证明圆的切线的常用方法（六大题型）（原卷版+解析）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形一圆》

专题证明圆的切线的常用的方法

★★★方法指引；

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：

1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.

4

题型归纳

题型突破•典例精析

类型一：有公共点：连半径，证垂直

户题型一利用等角代换法证明垂直

••【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，A3是。。的直径，点。在直径A2上（。与A,2不重

合），CDLAB,>CD=AB,连接CB,与O。交于点凡在C£>上取一点E,使得EP=EC.

求证：EF是O。的切线;

【变式1-1]（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆。。的直径，过O。外一点。作BC的平行

线分别交AC,A8于点G,E,交。。于点尸，连接。8,CF,ZBAC=ZD.

求证：8。是。。的切线;

D

C

【变式1-2】如图,AB是。。的直径，点C是圆上一点,COLAB于点。，点E是圆外一点,CA平分/ECD求

证：CE是。。的切线.

【变式1-3］（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,ZMAC

=AABC,。是弧AC的中点，连接8。交AC于G,过。作QE_LA8于E,交AC于£

（1）求证：A/N是半圆的切线.

【变式1-4］如图，AB为。。的直径，尸。切。。于点C,与胡的延长线交于点。，DELP。交P。延长

线于点E,连接。C,PB,已知PB=6,08=8,ZEDB=ZEPB.

（1）求证：PB是。。的切线;

(2)求。。的半径.

(3)连接8E,求BE的长.

E

题型二利用特殊角的计算证明垂直

••【典例二】如图，△ABC是直角三角形，点。是线段AC上的一点，以点。为圆心，0A为半径

作圆.。交线段于点。，作线段8。的垂直平分线ER所交线段BC于点.

(1)若NB=30。，求NCOD的度数;

(2)证明：ED是。。的切线.

【变式2-1]如图，为。。的直径，点C,。在。。上，AC=CD=DB,DE±AC.

求证：DE是0。的切线.

【变式2-2]如图，AC是。。的直径，8在。。上，8。平分/ABC交。。于点。，过点。作。E〃AC

交BC的延长线于点E.

求证：DE是。。的切线.

【变式2-3]（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在。。中，AB为。。的直径，AC为弦，OC=4,

ZOAC=60°.

（1）求NAOC的度数；

（2）在图（1）中，P为直径2A的延长线上一点，且4c=4值，求证：PC为。。的切线;

【变式2-4]（2023•门头沟区二模）如图，AB是。。直径，弦CDJ_A8于E，点尸在C。上，J.AF=DF,

连接A。，BC.

（1）求证：NFAD=NB

（2）延长刚到P,使FP=FC,作直线CP.如果转〃BC.

求证：直线CP为OO的切线.

题型三利用平行线性质证明垂直

••【典例三】如图，四边形ABC。内接于。。，AB为。。的直径，过点C作CELA。交的延长线

于点E,延长EC,AB交于点RZECD=ZBCF.

求证：CE为。。的切线；

【变式3-1](2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：是。。的直径，8。是。。的弦，延长8。到点C,使

AB^AC,连结AC,过点。作。ELAC,垂足为E.求证：。石为O。的切线.

【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC=AC,以8C为直径的。。与边A3相交于点。，DELAC,垂

足为点E.

(1)求证：点。是的中点；

(2)判断。E与。。的位置关系，并证明你的结论.

【变式3-3］如图，已知点E在△ABC的边A8上，ZC=90°,/BAC的平分线交BC于点。，且。在以

AE为直径的。。上.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)已知N8=30°,CD=4,求线段AB的长.

【变式3-4］如图，四边形ABC。内接于。。，2。是。。的直径，AE±CD,垂足为E,D4平分NBOE.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)若/。BC=30°,DE=lcm,求的长.

产题型四利用勾股定理逆定理法证明垂直

__________________________

••【典例四】(2022•城关区一模)如图，C是。O上一点，点P在直径AB的延长线上，0O的半径为

6,PB=4,PC=8.求证：PC是。O的切线；

【变式4-1]如图，AD,BD是。。的弦,ADXBD,且BD=2AD=8，点C是BD的延长线上的一点，CD=2,

求证：AC是。。的切线.

