浙教版八年级数学专项复习：等腰三角形的性质和判定（原卷版）

第09讲等腰三角形的性质和判定

看知识点梳理

一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,NA是顶角，/B、

NC是底角.

要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或

直角），但顶角可为钝角（或直角）.

]QQO_NA

ZA=180°-2ZB,NB=/C=---------.

2

二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对

称轴.

三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

四•尺规作图：已知底边和底边上的高

已知线段a,h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h.

作法：1.作线段BC=a.

2.作线段BC的垂直平分线1,交BC与点D.

3.在直线1上截取DA=h,连接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

h

］例1.在AMC中，AB=AC,NB=7Q°,则44=()

A.40°B.70°C.50°D.60°

.如图，在“BC中，AB=AD=DC,ZC=35°,则的度数为（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.已知：AABC是等腰三角形，AB^AC,AO是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（

A.BD=CDB.BD=ADC.AD平分NR4CD.NB=NC

4.如图，在“3C中，AB=ACAD1BC,则下列结论中错误的是（).

A.ZBAC=NCB.BD=CDC.ABAD=ACADD.ZB=ZC

.下列能断定AABC为等腰三角形的是（)

A.ZA=30°,ZB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：NB=1：2

6.如图，在△ABC中，ZA=36°,AB^AC,平分/ABC,则图中等腰三角形的个数是（）

2个D.3个

△ABC中，43=47,4。_1_3(7于点。，DEJ.AB于点E,3P1AC于点尸，BF=8,

则DE的长为（）

C.4D.5

AB^AC,点D是边BC的中点，若NC=70。，则NBAD的度数为

9.如图，AABC中，AB=BC,。是BC边上一点，点A在线段以）的垂直平分线上，连接AZ）,

若ZB=50。，则44£>=度.

△4BC中，AB=AC,AD=AE,BD=3cm,DE=4cm,贝UCZ)=cm.

NB=NC.求证：AABC是等腰三角形.

.如图,在AABC中，3D平分/ABC,。平分/ACB,过点。作EF〃台C,与A3,AC分

别相交于点E，F,若AS=9,AC=7,求△AEF的周长.

,例

13.如图，E为AABC的外角NC4D平分线上的一点，AE//BC,BF=AE.

（1）求证："RC是等腰三角形;

（2）若瓶=4,求CE的长.

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一、单选题

1.如图，AABC中，AB=AC,ZB=80°,则/A的度数是（）

B

A

A.80°B.70°C.20°D.50°

2.如图，在AA8C中，AB=AD=DC,ZC=35°,则的度数为（）

C.70°D.80°

3.下列说法错误的是（）

A.等腰三角形两腰上的高相等B.等腰三角形两腰上的中线相等

C.等腰三角形两底角的平分线相等D.等腰三角形高、中线和角平分线重合

4.如图，在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。在上，且即=班，则/。LD的度数为（

BDC

5.如图，在NECF的边CE上有两点A、13,边CF上有一点D,其中8c且/EC/=27。，则乙4。尸

的度数为（）

一

cDF

A.54°B.91°C.81°D.101°

6.等腰三角形的“三线合一”指的是（）

A.中线，高线，角平分线互相重合B.顶角的平分线，中线，高线三线互相重合

C.腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D.顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三

线互相重合

7.如图，在AABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，/（5=54。，则等于（）

A

BZDKC

A.36°B.45°C.54°D.72°

8.如图，在△ABC中，ZB=NC,平分NB4C,AB=5,BC=6,贝！（）

A

BDC

A.3B.4C.5D.6

9.如图，在AABC中，BD平分/ABC,ZC=2ZCDBAB=12,CD=3,则的周长为（）

A.2B.24C.27D.3

10.如图，已知N1=N2,ZB=ZC,不正确的等式是（）

A

BADEC

A.AB=ACB.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.BD=DE

11.如图，/△O£F,点E在AC上，B,F,C,。四点在同一条直线上.若4=40。，/。互＞=35。,

则下列结论正确的是（）

C.EF=EC,AE^FCD.EFWEC,AEKFC

12.如图，在AABC中，AB=AC,AD是BC边的中线，于点E,。尸1AC于点R下列结论:

®DE=DF;®BE=CF③ZBDE=NCDF；④ZBDE=ZDAF.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

