「将DE绕点E逆时针旋转90。到EF,

:.ZDEC+/CEF=ZDEC+/BED=90。,DE=EF,

ZBED=ZCEFf

vBE=CE,DE=EF,

：.AfiDE^ACFE(SAS),

；.BD=CF,ZECF=NCBE=45。,

ZBCF=ZACB+Z.ECF=90°,

vAD=CD,ZBCF=ZADB=90°,BD=CF,

/.AABD^ADCF(SAS),

AB=DF,

•;NEDF=NEFD=45。,ZADC=90°f

ZADE-i-ZGDC=900-ZEDF=45°,

/ECG+NGCD=ZADE+NGDC=45°,

ZECG=ZADE,

，NGDC=/GCD,

・・・DG=CG,

•・・△OC尸是直角三角形，

:.ZDFC=900-ZGDCfZGCF=900-ZGCDf

:"DFC=ZGCF,

:.GF=CG,

•.DF=2CG,

QDF=AB,

:.AB=2CG；

（3）解：将△CW绕点。逆时针旋转60。得到连接QD,过点石作石交AD

于点巴设班与AZ）交于点O,此时点。在AD上运动，

由旋转的性质得到△4。'。会以。，△QDC0—OC,△CDD是等边三角形,

・•.ZDDrA=NCD'A-ZCDrD=90°-60°=30°,

・.・C5=CA=2血，

/.AD2+CD2=AC2,

AD=CD=CD,=DD,=ADf=2,

当QQLAD时，DQ有最小值，

DQ=^DDr=l,

D'Q'JDD「DQ2=百,

S..^-BCAD^-ACBE,

Z_AAKDCr22

/.AD=BE=2,

BD=AE=2垃-2,

■：ZCBE=45°,

BD=AE=D0=2近-2,

AO=AD-DO=4-2y/2,

AP=A'Q=A'D'-D'Q=2-^,

PO=AO-AP=2+S/3-242,

■.EHLAD,ZC4D=45°,

EH2+AH2=AE2,

•，-EH=2->/2,

S^BEP=^POBD+^POEH=^PO(BD+EH),

=gx(2+g_2@x(2忘一2+2一码

=应+且_2.

2

6.(1)见详解.

(2)60°.

【详解】(1)证明：•「AABC和ACDE为等边三角形,

/.AC=BC,CD=CE,/BCA=NDCE=60°,

../ACD=/BCE,

在AACD和ABC£中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

:公ACD'BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：・.・AABC和ACDE都是等边三角形，

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°f

ZACB+ZBCD=NDCE+NBCD,

即ZACD=/BCE,

AC=BC

在AACD和ABC£中，＜/ACD=/BCE,

CD=CE

:.AAC*ABCE（SAS）,

:.NDAC=/EBC,

・；ZAMP=/BMC,

:.ZAPB=ZACB=60°.

故答案为：60°.

7.（l）ZC4D=105°

（2）①4=45°,a2=225°；②/=6/=9j=18/=24/=27

【详解】（1）解：•・•NB4C=N=45。，/尸=90。—/£0尸=90。-30。=60。,

NC4D=Nb+NC=45。+60。=105。；

由（1）知，ZCAD=105°,NO=ZD'=30。，

•・,a=ZCAD-ZCADr,ZC4Z）f=90°-ZDr=90°-30°=60°,

a=ZCAD-ZCADf=105°-60°=45°,

如图，DE与AC延长线交于点G,DELAC

由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转180。,

・・・三角板D砂绕点A以每秒10。的速度按顺时针方向旋转，

〃=180。+45。=225。，

%=45°,a2=225°；

解：②如图，当Q'尸'〃时,

:.ABVOF',

-.■ZFAB=30°,

a=ZF'AB-ZFAB=90°-30°=60°,

."为60°或a为240°,

.-.fj=60°-10°=6（秒），芍=240°+10°=24（秒）.