【变式4-2]如图，AD,8。是。。的弦，ADLBD,且8。=24。=8,点C是8。的延长线上的一点,

CD=2,求证：AC是。。的切线.

题型五利用三角形全等证明垂直

••【典例五】（2022•邺州区校级开学）如图，AB为O。的直径，点C和点。是O。上的两点，连接

BC,DC,BC=CD,CE_LZM交ZM的延长线于点E.

求证：CE是。。的切线；

【变式5-1]如图，已知AB是。。的直径，BCLAB,连接。C,弦AO〃OC,直线CD交BA的延长线于点E.

求证：CD是。。的切线；

【变式5-2](2022秋•新抚区期末)如图，A8为。。的直径，四边形是矩形，连接AD,延长4D

交O。于E,连接CE.求证：CE为O。的切线.

【变式5-3](2022•建邺区二模)如图，四边形A8CD是菱形，以A3为直径作交CB于点、F,点、

E在CD上，S.CE=CF,连接AE.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)连接AC交O。于点尸，若4尸=遮，BF=1,求O。的半径.

类型二：无公共点：作垂直，证半径

工题型六无公共点：作垂直，证半径

••【典例六】如图，^ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与。O相切于点D.求证:

AC是。O的切线.

【变式6-1］如图，。为正方形ABC。对角线AC上一点，以。为圆心，0A长为半径的。。与相切于

点、M.求证：CD与。。相切.

【变式6-2］如图，0C平分。是0c上任意一点，。。和相切于点E,连接CE.

(1)求证：与。。相切;

(2)若。5=4,。。的半径为3,求CE的长.

D

0

B

【变式6-3]如图，48是。。的直径，AM,BN分别切于点A,B,CD交AM,BN于点、D,C,。。平

分/AZJC.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)若AD=4,BC=9,求。。的半径R.

【变式6-4](2022秋•清原县期末)如图，在AABC中，/ACB=90°,点。是A8边的中点，点。在AC

1

边上，。0经过点。且与边相切于点E,乙FAC=^CBDC.

(1)求证：AF是。。的切线;

(2)若BC=6,AB=10,求O。的半径长.

AEDB

专题突破练

1.如图，已知AB是O。的直径，点尸在2A的延长线上，连接AE交。。于点。，过点。作

PC,BE垂足为点C.

求证：PC与。。相切；

2.如图，△ABC是。。的内接三角形，AC是。。的直径，点。是死的中点，OE〃BC交AC的延长线于

点E.

(1)求证：直线DE与。。相切；

(2)若。。的直径是10,ZA=45°,求CE的长.

B

3.(2023•东城区校级模拟)如图，。。的半径OC与弦垂直于点。，连接3C,OB.

(1)求证：2NABC+NO3A=90°；

(2)分别延长80、CO交。。于点E、F,连接AE交BE于G,过点A作AML8C,交BC延长线于

点M,若G是AF的中点，求证：AM是。。的切线.

4.(2022•思明区校级二模)如图，四边形A8CO是。。的内接四边形，AC是。O直径，BE//AD3CDC

延长线于点E,若BC平分/ACE.

(1)求证：BE是的切线；

(2)若BE=3,CD=2,求OO的半径.

5.(2023•封开县一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交BC于点。，过点。作£F_L

AC于点E,交48的延长线于点足

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)当AB=5,8C=6时，求OE的长.

6.(2023•宁德模拟)如图，0M为。。的半径，且0M=3,点G为0M的中点，过点G作交。。

于点A,B,点D在优弧上运动，将AB沿方向平移得到。C；连接B。，BC.

(1)求/ADB的度数；

(2)如图2,当点。在M。延长线上时，求证：8C是。。的切线.

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形一圆》

专题证明圆的切线的常用的方法

★★★方法指引：

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：

1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.

题型归纳

题型突破•典例精析

类型一：有公共点：连半径，证垂直

科题型一利用等角代换法证明垂直

••【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，A3是。。的直径，点。在直径A2上（。与A,2不重

合），CDLAB,>CD=AB,连接C8,与O。交于点R在C£>上取一点E,使得EP=EC.

