中考数学专项复习：全等三角形（解析版）

专题16全等三角形（10个高频考点）（举一反三）

【考点1全等三角形的概念及其性质】...........................................................1

【考点2一次证明全等三角形】................................................................4

【考点3多次证明全等三角形】................................................................8

【考点4网格中的全等三角形】...............................................................14

【考点5尺规作图与全等三角形】.............................................................19

【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】...................................................26

【考点7利用垂线模型证明全等三角形】.......................................................34

【考点8利用旋转模型证明全等三角形】.......................................................40

【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】...................................................48

【考点10全等三角形的实际应用】.............................................................55

茅-%二

【要点1全等图形的概念】

能完全重合的图形叫做全等图形.

【要点2全等图形的性质】

两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.

【要点3全等三角形的性质】

全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、

高线均相等）

【考点1全等三角形的概念及其性质】

【例1】（2022•广东揭阳•校考三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（）

金

【答案】B

【详解】分析：.首先观察图形，尝试找出图中所有的三角形，根据全等三角形的定义得出答案.

对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.

点睛：此题考查了全等三角形的定义及有关概念和性质.⑴全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状

相同、大小相等的两个三角形.（形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形）（2）全等三角形对应

元素及性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等.（3）将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可

得到另一个三角形.此题就是根据全等三角形的定义得出答案的.

【变式1-1］（2022•广西•校联考一模）下列说法正确的是（）

A.两个面积相等的图形一定是全等形B.两个等边三角形是全等形

C.若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形D.两个全等图形的面积一定相等

【答案】D

【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可.

【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选项

错误;

边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；

故选：D.

【点睛】考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键

【变式1-2]（2022,广西柳州，中考真题）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端"、N的距离,

如果IBPQOaaWO,则只需测出其长度的线段是（）

Q

A.POB.PQC.MOD.MQ

【答案】B

【分析】要想利用求得的长，只需求得线段尸。的长.

【详解】解：asPQOEBNM。，

S\PQ=MN.

故选：B

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

【变式1-3]（2022•湖南邵阳•统考中考模拟）如图，在0ABe中，D,E分别是边AC,8C上的点，若

^ADBSSEDBSSiEDC,则回C=.

【答案】30°##30度

【分析】根据全等三角形的性质推出回。=回£>2。，^BED=90°,进而推出EA=13BEr>=90。，^ABD^BDBC^C,再

根据直角三角形两锐角互余求解即可.

【详解】解：WEDB\S\CED,

^EBED=^CED,EC=0£）BC,

X00B£Z）+0C£Z）=180°,

00BED=9O°,

0EL4B£)00£BD,

^ABD^DBC^C,

00C+0ABC=9O°,

030C=9O°,

fflC=30°,

故答案为：30。.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知全等三角形的性质是解题的关

键.

【要点4全等图形的判定】

判定方法解释图形

边边边

三条边对应相等的两个三角形全等

(SSS)

边角边两边和它们的夹角对应相等的两个

(SAS)三角形全等

角边角两角和它们的夹边对应相等的两个

(ASA)三角形全等

角角边两个角和其中一个角的对边对应相

(AAS)等的两个三角形全等

斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个

(HL)直角三角形全等44

【考点2一次证明全等三角形】

【例2】(2022•浙江杭州•校考模拟预测)如图，正五边形力BCDE中，力F1CD,则NB4F的度数是()

A.50°B.54°C.60°D.72°

【答案】B

【分析】连接正五边形4BCDE中，得至！JAB=4E=8C=DE,NB=NE,证得△力BC三△4ED,根

据全等三角形的性质得到NB4C=NEAD,AC^AD,根据等腰三角形的性质得到NC4F=ND4F,即可得到

结论.

【详解】解：连接AC,AD,

•・,五边形4BCDE是正五边形，

.・.AB=AE=BC=DE/B=乙E,乙BAE=108°,

在△48C和△4ED中

AB=AE

乙B=LE

BC=ED

・•・^ABC=^AED,

・・

•乙BAC=£.EADtAC=AD

•••AF1CD

・•・Z-CAF=Z-DAF

i

.­./.BAF=Z.EAF=-Z.BAE=54°.

2

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

【变式2-1］（2022•湖南益阳•统考中考真题）如图，在放zkABC中，0B=9O°,CDSAB,OE0AC于点E,且

CE—AB.求证：ACED^BABC.

