中考数学易错易混专项复习：分式与分式方程中常见的易错（解析版）（6大考点）

专题20易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错

廿团【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................1

【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】...............................................1

【易错二分式混合运算易错】...............................................................2

【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】......................................4

【易错四解分式方程不验根】...............................................................5

【易错五分式方程无解与增根混淆不清】....................................................7

【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】................10

【过关检测】..................................................................................12

【典型例题】

【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】

例题：（2023春•陕西西安•八年级校考阶段练习）若分式—的值为0,则X的值为_____.

X+1

【答案】1

【分析】根据分式的值为0及有意义的条件，可得/-1=0且X+1W0,解方程即可求解.

【详解】解：分式巨」的值为0，

X+1

二.――1=0.且x+lwO,

解得X=±1且XW—1,

..X=],

故答案为：1.

【点睛】本题考查了分式值为0及有意义的条件，熟练掌握和运用分式值为0及有意义的条件是解决本题

的关键.

【变式训练】

X—1

1.（2023春・河南周口•八年级统考阶段练习）若分式一；的值为0,则X=_____.

x+1

【答案】1

【分析】分式的值为0,即是分子为0,分母不能为0,据此可以解答本题.

【详解】解：:==0,

X+1

x-1=0,x+lwO

/.x=1.

故答案为：1

【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件.

2.（2023春・江苏•八年级专题练习）当。=_________时，代数式生匚的值为0.

a—1

【答案】-1

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出算式，计算即可.

【详解】解：由题意得，2/-2=0,。一1片0,

解得，a=-l,

故答案为：T.

【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的

关键.

3.（2023秋・辽宁抚顺•八年级统考期末）若分式包工的值为零，则x的值为_____.

x-1

【答案】-1

【分析】根据分式的值为。的条件：分子为0,分母不为0,即可求解.

【详解】解：,分式区?的值为零，

x-1

|x|-1=0,且x-1w0,

解得：x=-l,

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于

0是解题的关键.

【易错二分式混合运算易错】

例题：（2023春・江苏南京•九年级南京市竹山中学校考阶段练习）计算:£1片-“

1

【答案】-

孑+3

【分析】直接根据分式的混合运算法则计算即可.

ci—22。—/

（Q+1）（Q—1）Q—1

a-2a（2-a）

（Q+1）（Q-1）a_1

ci—2ci—1

=-------------------x---------------

（Q+1）（Q—1）_Q（Q_2）

]

-Q（Q+1）

1

-2,

a+a

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解答本题的关键.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）（工-一；的结果是________.

16Z-lya-1

【答案】一2

【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后进行约分即可.

Q—]—（Q+1）

•（tz+1）（。-1）

（Q+1）（Q-1）

=a-l-a-l

=-2.

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序;

先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.

a（\—ci）

2.（2021秋・内蒙古锡林郭勒盟•九年级校考阶段练习）化简：--+---a+1=___________________

a+a\aJ

]

【答案】

Q2+2。+1

【分析】先运用分式的加减法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可.

【详解】解：原式二-^，"+

Q+aIQ"一a0+"]J

1—6Z1一/

a2+aa

1-aa

Q(Q+1)+

］

〃+2。+1

【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键.

【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】

例题(2023秋•湖南长沙•九年级统考期末)先化简：(q-1+—土N，然后从-2、0、2、3中选择一

Va-3Ja-3

个合适的值代入求值.

【答案】Vn—2；当a=0时，原式=-1

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在-2、0、2、3中选择一个使得原分式有意

义的值代入化简后的式子即可得到答案.

a2—4。+3+1a—3a—2

【详解】解：原式=-----------------x------------------

Q-3(Q+2)(Q—2)。+2

•「。一3w0,4—4w0,

/.aw—2,2,3,

.••当4=0时，原式二一1.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

【变式训练】

1.(2023春•八年级课时练习)先化简，再求值［a-2--三］一5二3,请在-2,1,3中选择一个适当的

数作为。值.

【答案】2a+6,8

【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从-2,1,3三个数中选择一个使得原分式有

意义的值代入化简后的式子即可解答本题.

【详解】解：［a-2--三］+=；

(a+2)2〃+4

_(a-2)(a+2)-52(a+2)

〃+2a—3

/2—9/(a+2)

q+2ci—3

(Q-3)(a+3)2(Q+2)

Q+2Q—3

=2a+6

当。=-2,3时，原分式无意义，

故当。=1时

原式=2x1+6=8

【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

(5\加一3

2.(2023春•八年级课时练习)先化简，再求代数式加+2——-k—的值，其中加为满足0＜加＜4的

1m-2Jm-2

整数.

【答案】m+3,4

【分析】先把除法变成乘法，再计算括号内的，最后约分化简即可，根据分式有意义的条件结合加的取值

范围确定出m的值.