求证：EF是O。的切线;

【分析】连接。尸，根据垂直定义可得/。8=90°,从而可得/B+NC=90°,然后利用等腰三角形的性

质可得"，NC=NEBC,从而可得/OF2+NEPC=90°,最后利用平角定义可得NOPE=90°,

即可解答;

：.ZCDB=9Q°,

.\ZB+ZC=90°,

"：OB=OF,EF=EC,

：.ZB=ZOFB,ZC=ZEFC,

：./OFB+NEFC=90°,

.,.ZOF£=180°-(.ZOFB+ZEFC)=90°,

尸是O。的半径，

••.EP是。。的切线：

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

【变式1-1]（2022•澄城县三模）如图，A3是△ABC外接圆。。的直径，过O。外一点。作8c的平行

线分别交4C,A8于点G,E,交。。于点尸，连接。B,CF,ZBAC=ZD.

求证：8。是。。的切线；

【分析】证明NAB£）=90°,根据切线的判定可得8。与O。相切;

【解答】证明：是O。的直径，

ZACB=90°,

'：DG//BC,

：.ZAGE=ZACB=90°,

：.ZA+ZAEG=90°,

又•：NA=ND,ZAEG=ZDEB,

：.ZD+ZDEB=9Q°,

；./DBE=90°,

：.AB±BD,

：AB为直径，

.•.2。与。。相切；

D

【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定.

【变式1-2］如图,AB是。。的直径,点C是圆上一点,CDLA8于点D,点E是圆外一点,CA平分NECD求

证：CE是。。的切线.

【分析】利用切线的判定定理证明NOC£=90。即可得出结论.

【解答】证明：平分NEC。，

：.ZECA=ZDCA.

'：CDLAB,

：.ZCAD+ZDCA=90°,

：.ZECA+ZCAD^90°.

：OA=OC,

：.ZCAD=ZACO,

：.ZECA+ZACO=90°,

即NOCE=90。，

AOC±EC,

•；0C是。。的半径，

；.CE是（DO的切线.

【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键.

【变式1-3](2022秋•阳谷县校级期末)如图，△ABC内接于半圆，A8是直径，过A作直线MN,ZMAC

=AABC,。是弧AC的中点，连接80交AC于G,过。作。E_LAB于E,交AC于凡

(1)求证：MN是半圆的切线.

(2)求证：FD=FG.

【分析】(1)欲证明MN是半圆的切线，只需证得NAM3=90°,即MA_LAB即可；

(2)根据圆周角定理推论得到NACB=90°,由。得到/。仍=90°,则Nl+N5=90°,Z3+

Z4=90°,又£＞是弧AC的中点，即弧8=弧94,得到/3=/5,于是

Z1=Z4,利用对顶角相等易得N1=N2,则有a=PG.

【解答】证明：(1)如图，是直径，

AZACB=90°,

：.ZCAB+ZABC=90a.

又；ZMAC=ZABC,

：.ZMAC+ZCAB^90°,即NMAB=90°,

：.MA.LAB.

...MN是半圆的切线.

(2)TAB为直径，

ZACB=90°,

而DELAB,

:.NDEB=90°,

.-.Zl+Z5=90°,Z3+Z4=90°,

:。是弧AC的中点，即弧(7。=弧04,

；./3=/5,

.\Z1=Z4,

而/2=/4,

/.Z1=Z2,

：.FD=FG.

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了圆

周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定.

【变式1-4］如图，A3为。。的直径，尸。切。。于点C,与胡的延长线交于点。，尸。交尸。延长

线于点E,连接。C,PB,已知PB=6,DB=8,NEDB=NEPB.

(1)求证：是。。的切线;

(2)求。。的半径.

(3)连接8E,求BE的长.

【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到尸为直角，即可得证;

(2)在直角三角形PBD中，由尸8与。8的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB

=6,由PD-PC求出CQ的长，在直角三角形OCO中，设OC=r,则有。。=8-r,利用勾股定理列出

关于r的方程，求出方程的解得到厂的值，即为圆的半径.

(3)延长PB、DE相交于点F,证明△PED注△PEF(ASA),由全等三角形的性质得出PD=PF=10,

DE=EF,求出的长，则可得出答案.