【分析】由垂直的定义可知，0DEC=05=90",由平行线的性质可得，EL4=0DCE,进而由ASA可得结论.

【详解】证明：0D£EIAC,0B=9O°,

团团0£：。=回3=90°,

团。。M3,

^\A=BDCE,

在△CEO和及48。中，

2DCE=AA

CE=AB,

/DEC=Z-B

^\CED^\ABC(ASA).

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解

题基础.

【变式2-2](2022•湖南长沙•统考中考真题)如图，AC平分NBA。，CBLAB,CDLAD,垂足分别为2,

D.

⑴求证：△ABC三△4DC；

(2)若力8=4,CD=3,求四边形ABC。的面积.

【答案】⑴见解析

⑵12

【分析】(1)由角平分线的定义和垂直的定义求出NC4B=NC4D,NB=〃，结合已知条件，利用"AAS"

即可求证；

(2)由全等三角形的性质得4B=4。=4,BC=C。=3,根据三角形的面积公式求出以旗「S*CD，再根

据四边形ABC。的面积=S-BC+SA〃D求解即可.

【详解】(1)AC平分N82D,CBLAB,CD1AD,

•••Z-CAB=Z-CAD,乙B=乙D,

-AC=AC,

：.^ABC三△4DC(AAS)；

(2)-.-^ABC=LADC,AB=4,CD=3,

•­.ABAD4,BC=CO=3,

Z.B=zD=90°,

:.S“BC=1"AB-BC—|x4x3=6/S^ACD=1­AD-CD=：x4x3=6,

四边形ABC。的面积=SAABC+SAACD=6+6=12.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键.

【变式2-3](2022•江苏连云港•校联考中考模拟)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC,AB

上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM,过点M,E分别作NME1DM,NEE1DE交于N,连接NF.

(1)求证：DE0DM；

(2)猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.

【答案】(1)证明见解析；

(2)四边形CENF是平行四边形，理由见解析.

【详解】(1)证明：回四边形ABCD是正方形，

0DC=DA,0DCE=0DAM=9O°,

，DC=DA

<ZDCE=ZDAM

在EIDCE和mMDA中，CE=AM,

00DCE00MDA(SAS),

0DE=DM,EEDC=0MDA.

又EHADE+[3EDC=EIADC=90°,

EHADE+EIMDA=90°,

0DE0DM；

(2)解:四边形CENF是平行四边形，理由如下:

回四边形ABCD是正方形，

0AB0CD,AB=CD.

0BF=AM,

0MF=AF+AM=AF+BF=AB,

即MF=CD,

又E1F在AB上，点M在BA的延长线上，

0MF0CD,

回四边形CFMD是平行四边形，

EiDM=CF,DM0CF,

0NM0DM,NE0DE,DE0DM,

回四边形DENM都是矩形，

0EN=DM,ENEDM,

0CF=EN,CF0EN,

回四边形CENF为平行四边形.

【考点3多次证明全等三角形】

【例3】（2022•山西・统考模拟预测）综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图L在正方形ABC。中，E是对角线AC上一

点，且4E=4B,以AE为一边在AE的下方作正方形AE/G,连接即，试判断线段AH与。E的位置关系

及线段EH与。H的数量关系.

（1）图1中线段与。E的位置关系是，线段EH与。反的数量关系是.

（2）勤奋小组受到老师的启发，在老师提出问题的基础上将正方形A8CZ）绕点A逆时针旋转至如图2所示

的位置，点。仍在正方形AEFG内部，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由；

（3）①创新小组在勤奋小组研究的基础上延长线段即交FG于点如图3所示，发现DH=FM,请证

明；

②若图3中线段GM是线段尸M的2倍，请直接写出线段即与AH的长度的比值.

BB

B

图1图2图3

【答案】(1)AHSDE；EH=DH；(2)成立，见解析；(3)①见解析；②|

【分析】(1)判定4cH即可得答案；

(2)判定R/EL4EH0R/0AOH得到£7/=OH,^DAP^EAP,进而判定EIAOPEEAEP,即可证明结论成立；

(3)①判定SAMEBEFM,得出EH=FM,因为DH=EH,则DH=FM；②设尸M为x,则GAf=2x,AE=EF=3x,

AH=EM=\MF2+”2=同口；S四边形^^己=2XgAEXEH=3XAHXDE,代入即可求出DE,进而计算

出即与A8的长度的比值.