【详解】解：原式=(加+2)(加；2)-5乂生三

m-2m-3

(m+3)(m-3)m-2

=------------------x--------

m-2m-3

=m+3

m-3

•：Im+2---------有意义,

vm-2m—2

•••冽W2,阳。3.

又•・・冽为满足0＜加＜4的整数，

：.m=l

.,•原式=1+3=4.

【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的相关运算，以及分式有意义的条件，能够熟练掌握分式有意义

的条件是解决本题的关键.

【易错四解分式方程不验根】

例题：(2023春•八年级课时练习)解方程:

⑴W-8=六,、5x+23

(2)-......=------

X—//-Xx+xX+1

【答案】⑴分式方程无解

⑵分式方程无解

【分析】将分式方程去分母变为整式方程，求出整式方程的解，然后将解代入最简公分母中检验，最后下

结论即可.

【详解】(1)解：^Y—-88=--1

x-77-x

方程两边都乘x-7,得x-8-8(x-7)=-1,

解得：*=7,

检验：当x=7时，x-7=0,

所以x=7是增根，

即分式方程无解；

方程两边都乘x(x+1),得5x+2=3x,

解得：x=-l,

检验：当x=-l时，x(x+l)=O,

所以x=-l是增根，

即分式方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，最后一步验跟是题目正确的关键.

【变式训练】

1.(2023春,八年级课时练习)解方程：

⑴；=1⑵2-1=胃

x+1x-1x-l

【答案】⑴x=0

⑵原方程无解

【分析】(1)先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解;

(2)先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解.

【详解】(1)解：-^-=1

去分母得：l=x+l，

检验：当％=0时，x+lwO,

・,・原方程的解为％=0；

去分母得：3-(x-l)=3x,

解得：X=1,

检验：当尤=1时，x-1=0,

•••原方程无解.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键.

2.（2023春•八年级课时练习）解方程：

【答案】⑴x=0

⑵无解

【分析】先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可.

X7

［详解］（1）解：二三+丁丁=1

去分母得：x-7=2x-7,

移项得：x-2x=-7+7,

合并同类项得：*0,

系数化为1得：x=Q,

经检验，x=0是原方程的解，

原方程的解为x=0;

去分母得：X（X+3）=X2-9+18,

去括号得：X2+3X=X2-9+18

移项得:x2+3x-x2=-9+18.

合并同类项得：3x=9,

系数化为1得：x=3,

经检验，当x=3时，x-3=0,

・•.x=3不是原方程的解，

二原方程无解.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，注意解分式方程最后一定要

检验.

【易错五分式方程无解与增根混淆不清】

yyi—1

例题：（2023秋,山西朔州•八年级统考期末）若关于x的分式方程已+1=—无解，则〃=（）

x+2x+2

3

A.-1B.0C.1D.-

2

【答案】A

【分析】解分式方程，可得X=根据题意可知分式方程的增根为》=-2,即有气三=2,求解即可获

得答案.

去分母，得x+x+2=n-1,

77—3

合并同类项、系数化为1,得X=

由题意可知，分式方程的增根为％=-2,

即有］=-2,解得〃=-1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为x=2

是解题关键.

【变式训练】

1.（2023春•八年级课时练习）已知关于》的方程式-12=0有增根，则加的值是（）

x—44-x

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】D

【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x-4=0,据此求出x的值,

代入整式方程求出m的值即可.

【详解】解：原方程去分母，得：2机+8-x=0,

x=2m+8,

由分式方程有增根，得到k4=0,即x=4,

把x=4代入整式方程，可得：加=-2.

故选D

【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

2.（2023・山东荷泽•校考一模）已知关于x的分式方程=1无解，贝的值为_____.

2x+3X-J

【答案】5或与

【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数。的值.

【详解】解：丁二-胃=1，

2x+3x-j

去分母得(％-5)-(2x+3)(〃-x)=(2x+3)(x-5),

/.(11一2a)x=3a-10,

]Z7—Y

・•・关于X的分式方程一q-幺―=1无解，

2x+3x-5

二①当ll-2a=0时，即a=，，此时(ll-2a)x=3a-10无解；

②当ll-2aw0时，即a/U,解(11一2a)x=3a-10得x=,

2l1-2a

“2八”—工口/切士3T「皿36Z-103T3^-10u

此时分式方程无解，必须有x=一大或x=5,则x=~—=--^x=~一r=5,

2\\-2a211一2。

i当x=*2=-：时，方程无解；

11-2a2

«当X=:::。=5时，解得a=5；

11-2a

综上所述，。的值为5或学，

故答案为：5或5.

【点睛】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况

的分类讨论是解决问题的关键.