13.如图，等腰“LBC中AB=AC,AD1BC,E尸垂直平分A2,交A3于点E,交BC于点尸，点G是线

段上的一动点，若AABC的面积是6cmLBC=6cm,则△ADG的周长最小值是（）

A.4.5cmB.5cmC.5.5cmD.6cm

14.如图，"CB和△OCE均为等腰直角三角形，且NACB=NOC£=90。，点A、D、E在同一条线上,

CM平分/DCE,连接BE,下列结论：①AD=CE；②CM〃BE；®AE=BE+2CM；@S^COE=S^BOE,

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

15.如图所示，在AABC中，NA=30。，NACB=800),DE垂直平分AC交A2于E,垂足为。，则ZBCE=_____.

C

AE"

16.如图，在△ABC中，高A。、BE交于H点、,若BH=AC,求/ABC等于—度.

bDC

17.如图，ZkABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD是BC边上的中线，且BD=BE,则/ADE是_____

度.

A

BDC

18.如图，在44BC中，点。在边8C上，AB^AD=CD.若4AL>=40。,则/C的大小为____度.

BD,

19.如图，直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=U,BC=5,。是边AC上一点，且BD=BC,过点。

作DE_L3£>,交边AB于点E,那么的周长是____

B

ADC

20.如图，在AABC中，NC钻=65。,.将AABC绕点A逆时针旋转能与△AED重合，若CD〃AB,则

ZCAD=_______.

,

AB

21.如图，在AABC中，ED//BC,/ABC和—ACS的平分线分别交即于点G、F,若BE=3,CD=4,

ED=5,则FG的长为

22.如图，在△ABC中，ZBAC=BCA=44°,M为△ABC内一点；且/A/C4=30。，ZMAC=16°,则/BMC

的度数为一.

三、解答题

23.已知：如图，在AABC中，点。在C4边的延长线上，AE平分/DAB,AE//BC.求证：AABC为等

腰三角形.

24.如图，点。，E分别在54,AC的延长线上，S.AB=AC,AD=AE.求证：DELBC.

E

25.如图，△ABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,点。在3C上，ZBAC=ZDAE.

A

(1)求证△ABD^AACE；

(2)当/B等于多少度时，AB//EC?证明你的结论.

26.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=40°,是BC边上的高.线段AC的垂直平分线交AD于点E,

交AC于点孔连接3E.

(1)试问：线段AE与班的长相等吗？请说明理由；

⑵求的度数.

27.如图，在中，AB=AC,AD/BC于点。.

⑴若/3=37。，求/C4D的度数；

⑵若点E在边AC上，印〃钻交AD的延长线于点尸.求证：AE=FE.

28.如图，在AABC中，AB=AC,点。在3c边上，点E在AC边上，连接AZ),DE.已知Z1=N2,AD=DE.

(1)求证：AABDgADCE；

(2)若3D=3,CD=5,求AE的长.

29.如图，AABC是等腰直角三角形，AC=BC,NACB=90。，。是斜边上AB上任一点，AELCD于E,

BFLCD交CD的延长线于尸，8，48于打点，交AE于G.

c

⑴求证：AH=BH；

(2)请问AE与所、3尸之间有怎样的数量关系？并说明理由；

(3)求证：BD=CG.

30.小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法.例如:在如图1所示的△48C

中，/ACB=90。，点。在A8上，且BD=BC,求证：他发现，除了方法1直接用

角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法2：如图2,作BELCD,垂足为点E.

方法3：如图3,作CFLAB,垂足为点F.

根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明并写出其证明过程.

（图1）（图2）（图3）

31.如图①，已知点。在线段上，在AABC和VADE中，AD=DE,AB=BC,ZEAD=ZAED=45°,

ZBAC=ZBCA=45°,且M为召C的中点.

图①图②

(1)连接DM并延长交8C于N,写出线段CN与AO的数量关系：_；

(2)写出直线与DM的位置关系：_；

(3)将VADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段C4的延长线上(如图②所示位置)，(2)中结论是否仍成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

32.如图，四边形Q4CB中，OALOB,联结。C,且OA=OB=OC,分别作OE/AC于点E,OF,3c于

点、F,垂足分别为E、F.

DD

AAA

（D如图1,当0c为—493的平分线时，试说明：OCLEF；

（2）如图2,延长所、0E交于点D,

①直接写出线段CD、OF,3尸之间的数量关系；

②联结AO,若。尸=8