【详解】(1)团四边形ABCD与四边形AMG是正方形且AE=AB,

^AE=AD,

^BAEH=^ADH=90°,AH=AH

^Rt^lAEH^Rl^ADH

^AH^\DE9EH=DH

(2)仍成立，设AH与OF交于点P

HL4£>=AE,AH=AH,^AEH=^\ADH=90°9

^Rf^AEH^Rf^ADH

团EH=DH,国DAP二团EAP

^\AE=AB=AD,

团团AOP=MEP,AP=AP,

miDP^\AEP

^APD^APE

即入P、E三点共线，

盟A尸。=她尸氏90°,

[2L4H0DE

(3)@AH3\DE,AE^EF,

贝崛£48+回。㈤4=回£)反4+团。现三90。,

00EAH=EFEM

^AE-EF

^\AEH^\EFM

@EH=FM

⑦DH=EH

WH=FM

②设尸M为％,贝!!GM=2x,AE=EF=3x,

AH=EM=y/MF2+EF2=VlOx

回她EMtMDH,AH^\DE,

回S四域/ADHE=2X^AEXEH=3XAHXDE

即3xxx=—xxDE

2

求得：DE--^>c

0^=-Lx^VlOx=-

AHV1O5

【点睛】本题考查了平面几何问题，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，找到并

证明三角形全等是解决本题的关键.

【变式3-1](2022•广西百色,统考二模)如图，在AABC和ADC8中，0A=0£),AC和QB相交于点。OA

=OD.

{1}AB=DC；

(2)AABC00DCB.

【答案】⑴证明见解析;

(2)证明见解析

【分析】(1)证明△ABO回△OCO(ASA),即可得到结论；

(2)由AABO回△DC。，得至l」03=0C,又。4=00,得至！J3D=AC,又由朋=团。，即可证得结论.

【详解】(1)证明：在与△OCO中，

乙4=乙D

0A=0D，

Z-AOB=Z-DOC

团△ABQEZkDCO(ASA)

^\AB=DC；

(2)证明：团△A80回△OCO,

团OB=OC,

团0A=0D,

^\OB+OD=OC+OAf

BBD=AC,

在"BC与△OCB中，

AC=BD

乙4=Z-D,

AB=DC

^ABC^ADCB(SAS).

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键.

【变式3-2](2022•上海闵行•统考二模)如图，在矩形ABC。中，点、E在边BC上,将线段AE绕点E顺时

针旋转90。，此时点A落在点尸处，线段E尸交CD于点过点F作FGHBC,交8c的延长线于点G.

⑴求证：BE=FG；

(2)如果AB・OM=EC・AE,连接4M、DE,求证：AM垂直平分。E.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且利用AAS得到AABE

与4EFG全等,据此即可证明BE=FG；

(2)证明△A8EH3ECM,可得EM=DM,再利用HL证明△AEW3AWM即可解决问题.

(1)

证明：^EF^AE,

a0AEB+0GEF=9O°,

Xffl0AEB+0BAE=9Oo,

0EGEF=0BAE,

又回尸GI3BC,

0EL4B£=0£GF=9O",

Z.ABE=乙EGF

在AABE与AEGF+!\^BAE=乙GEF,

.AE=EF

00AB£00£GF(AAS)；

团BE=FG；

⑵

证明：连接AM、DE,

00G£F=EBAE,0ABE=0ECM=9O°,

00AB£00£CM,

AB»EM^EC»AE,

EC=—EM,BP

酎B・DM=EOAE,

BDM=EM,

团E/询AE,

^\AEM=9Q°,

^\AEM=^\ADM=90°f

SDM=EM,AM=AM,

00AEA/E]0ADM（HL）,

^AE=AD,

EIAM垂直平分QE.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定

和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.

【变式3-3]（2022•河北•一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三

角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五

个结论：①AD=BE；②PQI3AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤I3AOB=60°.恒成立的结论有（）

A.①③④⑤B.①②④⑤C.①②③⑤D.①②③④

【答案】C

【分析】本题是三角形全等的综合题，利用三角形全等逐个解决就可以.