3.(2023•全国•九年级专题练习)已知关于x的分式方程

x-2x

⑴若方程的增根为x=2,求。的值；

⑵若方程有增根，求。的值；

⑶若方程无解，求a的值.

【答案】(1)-2；(2)—2；(3)3或一2

【详解】试题分析：(1)原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；

(2)由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；

(3)方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.

试题解析：⑴原方程去分母并整理，得(3—a)x=10.

因为原方程的增根为x=2,所以(3—a)x2=10.解得a=-2.

⑵因为原分式方程有增根，所以x(x—2)=0.解得x=0或x=2.

因为x=0不可能是整式方程(3—a)x=10的解，所以原分式方程的增根为x=2.所以(3—a)x2=10.解得a=—

2.

（3）①当3—。=0,即。=3时，整式方程（3—a）x=10无解，则原分式方程也无解；

②当3—"0时，要使原方程无解，则由（2）知，此时a=—2.综上所述，°的值为3或一2.

点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解.分式方程无解是指整式方程的

解使最简公分母等于0或整式方程无解.

【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】

例题：（2023春•江苏•八年级期中）已知关于x的方程上?=3的解是负数，那么加的取值范围是（）

x+2

A.m<-6B.m>-6C.加〈一6且掰。一2。.加〉一6且加。一4

【答案】D

【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出冽的取值范

围.

【详解】解：之二?=3

x+2

去分母得：2x-m=3（x+2）,

去括号得：2x-m=3x+6f

移项得：2x-3x=6+m,

合并同类项得：-％=6+加，

系数化为1得：x=-6-m,

•・•原方程的解是负数，

**•—6—机<0,x=—YYI—6w—2,

•••加〉-6且加。一4.

故选D

【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于利用分式方程的解是负数的条件,

同时考虑整式方程的解不能使分式方程的分母为0.

【变式训练】

1.（2023•山东泰安•统考一模）若关于无的方程生?+P=3的解是正数，则加的取值范围为（）

x-22-x

A.m>-lB.，">-7且切片一3C.m<—lD.m>-7且mw-2

【答案】B

【分析】先求出原方程的解，可得X==,再由方程的解是正数，可得x>0且X-2W0,即可求解.

以、132x+mx-1c

【详解】解a：———+--=3,

x-22-x

去分母得：2x+〃7-x+l=3x-6,

•・・关于》的方程上r+1=3的解是正数，

x-22-x

・,.x>0且工一2。0,

加+7八l机+7八八

••・---->0,且------2W0,

22

解得：加>一7且加w-3.

故选：B

【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解

题的关键.

2.（2023春•江苏•八年级专题练习）己知关于x的分式方程*-2=」=的解是负数，则左的取值范围为

1-xx-1

（）

A.0<k<2B.k>-25.k^-lC.k>2D.左<2且后wl

【答案】C

【分析】解分式方程用人表示出x,根据解为正数及分式有意义的条件得到关于人的不等式组，解不等式组

即可得到答案.

【详解】解得：白-2=工

1-xx-l

去分母得：一x-2（x-l）=上，

2—左

x=---

3

Y-2=k」-的解为负数，且分式有意义,

1-xx-1

”0

3

I3

解得：k>2,

故选：C.

【点睛】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于左的不等式组是解题关键，注意分

式有意义的条件，避免漏解.

【过关检测】

一、选择题

1.(2023秋•辽宁盘锦•八年级统考期末)如果分式忖匚的值为①那么x的值为()

X+1

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】B

【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为0,进而得出答案.

【详解】解：.••分式也的值为零，

x+\

二.国-1=0且无+1w0,

解得：x-±l,且xw-1,

x=1,故8正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义，掌握分式值为。的条件是分子为0,分母不

为0,是解题的关键.

x2-l

2.(2023春・江苏•八年级专题练习)分式7——不值为0,贝口应满足()

(x+l)(x+2)

A.x=—lB.x=1C.x=±1D.x=-2

【答案】B

【分析】由分式的值为。的条件进行计算，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，

,，分式7的值为0,

(x+l)(x+2)

-x2-l=0[x=±l

(x+1)(x+2)w0[xw—1_H.XW—2

••・X=1.

故选：B.

【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握所学的知识，

正确的进行解题.

m1—Y

3.(2023春・河南周口•八年级统考阶段练习)若关于x的方程一-三=1有增根，则冽的值为()

x-44-x

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【分析】将分式方程化为整式方程仅+0-x)=x-4,根据分式方程有增根得到x=4,得到〃7+(1-4)=0,

即可求出m的值.

【详解】解：匕一片=1，

x-44-x

去分母，得加+(l-x)=x_4,

x-4=0,BPx=4,

m+(l-4)=0,

解得m=3,

故选：D.

【点睛】此题考查了已知分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关

键.