:.AB_LDE,

DE_L3Ca为90。或a为270°,

=90°+I0°=9(秒)，r4=270°-10°=27(秒),

此时。为180。

；"=18,

综上所述，t=6,t-9,t-18,t-24,t-27

8.(1)见解析

(2)见解析

【详解】(1)证明：•.•△ABC绕点C顺时针旋转60。得到9EC,

:.NBCE=60。,BC=EC,

•/ZACB=30°,

:.ZACE=30°=ZACB,

■,AC=AC,

.-.△ACB^AACE(SAS),

.'.AB=AE；

(2)解：•.•△ABC绕点C顺时针旋转得到ADEC,

AC=DC,AB=DE,

由(1)可知=

AE=DE9

若TW=AC,则AC=AE,

：.AC=DC=DE=AE,

，四边形ACDE是菱形，

,\AE//CD；

・・・NACB=30。，将VA5c绕点。顺时针旋转60。得到△DEC,

「./BCD=30。+60。=90。，即CD_L5C,

/.AE1BC,

即直线A石与BC互相垂直.

9.⑴BFLDE,见详解

⑵见详解

⑶Fl

2

【详解】(1)解：BF上DE,

'：AB=AC,AD=AE,

：.ZADE=ZAED,ZABC=ZACB,

•：/EAD=ZBAC,

：.ZABC=ZADEf

又•・•ZAOB=ZDOF,

：.ZDAB=ZBFD,

ZEAC=ZEAD+ADAC=90°,

ZDAB=ABAC+ADAC,

又・・,NEW=NBAC,

：.ZDAB=90°,

：.ZBFD=90°,

：.BF_LDE.

(2)解：9：BF±DE,

：./EFB=90。,

又・・・M是C£的中点，

・・・FM=-EC=CM,

2

,:CE、AC的中点分别是M、N,

：.MN=-AE,

2

.MN_AE_小“一上

••-----=-----=cos/AEC=—•

FMEC2

(3)解：由(2)得：FM=-EC,MN=-AE,

22

VAC=l,/E4c=90°,ZAEC=30°,

AE=73,EC=2,

：.FM^-EC=\,MN==AE=B,

222

当EM,N三点共线时，MV最长，

此时，FN=FM+MN=—+\.

2

10.(1)四边形CDEF是菱形，理由见解析

⑵当BD=2CD时，ADEF的面积最大，理由见解析

(3)见解析

【详解】(1)解：四边形CD所是菱形，理由如下：

:在RtZXABC中，ZACB=90°,tanABAC=43,

...za4c=60。，则/3=30°,

VDEJ-AB,BD=2CD

：.BD=2DE=2CD,

：.AD是4AC的平分线，则ZCAD=ZEAD=30°,

/.CD=DE=-AD,

2

:点F为AO中点，

CF=FE=-AD,

2

：.CF=FE=CD=DE,

...四边形CDEF是菱形；

(2)解：当BD=2CD时，AD所的面积最大，理由如下:

设AC=a,CD=x,贝!J3C=^/Ja,AB=2a,BD=6a-x,DE=—BD=—^>j3a—xj,

BE=43DE=-a--x,AE=AB-BE=-x+-a,

2222

••,点/为AD中点，

S^DEF=­x—AE义DE=———■xH—cix—^\/3ci-x)

2222

-可6

-一％

:-

・-<

—<

a

«a

.•.当X=------万=忑时，S/EF有最大值,

-2x—

16

a1

此时C£)=—BC,即BD—2CD,

当3。=2co时，QEF的面积最大;

(3)解：作点A关于BC的对称点A,点。夕关于3E的对称点H,连接ABAD',BH,

则AB=A'BBD'=BH,AC=A'C,D'E'=HE',

，AE'-EfE'=AH,

由题意得ZCAB=ZBD'H=60°,

/.△AAB,△初'”都是等边三角形,

•；ZABH=ZABD'=60°-ZABH,

/.△ABH四△A'BD(SAS),

：.AH=AD,

:点尸为A£>‘中点，

/.CF'是VA4，£>的中位线,

，A：D'=2CF',

：.AE'-D'E'=2CF'.

11.⑴旋转角为30度或90度;

12A/3-11

-t--尸一t+-0<r<

2V3+12

(2)当旋转角为30。时，S=<

当旋转角为90。时，S=«

【详解】(1)解：如图1,

ABAC=90°,AE±BC,

图1

AE=EC=l,ZB=ZC=45°.