【详解】解:①回ABC和I3DCE均是等边三角形，点A,C,E在同一条直线上，

EIAC=BC,EC=DC,HBCE=EACD=120°

EHACDEBECB[aAD=BE,故本选项正确；

(2)E0ACD[30ECB[3EICBQ=0CAP,

又瓯PCQ=I3ACB=6O°,CB=AC,E0BCQJ30ACP,

0CQ=CP,又团PCQ=60°,EBPCQ为等边三角形，

EHQPC=60°=回ACB,0PQE1AE,故本选项正确；

⑶aaACB=E!DCE=6CI°,a3BCD=60°,0EIACP=0BCQ,

0AC=BC,E1DAC=I3QBC,EBACPEEBCQ(ASA),

EICP=CQ,AP=BQ,故本选项正确；

④已知OABC、EIDCE为正三角形，故EIDCE=I3BCA=6O°,I3DCB=6O。，

又因为I3DPC=[3DAC+回BCA,0BCA=6O°,0DPC>6O0,

故DP不等于DE,故本选项错误；

⑤EBABC、E1DCE为正三角形，H3ACB=EIDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

团团ACB+回BCD=回DCE+团BCD,

团回ACD二回BCE,回团ACDB01BCE(SAS),

团团CAD二团CBE,

团团AOB二团CAD+团CEB=回CBE+回CEB,

曲ACB二回CBE+团CEB=60°,酿AOB=60°,故本选项正确.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

故选C.

【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及相

似三角形的判定与性质等知识点的运用.要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大.

【考点4网格中的全等三角形】

【例4】(2022•山东济南•统考二模)如图，在4X4的正方形网格中，求a+。=度.

【答案】45

【分析】连接4B,根据正方形网格的特征即可求解.

回图中是4X4的正方形网格

BAD=CE,Z-ADB=4AEC,DB=AE

0AADB=△CEA(SAS)

EINE4C=Z.ABD=a,AB=AC

EINABD+/.BAD=90°

ONE4c+/.BAD=90°,即NC4B=90°

0ZXCB=AABC=45°

SBDWCE

^BCE=Z.DBC=B

0ZXBC=/.ABD+Z.DBC=a+/?

Ela+£=45°

故答案为：45.

【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征.

【变式4-1］（2022•湖北荆州•统考中考真题）如图，在10x10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点,

顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中0A2C为格点三角形.请按要求作图，不霞蛆明.

图1图2

⑴在图1中，作出与0ABe全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与0ABe有一条公共边,且不与0A2C

重叠；

⑵在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】对于（1）,以4c为公共边的有2个，以为公共边的有2个，以BC为公共边的有1个，一共

有5个，作出图形即可；

对于（2）,0ABe是等腰直角三角形，以BC为对角线的菱形只有1个，作出图形即可.

【详解】（1）如图所示.

图2

【点睛】本题主要考查了作格点三角形和菱形，理解题意是解题的关键.

【变式4-2］（2022•浙江金华•校联考二模）如图，AABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），

请用无刻度直尺按要求分别作图：

图2

(1)在图1中，过点C作与平行的线段CE(点E在格点上)；

(2)在图2中，以8C为边作一个ABCE(点E在格点上)，使它与AABC全等；

⑶在图3中，在AS,8c边上分别取点G,H,将AABC沿着GH折叠，使点8与点4重合，画出线段AH.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

⑶见解析

【分析】(1)根据要求作出图形即可；

(2)构造全等三角形解决问题即可；

(3)构造正方形，利用正方形的性质作线段的垂直平分线交于点G,交CB于点H,连接即可.

⑴

解：如图1中，线段CE即为所求;

图1

(2)

解：在图2中，ABCE即为所求;

解：在图3中，点G,H,线段A”即为所求.

图3

团尸二团。二团代团。

BPM=OA=RN=QB=1.PB=0M=AR=QN=3f=90°,

^LPMB^\LOAM^\LRNA^^QBN,

⑦MB=AM=AN=NB,^PBM=^\OMA,

^IPBM^PMB=90°,

^\OMA+^PMB=90°,

物AM3=90°,

团四边形AMBN是正方形，

团MN是A3的垂直平分线，

MN与AB交于点G,与3C交于点H,连接AH即可.