【解答】(1)证明：・.・OE，PE,

：.ZDEO=90°,

•:/EDB=/EPB,ZBOE=ZEDB+ZDEO,/BOE=/EPB+/OBP,

：.ZOBP=ZDEO=90°f

；・OBUB,

・••尸5为。。的切线；

(2)解：在RSP8D中，尸6=6,08=8,

根据勾股定理得：PD=V62+82=10,

,：PD与PB都为。O的切线，

；・PC=PB=6,

：.DC=PD-PC=10-6=4；

在R3COO中，设OC=r,则有00=8-r,

根据勾股定理得：(8-r)2=r+42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

(3)延长尸2、DE相交于点R

,：PD与PB都为。0的切线,

；.0P平分/CPB,

：./DPE=ZFPE,

'：PE±DF,

:.NPED=NPEF=90°,

又,：PE=PE,

.,.△PED^APEF(ASA),

：.PD=PF=10fDE=EF,

：.BF=PF-PB=10-6=4,

在RtADBF中，。尸=y/DB2+BF2=V82+42=4遮，

：.BE="尸=2V5.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握

性质定理是解题的关键.

题型二利用特殊角的计算证明垂直

••【典例二】如图，△ABC是直角三角形，点。是线段AC上的一点，以点。为圆心，为半径

作圆.。交线段于点作线段8。的垂直平分线ER所交线段3c于点.

(1)若/8=30。，求/COO的度数；

(2)证明：M是。。的切线.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到/A=60。，根据等腰三角形的性质得到/OD4=NA=60。，于

是得到/COD=ZODA+/A=120。；

(2)根据线段垂直平分线的性质得到/EQB=NB=30。，求得EDLDO,根据切线的判定定理即可得到

结论.

【解答】(1)解：：NC=90。，ZB=3Q°,

：./A=60°,

\'OD=OA,

AZODA=ZA=60°,

ZCOD=ZODA+ZA=120°；

(2)证明：垂直平分3D,

；.NEDB=NB=30。,

：.ZEDO=180°-ZEDB-ZODA=180°-30°-60°=90°,

J.EDLDO,

是。。的半径，

...即是。o的切线.

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理

是解题的关键.

【变式2-1]如图，AB为。。的直径，点C,。在。。上，AC=CD=DB,DELAC.

求证：OE是。。的切线.

A

11

【分析】连接OD,根据已知条件得到NBOD=3X180°=60°,求得NE4D=Z.DAB="BOD=30°,根

据等腰三角形的性质得到/4。。=/。48=30。，求得/成矽=60。，根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】证明：连接OD

'：AC=CD=DB,

1

:•乙BOD=1x180°=60°,

VCD=DB,

1

：.Z.EAD=Z.DAB="BOD=30°,

VOA=OD,

・・・ZADO=ZDAB=30°,

VDEXAC,

・NE=90。,

，ZEAD+ZEDA=90°,

：.ZEDA=60°,

：.ZEDO=ZEDA+ZADO=90°,

：.ODLDE,

是。。的半径，

是。。的切线.

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

【变式2-2]如图，AC是。。的直径，B在。。上，2。平分/A8C交。。于点。，过点。作OE〃AC

交BC的延长线于点E.

求证：OE是。。的切线.

【分析】连接。。，根据圆周角定理的推论得到NA2C=90。，根据角平分线的性质求出/£>BE=45。，根据

圆周角定理得到NOOC,根据平行线的性质求出/OQE=90。，根据切线的判定定理证明结论；

【解答】证明：连接0D

：AC是。。的直径，

ZABC=90°,

;夕。平分NABC,

ZDBE^45°,

：.ZDOC=2ZDBE=90°,

'JDE//AC,

：.ZODE=ZDOC=90°,

；.DE是。O的切线；

【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂

直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.

【变式2-3]（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在。。中，AB为。。的直径，AC为弦，0c=4,

ZOAC=60°.

U）求NAOC的度数；

（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且4c=4b，求证：PC为。。的切线;

【分析】（D根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△AC。是等边三角形，则NAOC=

60°；

（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质

得出NPCA=30°,进而得出答案；

【解答】（1）解：在△O4C中，

；OA=OC=4,NOAC=60°,

...△OAC是等边三角形，

/.ZAOC=60°；

（2）证明：过点C作CDLA。于点D,

「△AOC是等边三角形，CD±AO,

1

：.AD=DO^^OA=2,NACO=60。，

・・・CD=70c2一。。2=-22=273,

TS△用。=4后

1L

/,-B4-C£)=4V3,

2

・・・B4=4,

：.PA=AC,

1

ZP=ZPCA=iZOAC=30°,

Z.ZPCO=ZPCA+ZACO^30°+60°=90°,

：.OCLPC,

：oc是。。的半径，

•••PC为oo的切线.