4.(2023•黑龙江鸡西•校考一模)已知关于x的分式方程生子=:的解是非负数，则。的取值范围是(

x-12

A.a>—B.a<2C.工且aw2D.l且aw2

222

【答案】C

【分析】用a表示出该分式方程的解，再结合该分式方程的解为非负数和分式方程有意义的条件，即得出

关于a的不等式，解出。的解集即可.

【详解】解：至

x-12

方程两边同时乘以2(%-1),得：2(2x—a)=x—1,

去括号，得：4x-2a=x-1,

移项、合并同类项，得：3X=2Q-1,

系数化为1,得：x=g.

・••该分式方程的解为非负数，且x-lwO,

X>0,且XW1,

2a—1„2a—1

——>0,—^1,

33

：.a>—,且aw2.

2

故选c.

【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，分式有意义的条件.能够正确把分式方程转化为整式方程

是解题关键.

二、填空题

5.（2023秋•湖北随州•八年级统考期末）若分式区三1■的值为0,则》=_______________.

X-1

【答案】-1

【分析】根据分式等于零的条件求解即可.

【详解】解：,分式区]的值为0,

X-L

国_1=0且x_]w0,

解得：X=-l,

故答案为：-1.

A

【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟知分式』为零的条件为4=0且是解答的关键.

r2-1

6.（2023春•八年级课时练习）当％=______时，分式二—二的值为零.

x-x-2

【答案】1

【分析】先化简再将分子等于0计算即可.

(x-l)(x+l)_x-1

【详解】解：2\

(x—2)(x+1)x—2

使分式的值为0,贝ijx-1=0且%—2。0

x=1

故答案为：1

【点睛】此题考查分式化简求值，掌握分式值为零的条件是题关键.

7.（2023春•海南海口•八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x的分式方程-=±无

x-2x-4x+2

解，则冽的值为.

【答案】-6或-10##-10或-6

【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解.

1x+m3

【详解】解:-----------1----7-------

x—2.x—4x+2

x+2+x+m=3(x-2),

8+m=x,

•••原分式方程无解.

（x+2）（x—2）=0,即％+2=0或X-2=0.

解得％=2或%=-2.

当x=2时，m=-6；

当工二一2时，m=-10.

・•.m的值为-6或-10.

故答案为：-6或-10.

【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整

式方程无解的情形.

8.（2023春•八年级课时练习）若关于x的分式方程匕胃+3=4有正整数解，则整数〃=.

【答案】2或-1##-1或2

【分析】先去分母解整式方程得x=三4二，根据分式方程有正整数解,得到3-。的值为1或2或4,且4一一片2,

3-a3-a

由此求出答案.

【详解】解：去分母得，l-"+3（x-2）=-l,

整理得，（3-a）x=4,

•••分式方程有正整数解，

,、、4一

的值为1或2或4,且----w2,

解得〃=2或-1,

故答案为：2或-1.

【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键.

¥+3X

9.（2023・陕西渭南•统考一模）解方程：-~--一三=2

2x-6x-3

【答案】无解

【分析】两边都乘以2（》-3）化为整式方程求解，然后验根即可.

【详解】两边都乘以2（x-3）,得

x+3-2x=4（x-3）,

解得x=3,

检验：当x=3时，2（x-3）=0,

・•.X=3是原方程的增根，

原方程无解.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式

方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验.

10.（2023秋•甘肃定西•八年级校考期末）解分式方程：-^-=-^-+2.

x-13x-3

【答案】无解

【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可.

X3

【详解】解：-^=-^-+2

x-13%-3

方程的两边同乘3（x-1）,得，3x=3+6（x-l）

解得x=1.

检验：把、=1代入3（x-1）=0.

•••原方程无解.

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

11.（2023春・福建福州•九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）先化简，再求值：

2

|x+1-x「

--x+lH--,其中工=收•

IX-1）1-X

【答案】-2

【分析】将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则，先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简

后的式子进行计算即可解答.

X-11X)

=-2;

当x=近时，

原式=-2.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握通分及约分是解题的关键.

⑵（2023春・江苏•八年级专题练习）先化简,再求值："一川卜其中、=

【答案】一］，-1

X—2

【分析】先将括号内通分合并，然后再计算除法，最后利用零指数幕计算出［g］代入即可.

【详解】解：原式=]去X2-1>1X+1

x+1\x2-4

x+2x+1

x+1(x+2)(x-2)，

1

x-2•

当X=]_£|=1时，原式=卷=一1.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质化简是解题关键.

2

13.(2023春•江苏苏州•九年级校考阶段练习)先化简：f^-+x+2^<y~'\,再从0、1、2中选择一

个适合的数代入求值.

【答案】x,当x=l时，原式=1

【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可.

【详解】解：+x+