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

【变式4-3]（2022,江苏苏州•校联考中考模拟）如图，在方格纸中，SPQR的三个顶点及A,B,C,QE五个点

都在小方格的顶点上，现以43,CQ,E中的三个顶点为顶点画三角形，

图甲

（1）在图甲中画出一个三角形与SPQR全等；

（2）在图乙中画出一个三角形与团尸。尺面积相等但不全等.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）过A作AE〃P。，过E作EB〃PR,再顺次连接A、E、B.（答案不唯一）

（2）作一个与团尸。7?面积相等但不全等的三角形即可.（答案不唯一）

【详解】解：（1）如图所示：

【例5】（2022•重庆•统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形2BCD中，E是2。

边上的一点，试说明ABCE的面积与矩形2BCD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作BC的垂线，

将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下

面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF,垂足为尸(只保留作图痕迹).

在ABAE和AEFB中，

0£F1BC,

^/.EFB=90°.

又乙4=90°,

0________________________①

EL4DIIBC,

0________________________②

又③

BAE=△EFB(AAS).

同理可得④

111

团SABCE=S&EFB+S^EFC=5s矩形4BFE+5s矩形EFCD=5s矩形

【答案】乙4=4EFB、^AEB=4FBE、BE=EB、△EDC三4CFE(44S)

【分析】过点E作BC的垂线EF,垂足为F,分别利用44s证得ABTlE三AEFB,LEDCSACFE,利用全等

三角形的面积相等即可求解.

【详解】证明：用直尺和圆规，过点£作BC的垂线EF,垂足为F(只保留作图痕迹).

如图所示，

0£F1BC,

0ZFF5=90°.

又乙4=90°,

0ZFFB=NA①

EL4OII8C,

0ZXEB=乙FBE②

又BE=EB③

0ABAE=△EFB(i4i4S).

同理可得^EDCdCFEQ44S)④

111

回SABCE=S"EFB+S&EFC=3s矩形B4FE+3s矩形EFC。=2s矩形ABC/T

故答案为：ZX=4EFB、/-AEB=乙FBE、BE=EB、△EDC=△CFE(AAS)

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键.

【变式5-1](2022•河南焦作•统考二模)已知锐角N40B,如图，(1)在射线。力上取点C,E,分别以点。为圆

心，OC,OE长为半径作弧，交射线。8于点。，F；(2)连接CF,DE交于点P.根据以上作图过程及所作

图形，下列结论第误的是()

A.CE=DFB.PE=PF

C.若NAOB=60°,则NCPD=120。D.点P在24。8的平分线上

【答案】C

【分析】根据题意可知OE=OF,OC=。。，即可推断结论A；先证明△ODE=△OCF,再证明△CPE=ADPF

即可证明结论2;连接OP,可证明ACOP三ADOP可证明结论。；由此可知答案.

【详解】解：由题意可知。E=OF,OC=OD,

•••OE-OC=OF-OD,

.­.CE=DF,

故选项A正确，不符合题意;

在△ODE和△OCF中，

OE=OF

乙。=乙。

0D=0C

・・・△ODE=△OCFQSAS),

・•・乙OED=Z.OFC,

在^CPE和中，

(Z.OED=Z.OFC

\^CPE=乙DPF,

(CE=CF

・•・△CPE三△OPFQ4/S),

・・・PE=PF,

故选项3正确，不符合题意;

连接OP,

•••△CPE=△DPF,

:.CP=DP,

在^COP和△OOP中，

CP=DP

OC=0D,

OP=OP

・・・△COP=△OOP(SSS),

・•・乙COP=乙DOP,

.•.点P在N40B的平分线上，

故选项。正确，不符合题意;

若44。8=60°,4CPD=120°,

贝！UOCP=乙ODP=90°,

而根据题意不能证明NOCP=乙ODP=90°,

故不能证明NCPD=120°,

故选项C错误，符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的

线段是解题的关键.

【变式5-2]（2022•福建三明・统考二模）如图，在正方形ABC。中，E为的中点.

⑴在C£）边上求作一点R使得回C尸B=20A8E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，若AB=3C=4,求的长.