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的

关键.

【变式2-4](2023•门头沟区二模)如图，AB是。。直径，弦于E,点尸在CD上，5.AF^DF,

连接A。，BC.

(1)求证：ZFAD=ZB

(2)延长刚到P,FP=FC,作直线CP.如果A尸〃8c.

求证：直线C尸为的切线.

【分析】(1)根据垂径定理、圆周角定理可得44。。=/4。。=乙8,根据等腰三角形的性质可得/科。

=ZFDA,进而可得NEir>=NB；

(2)根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得N必3=NEW=N&M=30°,进而得到NCTP=

60°,再利用等边三角形的性质可得NFCO=60°+30°=90°,由切线的判定方法可得结论.

【解答】证明：(1)如图，连接AC,

TAB是。。直径，弦COJ_A3,

：.AC=AD,

：.ZACD=ZACD=ZB,

U：AF=FD,

：.ZFAD=ZFDA,

：.ZFAD=ZB；

(2)如图，连接OC,

'：AF//BC,

：.ZFAB=ZB,

：.ZFAB=NEW=ZFDA,

VZAED=90°,

ZFAB=ZFAD=ZFDA=30°,

：.ZCFP=60°,

•:FP=FC,

•••△C尸尸是等边三角形，

：.ZPCF=60°,

OB=OC,

：.ZB=ZOCB=30°,

・・・NOCQ=30°,

：.ZPCO=600+30°=90°,

即OCLPC,

丁oc是半径，

・・・PC是。。的切线.

LT----

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方

法，圆周角定理是正确解答的前提.

题型三利用平行线性质证明垂直

••【典例三】如图，四边形ABC。内接于。。，为。。的直径，过点C作CEL4。交AD的延长线

于点E,延长EC,AB交于点尸,NECD=/BCF.

求证：CE为。。的切线；

【分析】连接OC,BD,可推出E歹〃8。，进而可证前=比，进而得出CE为。。的切线;

【解答】证明：如图1,

图1

连接OC,BD,

：A3是。。的直径,

ZADB=9Q°,

,/CELAE,

.".Z£=90°,

ZE=ZADB,

：.EF//BD,

：.ZECD=ZCDB,ZBCF=ZCBD,

"：ZECD=ZBCF,

：.ZCDB=ZCBD,

：.CD=BC,

半径OCLEF,

；.CE为。。的切线；

【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线.

【变式3-1］（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：是。。的直径，8。是的弦，延长8。到点C,使

AB=AC,连结AC,过点。作。E_LAC,垂足为E.求证：OE为。。的切线.

【分析】连接OO,根据。A=OB,CD=BD,得出OO〃AC,ZODE=ZCED,再根据。E_LAC,即可

证出ODLDE,从而得出答案.

是。。的直径,

ZADB^90°,

'：AB=AC,

：.CD=BD,

•：OA=OB,

：.OD//AC.

：.ZODE=ZCED.

'：DE±AC,

/.ZCED=90°.

.\ZODE=90°,

：.OD±DE,

:。。是OO的半径，

...DE是O。的切线.

【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的

性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型.

【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC=AC,以BC为直径的与边AB相交于点。，DE±AC,垂

足为点E.

（1）求证：点。是的中点；

（2）判断。E与。。的位置关系，并证明你的结论.

【分析】（1）连接C。，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到/BOC=90°,然后根据等腰三角形

的性质得

（2）连接0。，先得到。。为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD〃AC,WDE±AC,则

DELOD,然后根据切线的判定定理可得DE为的切线.

【解答】（1）证明：连接CD如图，

为直径,

:.NBDC=90°,

:.CDLAB,

'：AC=BC,

：.AD=BD,

即点。是AB的中点；

（2）解:DE与。。相切.理由如下:

连接。£）,

\"AD^BD,OC=OB,

为AABC的中位线，

J.OD//AC,

而DELAC,

：.DE±OD,

二。£为。。的切线.