由旋转过程知EC1=EC=AE,ZD'dE=60°>

.•.AAEC'是等边三角形，

ZAEC'=60°=90°-ZC'EC-

:.ZC/EC=30°即旋转角为30°；

。点与A重合，即旋转角为90度；

综上，旋转角为30。或90。；

(2)解:当旋转角是为30。时：

①当Ovwg时.如图2,设D'E'、C'E，AB、AC分别相交于点/、N,与AE相

交于点P.作N7V'_L8C，垂足为N’.

设NN'=x，则N'C=x，

由平移过程知NNE'C=30°，

E'N'=6麻=瓜.

,八广1-f

由E'M+N'C=E'C知，V3x+x=i-r,即工=石+].

ZAPM=NEPE=90°-"EE=ZNE!N',ZPAM=ZECN=45°，

:.^AMPS^CNE'，

；.S=SAEC+SAMP-S_Sa」x]x]-Lx后+[1—收]_]xl(l-r)x4^-=--?2-2^Z^?+-

AAECW艮ACNE，22I1-tI2、)V3+1273+12

②当立时，如图3,设DE'、C'E'与AC分别相交于点M、N.作WL3C,垂

3

足为M’.

D'

3EM'E'C

图3

设MM'=y，则"E'=#y.

•.­ME'+E'C=M'C=M'M，

即¥*(1—)一，贝打=黑.

I,、3(1—/)1、1

z=--=(1—z)2=z2—2z+1.

.・S一S&MEC$ANE,C-2。O'3_陋20"X状+1'7

i2V3-iiL,6)

273+12l31

即叫")•

t2-2t+l——<r<1

[I3J

当旋转角为90。时，如图4中，当oyvg-i时，重叠部分是五边形MNK£’3，

A「，

D

BE'C

图4

QvQ,1V6+^2A/6-^222

、鼠工，r--(l-r)=-t+t+-,

BCAMNCKET?2V72

如图5中，当百-Ivcl时，重叠部分是四边形A/NE'Z>'，

A

BD'E'C

图5

SS-MCD.SKNE-212'.(有+1)

、,

乙)242

-/+/H—(Ov/W^3—1)

2

所以，§二仄r.

?+*一”<1)

12A/3-11C,0

273+12131

综上所述，当旋转角不是为90。时，5=<当旋转角为90。时,

t2-2r+l|—<^<11

-t2+t+-(0<t<y/3-^

S=<2

12.(1)90°+-|

(2)CE=BE+^~AF,图见解析

3

(3)32+320

【详解】(1)解：连接B2CE,

A

BC

■:ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即ABAD=ZCAE,

在A&ID和AG4E中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

：.ABAO^AC4E(SAS),

,/ZBAC=ZDAE=af

1(y

：.ZAr>£=-(180°-a)=90°--

(y

：.ZADB=180。—/ADE=90°+—,

2

故答案为：90°+|.

(2)解:如图：

D

,・"=60。，AD=AE,

・・・VAT史为等边三角形,

：.ZDEA=60°,

VAF1D£,

/.EF=AF=J^AF,则ED=2EF=^AF,

tan60033

由(1)可知，

・・・CE=BD,

BD-BE+DE=BE+^^AF,

3

CE=BE+^-AF.

3

(3)如图，连接点E和BC中点，交AC于点孔

ZABD=ZACE,

'：ZABD+ZEBC+ZACB=90°,

AZACE+Z.EBC+ZACB=90°,贝IZBEC=90°,

ABAC=90°,

，A、B、C、E四点共圆，BC为直径，

故点E在以BC为直径的圆上运动，

：0〈尸<180,

.,.点E在AC上运动，

当点E为AC的中点时，S四边形ABCE最大，

'：a=90°,AC=80，AB=AC,

BC7AC°+AB。=16,

/.OE=-BC=S,

2

:点E为AC的中点时，

OE_LAC且平分AC,

CF=-AC=4y/2,

2

:点。为3C,点P为AC中点，

OF=—AB=4\/2,

2

EF=OE-OF=8-4四,

Sm.^ABCE=S+S=—AC»AB+—AC»EF=32+32>/2,

四坦