【答案】⑴作图见解析

（2）5

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，作出0A8E的等角SEBF即可；

（2）连接EF,过点£作EH_L8F,垂足为由角平分线的性质可得4E=HE,由Rt△DEF三Rt△HEF,

Rt△ABEmRt△HBE可得DF=HF,BH=AB=4,设DF=x,则HF=x,CF=4-x,BF=4+x,

Rt△BCF中由勾股定理建立方程求得x,再计算线段和即可；

(1)

解：如图，①以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交84、8E于点G、N；②以点N为圆心，NG长

为半径画弧，在SE2C内交前弧于点M；③作射线交CD于点八

F

DC

根据作图可得她5乐团防尸，

由A碗CD,

则团C7咕=团A3尸=2团43后；

(2)

解：如图，连接EF,过点E作EH1BF,垂足为“,

团四边形ZBCD是边长为4的正方形，

团AB=BC=CD=AD=4fZ.A=2LC=/LD=90°,

由作图可知：乙EBF=^ABE,

ME=HE,

团E为/。的中点.

团/E=DE=2,

团HE=DE=2,

在Rt△DEF^Rt△中，

(EF=EF

IDE=HE'

团Rt△DEF皂Rt△HEF(HL),

WF=HF,

^AE=HE,BE=BE,

⑦RtAABE三Rt△HBE(HL),

回=AB=4,

设DF=x,则HF=x,CF=4-x,BF=4+x,

在RtABCF中，ZC=90°,

0BC2+CF2=BF2,

42+(4—x)2=(4+x)2,

解得：x=1,

即OF=HF=1,

I3BF=HF+B”=1+4=5.

【点睛】本题考查了正方形的性质，作一个角等于二倍角，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题关键.

【变式5-3］（2022•福建•统考一模）求证：全等三角形对应中线相等.

要求：①根据给出的△ABC及线段4次，已知以线段4所为一边，在给出的图形上用尺规作出

KA'B'C=A4BC,不写作法，保留作图痕迹；

②若点D、D'分别是两个三角形的边力C、4C，上的中点连接BD、B'D',据此写出已知、求证和证明过程.

【答案】①如解图所示即为所求作图形；见解析；②见解析.

【分析】①用尺规作图作*=鼬,四'=朋，根据ASA可判断AA'B'C'MA4BC；

②题设即为已知，结论即为求证.

【详解】解:①如解图所示即为所求作图形：

作法：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；以点4为圆心，AE长为半径画弧，

交4®于点忆以点？为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点尸，连接4尸,则乙4,=乙4,同理，作出/夕=ZB,

两组角在4所上方交于点L,则4即为所求作图形.

②如解图.

已知:4ABe三AA'B'C',D、0,分别为4C、AC，的中点,连接BD、B'D'.

求证：BD=B'D'.

iff®："AABC=AA'B'C,

A'C=AC,AA'=乙4,A'B'=AB.

・•・D,。'分别为4C、4C'的中点，

AD=A'D',.MA'B'DSBD,

BD=B'D'.

【点睛】本题考查尺规作图、三角形全等的判定和性质，突破此类问题的关键是五种基本尺规作图、全等

三角形的性质及判定.

错因分析：1.对尺规作图的方法运用不灵活；2.对三角形的全等的判定和性质理解不透彻，难度属于中等题.

【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】

【例6】（2022•河南周口・统考二模）如图，在A4BC中，4B=4/瓦1C=135。，。为边BC的中点，若2D=1.5,

则AC的长度为.

【答案】22+1

【分析】延长到E,使得&£>=£>£,证明EIADRMEBC,得CE==4,过点E作EH14C于H,分别

求出CH和AH的长即可得到结论.

【详解】解：延长AD到E,使得如图，

E

SD为边的中点,

S\BD=CD

在EIADB和I3EDC中，

AD=DE

乙ADB=4EDC

BD=CD

^3\ADB3^EDC

0ZB=乙DCE,CE=AB=4

0AB〃CE

EINBAC+AACE=180°

SzXCE=180°-135°=45°

过点E作EH14C于”

在Rt/EHC中，CE=4,4HCE=45°

EICH=EH=2V2

在RMAHE中，AE=2AD=3,HE=242

EL4H=y/AE2-EH2=1

EL4c=AH+HC=2^/2+l

故答案为：2&+1.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键.

【变式6-1】（2022•全国•一模）如图，在0ABe中，EL4c8=90。，BC>AC,CZJ0AB于点。，点E是AB的

中点，连接CE.