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线

是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

【变式3-3］如图，已知点E在△ABC的边A8上，ZC=90°,/BAC的平分线交BC于点。，且。在以

AE为直径的O。上.

（1）求证：BC是。。的切线;

(2)已知N8=30°,CD=4,求线段AB的长.

E

BD

【分析】(1)连接OD,根据角平分线的定义得到/BAZ)=NCA。，而/OA£>=NOD4,则/0D4=/

CAD,于是判断OO〃AC,由于/C=90°,所以/。。8=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结

论；

(2)由NB=30°得到NBAC=60°,则/C4Q=30°,在RtA4DC中，根据含30度的直角三角形三

边的关系得到AC=4VI,然后在Rt^ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB=8次.

【解答】(1)证明：连接。。，如图，

•/ABAC的平分线交BC于点D,

：.ZBAD=ZCAD,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC,

VZC=90°,

：.ZODB=90°,

：.OD±BC,

...BC是O。的切线；

(2)解:VZB=30°,

：.ZBAC=60°,

：.ZCAD=30°,

在RtZXAOC中，DC=4,

；.AC=V3DC=4V3,

在RtZ^ABC中，ZB=30°,

.,.AB=2AC=8V3.

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了

含30度的直角三角形三边的关系.

【变式3-4］如图，四边形A3CD内接于。0,8。是。。的直径，AELCD,垂足为石，D4平分N8QE.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)若ND3C=30。，DE=\cm,求的长.

【分析】(1)连接。4,根据角之间的互余关系可得NQAE=NOE4=90。，故AEJ_O4,即AE是。。的切

线；

(2)根据圆周角定理，可得在Rt2kAEO中，ZAEZ)=90°,NE4D=30。，有A0=2DE；在RtZkABO中，

ZBAD=90°,ZABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案.

【解答】(1)证明：连接04,

•「D4平分N5OE,

：・NBDA=NEDA.

9

：0A=0D9

：.ZODA=ZOAD,

：.ZOAD=ZEDA,

J.0A//CE,

VAEXCE,

：.AE±0A.

・・・AE是。。的切线.

(2)解：・・・8。是直径，

ZBCD=ZBA£)=90°.

VZDBC=30°,ZBDC=60°,

：.ZBDE=120°.

〈DA平分N8OE,

：.ZBDA=ZEDA=60°.

：.ZABD=ZEAD=30°.

•.,在R3AE。中，ZAED=9Q°,ZEAD=30°,

：.AD^2DE.

:在RSA3。中，ZBAD=90°,ZABD=3Q°,

：.BD=2AD=4DE.

：DE的长是1cm,

的长是4CMJ.

【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的

判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题.

题型四利用勾股定理逆定理法证明垂直

••【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是。O上一点，点P在直径AB的延长线上，0O的半径为

6,PB=4,PC=8.求证：PC是。O的切线;

【分析】可以证明OC2+PC2=OP2OCP是直角三角形，即OC_LPC,PC是。O的切线;

【解答】解：如图，连接OC、BC,

;。。的半径为6,PB=4,PC=8.

OC=OB=6,OP=OB+BP=6+4=10,

OC2+PC2=62+82=100,OP2=102=100,

.*.OC2+PC2=OP2,

AAOCP是直角三角形，

；.OCJ_PC,

；.PC是。O的切线；

【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键.

【变式4-1］如图，AD,BD是的弦,ADXBD,且BD=2AD=8，点C是BD的延长线上的一点，CD=2,

求证：AC是。。的切线.

【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.

【解答】证明:连接AB,

VADXBD,且BD=2AD=8,

，AB为直径，AB2=82+42=80,

VCD=2,AD=4,

/.AC2=22+42=20,

,/CD=2,BD=8,

.".BC=102=100,

.\AC2+AB2=CB2,

AZBAC=90°,

；.AC是OO的切线

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角

三角形.

【变式4-2]如图，AD,2。是的弦，AD1BD,且BO=2AD=8,点C是的延长线上的一点,

CD=2,求证：AC是。。的切线.

【分析】先根据圆周角定理得到为O。的直径，再利用勾股定理计算出A3、AC,接着利用勾股定理

的逆定理证明AABC为直角三角形，ZBAC=90°,所以然后根据切线的判定定理得到结论.