（1）若AC=3,8C=4,求CZ）的长;

⑵求证：BC2-AC2^2DE»AB；

⑶求证：。石=1艮

【答案】⑴羡

⑵见解析

⑶见解析

【分析】(1)根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式计算，求出CD；

(2)根据题意得到2。-AZ)=2DE,根据勾股定理计算即可证明；

(3)延长CE至点F,使EF=CE,连结AF,证明HAEfHSBECCSAS),根据全等三角形的性质得到138=回胡尸,

AF=BC,再证明EIACRIBCAB,得至！JCF=AB,证明结论.

(1)

解：在0ABe中，EL4CB=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2=732+42=5,

00ACB=90°,CDSAB,

^S^ABC^^AC»BC^^AB»DE,Bp|x3x4=|x5xC£>,

解得：CD=~

(2)

证明：团点E是AB的中点，

BAE=BEf

⑦BD-AD=(BE+DE)-(AE-DE)=BE-AE+2DE=2DE,

团CZM43,

^iBC^BEP+CD2,AC2=AD2+CD2,

0BC2-AC2=(B^+CD2)-(AU+CD2)^BD2-AD2^(BD+AD)(BD-AD)=AB+2DE=2DE*AB；

(3)

证明：延长CE至点F,使EF=CE,连结AF,

在HAE尸和团BEC中，

'AE=BE

/-AEF=乙BEC,

、EF=EC

mAEFmBEC(SAS),

mB=BEAF,AF=BC,

团财。3=90°,

回团5+团CA5=回EAF+团CAB=90°,

WCAF=^ACB=90°,

BAC=CA,

^1ACF^\CAB(SAS),

田CF=AB,

国CF=2CE,

^CE=-AB.

2

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形

的判定定理和性质定理是解题的关键.

【变式6-2](2022•山东烟台•统考一模)(1)方法呈现：

如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线A。的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长到点E使DE=4。，再连接BE,可证△AC。三△EBD,从而把A3、

AC,24。集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线A。的取值范围是,这种

解决问题的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在AABC中，点。是8C的中点，DELDF于点、D,DE交AB于点、E,。/交AC于点八连接EF,

判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABC。中，AB//CD,A/与QC的延长线交于点尸、点E是8C的中点，若AE是NB4F的

角平分线.试探究线段AB,AF,C尸之间的数量关系，并加以证明.

'E

图①图②图③

【答案】(1)1<AD<5,(2)BE+CF>EF,证明见解析；(3)AF+CF=AB,证明见解析.

【分析】(1)由己知得出AC-CE<AE<AC+CE,即5-4<AE<5+3,据此可得答案；

(2)延长灯至点使连接BM、EM,同(1)得国血〃龙0。鹤，得出由线段垂直

平分线的性质得出EM=EF,在EIBME中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；

(3)如图③，延长AE,。尸交于点G,根据平行和角平分线可证A/=FG,易证0AB£H3GEC,据此知AB

=CG,继而得出答案.

【详解】解：(1)延长A。至E,使DE=A。，连接BE,如图①所示，

0AD是BC边上的中线，

0B£)=CD,

在EIBOE和mCD4中，

-BD=CD

0Z-BDE=Z.CDA,

.DE=AD

^\BDE^\CDA(SAS),

回BE=AC=4,

在朋BE中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE,

06-4VAEV6+4,即2VAEV10,

团1VAOV5；

故答案为：

(2)BE+CF>EF；

证明：延长尸。至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示.

同(1)得：SBMD^ECFD(SAS),

^\BM=CF,

团0E0ZZF,DM=DF,

BEM=EF,

在回中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM,

^BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB.

如图③，延长AE,。尸交于点G,

朋庞CO,

团团8AG=[2G,

在她BE和团GCE中

CE=BE,^\BAG=BG,^AEB=^GEC,

^ABE^\GEC(AAS),

团CG=AB,

财E是团BAb的平分线，

^\BAG=^\GAFf

团团E1G=R1G,

^\AF=GF,

0FG+CF=CG,

^\AF+CF^AB.

A

D

c\7\EB

A\

、、

、、、'、

w

图③、G

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知

识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键.

【变式6-3]（2022•山东日照•校考一模）我们定义：如图1,在ATIBC中，把48绕点A顺时针旋转

a（0°<a<180。）得到力B',把4C绕点A逆时针旋转0得到AS连接当a+0=180。时,我们称△AB'C'

是44BC的"旋补三角形"，△边9。上的中线2D叫做△力BC的"旋补中线"，点A叫做“旋补中心

特例感知：（1）在图2,图3中，是△ABC的"旋补三角形”，是△48C的“旋补中线

①如图2,当△4孔为等边三角形时，4D与BC的数量关系为2D=BC；

②如图3,当乙B4C=90°,BC=8时，则4。长为.

猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想力。与BC的数量关系，并给予证明.

【答案】⑴①押C；②4；（2）AD=^BC,见解析

【分析】（1）①根据含30。直角三角形的性质解答;②证明回ABCEBABC,根据全等三角形的性质得到B，CZ=BC,

根据直角三角形的性质计算；

（2）证明四边形AB，EC是平行四边形，得到B,E=AC,,IBBAC+EIAB乍=180。，根据全等三角形的性质得到AE=BC,

得到答案.

【详解】（1）①变ABC是等边三角形,

团AB二AC二BC,团BAC=60°,

团团ABC是△ABC的''旋补三角形”，

团团B'AC'=120°,AB=AB',AC=AC',

团AB'=AC',

00AB/D=3O°,

国ADJAB，，

2

1

团AD二-BC,

2

故答案为称；

②团团ABC是4ABC的〃旋补三角形〃，

团团B'AC'二团BAC=90°,AB=AB',AC=AC',

在△ABC和4ABC中，

'AB=AB

Z.BAC=Z.BAC，

、AC=AC

团团AB'C'RIRIABC(SAS)

回B'C'=BC=8,

团团B'AC'=90°,AD是4ABC的“旋补中线〃,

1

团AD二—B'C'=4,

2

故答案为4；

(2)猜想AD=^BC.

证明：如图，延长/。至点E使得AD=DE,连接BEUE,

回AD是ZkABC的中线，

团B'D=C'D,

团DE=AD,

团四边形人8乍^是平行四边形,

团B'E=AC',回B'AC'+团AB'E=180°,

0a+p=18O°,

团团B'AC'+回BAC=180°,

酿EB'A二团BAC,

在团EB'A和团CAB中，

BA=AB

乙EBA=^BAC

、BE=AC

回团EB'A团国CAB(SAS),

团AE二BC,

团AD」BC.

2

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的

判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解"旋补三角形"的定义是解题的关键.

【考点7利用垂线模型证明全等三角形】

【例7】（2022・天津和平•统考二模）如图，SABC是等边三角形，AB=3,点E在AC上，AE=|AC,。是

BC延长线上一点，将线段DE绕点£逆时针旋转90。得到线段EE,当A配3。时，线段AF的长为

【答案】1+日.

【分析】过点E作EM0A尸于交.BD于N,根据30。直角三角形的性质求出AM=1,再根据国60。的三角函

数值求出EN的长，再依据MMfUErWE(AAS)得出AfF=£N=据此可得，当时，线段AP的长

为1+*

【详解】如图过点E作EM3A/于交BD于N.

团a48c是等边三角形，

^\AB=BC=AC=3,0ACB=6O°.

2

^AE=-AC,

3

[?L4E=2,EC=1.

^AF^BD,

^\EAM=^\ACB=60o.

尸，

的4ME=90°,

的4EM=30°,

^AM=-AE=1.

2

^\AF^\BD9EME4F,

回ENMC,

团EN=EOsin60°=—,

2

^\EMF=^\END=^FED=9Q°,

^\MEF^MFE=^°,^\MEF^DEN=^°,

^\EFM=WEN,

^ED=EF,

W^EMFmDNE(AAS),

0MF=EN=—,

2

SAF=AM+MF=1+—.

2

故答案为：1+苧.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题

的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值.

【变式7-1](2022•广西玉林・统考二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的顶点A在x轴正半

轴上，顶点8,C在第一象限，顶点。的坐标(|,2).反比例函数y(常数k>0,x>0)的图象恰好经

过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是.

【答案】5或22.5

【分析】先设一个未知数用来表示出8、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过8、C、。的其中两

个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k的值即可.

【详解】解：如图所示，分别过B、。两点向X轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向8F作垂线，垂

足为点G；

团正方形A8CD,

EBDAB=90°,AB=BC^CD=DA,

[fflDAE+EIBAF=90°,

又E0DAE+0/WE=9O°,I3BAF+EWBF=9O°,

S\ADE=S\BAF,

[?]△ADE^