【解答】证明：友），

/.ZADB=90°,

为。。的直径，

"：BD=2AD=S,

.\AD=4,

在RtAADB中，AB2=AD1+BD2=42+82=80,

在RtZXADC中，AC2^AD2+CD2=42+22=20,

VBC2=(2+8)2=10,

：.AC2+AB1=BC2,

...△ABC为直角三角形，ZBAC=90°,

：.AC±AB,

为直径，

；.AC是OO的切线.

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周

角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理.

题型五利用三角形全等证明垂直

••【典例五】(2022•郸州区校级开学)如图，AB为的直径，点C和点D是。O上的两点，连接

BC,DC,BC=CD,CE_LZM交ZM的延长线于点E.

求证：CE是。。的切线；

【分析】连接。D,OC,证得△COD四△COB,可得/OC£>=NBCO,从而得到NADC=/OCO,进而得

到/M〃C。，利用切线的判定定理即可求证；

【解答】证明：连接O。，OC,如图，

D

E

在△CO。和△COB中,

OD=OB

OC=0C,

CD=CB

•••△COO也△C03(SSS),

：,/OCD=/BCO,

,:CO=BO,

:・/B=/BCO,

ZB=ZADC,

：.ZADC=Z.DCO.

J.DA//CO,

.•.ZE+ZECO=180°.

9：CELEA,

—90°.

AZECO=90°,

C.ECLCO,

•「CO是。。的半径，

・・・EC是。。的切线；

【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性

质，圆周角定理等知识是解题的关键.

【变式5-1］如图，已知是。。的直径，BCLAB,连接OC,弦AO〃OC,直线CD交区4的延长线于点

求证：CD是。。的切线；

c

［分析:］连接OD,利用SAS得到三角形C。〃与三角形COB全等,利用全等三角形的对应角相等得到ZODC

为直角，即可得证；

【解答】证明：如图，连接

'：AD//OC,

：.ZDAO==ZCOB,ZADO=ZCOD,

又：。4=0D,

ZDAO=ZADO,

：.ZCOD=ZCOB,

在八。0。和4COB中，

OC=OC

/.COD=/.COB>

.OD=OB

:.△CODQbCOB(SAS),

：.ZCDO^ZCBO^90°,

是。。的半径，

【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的

关键.

【变式5-2］(2022秋•新抚区期末)如图，为。。的直径，四边形OBCO是矩形，连接AD,延长

交。。于E,连接CE.求证：CE为O。的切线.

【分析】连接OC、BE,根据矩形性质和圆半径相等，推出NC0E=NAEO,进而得到OP=CP,然后

根据03〃。。，可以推出NCOE^NBOC,最后通过证明△BOC名△EOC即可求解.

【解答】证明：如图：连接OC、BE,OE,交于点尸，

・・,四边形03co是矩形，

：・OB〃CD,ZOBC=90°,OB=CD,

*.•OB//CD,

：.ZA=ZCDE,

•・•在OO中，OA=OB=OE,

：・OE=CD,

•：OA=OE,

：.ZA=ZAEO,

：.ZCDE=ZAEO,

:,DP=PE,

OE=CD,

：・OP=CP,

：.ZCOE=ZDCO,

♦：OB〃CD,

:・/DCO=/BOC,

：.ZCOE=ZBOC,

在△BOC和△EOC中,

OB=OE

CO=CO,

zBOC=(COE

：./\BOC^/\EOC(SAS),

：.ZCEO=ZOBC=90°,

：.CELOE,

又：0E为。。的半径，

；.CE为。。的切线.

【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知

识点是解题关键.

【变式5-3](2022•建邺区二模)如图，四边形A8CD是菱形，以AB为直径作。。，交CB于点F,点

E在CD上，MCE=CF,连接AE.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)连接AC交O。于点P,AP=V3,BF=1,求O。的半径.

【分析】(1)连接AR根据菱形的性质得到NAC/=NACE,根据全等三角形的性质得到/AFC=/AEC,

推出根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)连接BP,根据圆周角定理得到NAPB=90°,求得AC=2AP=2百，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接AR

/.ZACF=ZACE,

在△ACF与AACE中，

CF=CE

^ACF=/.ACE,

AC=AC

：.AACF^AACE(SAS),

ZAFC=ZAEC,

是。。的直径，

AZAFB=ZAFC=90°,

：.ZA£C=90°,

■:AB//DC,

：.ZBAE+ZAEC^90°,

AZBAE=90°,

：.OA±AE,

：04是。。的半径，

；.AE是(DO的切线；

(2)解:连接2尸，

D____________4-

CFB

图2

是O。的直径，

?.ZAPS=90°,

"：AB=CB,AP=V3,

；.AC=2AP=2旧，

设。。的半径为R,

VAC2-CF2=AF2,AB2-BF2=AF2,

：.(2A/3)2-(2R-l)2=(27?产-l2,

：.R=l(负值舍去)，

.•・O。的半径为|.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理

等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题.

类型二：无公共点：作垂直，证半径

e题型六无公共点：作垂直，证半径J

••【典例六】如图，AABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，腰AB与。。相切于点D.求证:

AC是。0的切线.

【分析】过点。作OELAC于点E,连接OD,0A,根据切线的性质得出ABLOD,根据等腰三角形三

线合一的性质得出AO是/BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论.

【解答】证明：过点O作OE_LAC于点E,连接OD,OA,

AABXOD,

:△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,

；.A0是NBAC的平分线，

.*.OE=OD,即OE是。O的半径，

•.•圆心到直线的距离等于半径，

，AC是。O的切线.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题

的关键.

【变式6-1］如图，。为正方形ABC。对角线AC上一点，以。为圆心，Q4长为半径的。。与相切于

点、M.求证：8与。。相切.

【分析】利用正方形的性质得出AC平分角NBCD再利用角平分线的性质得出OM=ON,即可得出答案.

【解答】证明：如图所示，连接OM,过点。作ONLCQ于点N,

：。。与相切于点M,

：.OM±BC,

又，：ONLCD,。为正方形对角线AC上一点，

：*OM=ON,

：.ON为00的半径，

...CD与。0相切.

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM=ON是解题关键.

【变式6-2］如图，0c平分/AO8,。是0C上任意一点，。。和。4相切于点E,连接CE.

(1)求证：。8与。。相切；

(2)若0E=4,。。的半径为3,求CE的长.

//

/-B

【分析】(1)过点。作于点E先由切线的性质得DELOA,则由角平分线的性质得。/=£>£,

即可证得结论；

(2)过E作EG，。。于G,先由勾股定理求出。。=5,再由面积法求出EG=¥，然后由勾股定理求出

DG=l，最后由勾股定理求出CE即可.

【解答】(1)证明：连接。E,过点。作。于点尸，如图所示：

丫。。与04相切于点E,

：.DE±OA,

,：0C平分NAOB,

：.DF=DE,

；.02与。D相切；

(2)解：过£作EG_LOD于G,如图所示:

ZOED=90°,

VOE=4,DE=3,

/.OD=V32+42=5,

VEG±O£>,

11

；・一ODxEG=3OExDE,

22

.厂厂

-EG=—OEOxDD-E=—4x3=^12

:.DG=yjDE2-EG2=^32-(^)2=|,

924

・•・CG=CO+OG=3+1=g,

/.CE=V£G2+CG2=娉尸+(甘)2=埠5.

【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅

助线.

【变式6-3］如图，AB是O。的直径，AM,3N分别切O。于点A,B,CD交AM,BN于点、D,C,。。平

分NADC.

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若A£>=4,BC=9,求。。的半径R.

【分析】(1)过0点作OELCD于点E,通过角平分线的性质得出。£=。4即可证得结论.

(2)过点D作DFLBC于点R根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△。尸C中利用勾股定理

可得出DP的长，继而可得出半径.

【解答】(1)证明：过。点作OELC。于点E,

切。。于点A,

J.0A1AD,

又：。。平分/AOC,

：.OE=OA,

:04为。。的半径,

，OE是OO的半径，MOELDC,

.♦.CD是O。的切线.

(2)解：过点D作。凡LBC于点F,

\'AM,BN分别切。。于点A,B,

：.AB±AD,ABLBC,

二四边形ABFD是矩形，

J.AD^BF,AB=DF,

又：AO=4,BC=9,

：.FC=9-4=5,

'：AM,BN,£>C分别切O。于点A,B,E,

：.DA=DE,CB=CE,

：.£>C=A£)+BC=4+9=13,

在Rt△。