中考数学函数专项复习：二次函数中的面积问题（含答案及解析）

专题27二次函数中的面积问题

知识对接

考点一、二次函数中的面积问题

解决此类问题时,一般根据图形的性质，找自变量与该图形面积之间的关系,从而确定二次函数的表达式，再根

据题意和二次函数的性质解答即可.

项训练

一、单选题

1.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出

的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p="+：+。,则其面积5=Jp(p-a)(p-6)(p-c).这

个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若。=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()

A.75C.2A/5

2.如图，直线＞=-2%+2与坐标轴交于A、2两点，点尸是线段A8上的一个动点，过点尸作y轴的平行

线交直线＞=-x+3于点。△OP。绕点。顺时针旋转45。，边尸。扫过区域(阴影部份)面积的最大值是

B.一兀

2

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=〃%2一2。%+2(«＜0)交元轴正半轴于点A,交V轴于点3,线

段3cLy轴交此抛物线于点D,且贝以ABC的面积是()

4.如图，在AABC中，/B=90°,AB=4cm,BC-8cm.动点尸从点A出发，沿边AB向点3以Icm/s的

速度移动（不与点B重合），同时动点。从点8出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）.当

四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（）

A.IsB.2sC.3sD.4s

5.一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x>°）厘米，则面积随之增加>平方厘米，那么y与左

之间满足的函数关系是（）

A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数

6.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4有，。为边AC上一动点（C点除外），把线段3D绕着点。沿

着顺时针的方向旋转90。至DE,连接CE,则ACDE面积的最大值为（）

A.16B.8C.32D.10

7.如图，矩形ABCD的长AB=OC=a,宽AD=BC=b,且。＞36.分别在边A3,3C,OC,AD上取点E,

F,G,H,使得AE=CF=CG=AH,则四边形EFGH的面积最大值为（）

a+bB-C-D.…2

A.

4

8.如图，矩形ABC。中，AB=8AD=4,E为边BC上一个动点，连接AE,取BE的中点G,点G绕点

E顺时针旋转90。得到点尸，连接CF,面积的最小值是（）

A.15B.16C.14D.12

9.如果矩形的周长是16,则该矩形面积的最大值为（）

A.8B.15C.16D.64

10.如图（1）,在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，

过点E作EFLAE,交CD于点F.设点E运动的路程为x,FC=y（当点A,E重合时，点D,F重合；当

点C,E重合时，不妨设y=0）,y与x的函数关系的大致图象如图（2）.当点E在BC上运动时，FC的最

大长度是1,则正方形ABCD的面积是（）

二、填空题

11.如图，在AABC,4c=45。，NACB=60。，8c=4有-4,。是BC边上异于点B,C的一动点,

将△"£＞沿A8翻折得到△ABE,将△ACD沿AC翻折得到AACF,连接所，则四边形EBCF面积的最大

值是.

12.如图，正方形ABCD的边长为4,E、F、G、X分别是边A3、BC、CD、D4上的动点，J.AE=BF=

CG=DH.则四边形跖G8面积的最小值为一.

13.如图，要在夹角为30。的两条小路OA与02形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和02上

取点尸和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）.若0P和。。两段篱笆的总长为8米,

则当。尸=米时，该花坛尸。。的面积最大.

14.如图，正方形ABC。的边长为2,E为边上一动点，连接BE,CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG.

（1）若BE=5则正方形CEFG的面积为.

（2）连接DG,则ADFG面积的最小值为

15.如图，四边形ABCQ是边长为a的正方形，点E是边BC上一动点(不与点2,C重合)，ZAEF=90°,

且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交。于点G,连接AF.有下列结论:①AE=砂;®CF=应BE;

③NDAF3E；④AC所面积的最大值为其中正确的是一.(把正确结论的序号都填上)

三、解答题

16.如图抛物线>=尤2+法+。经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点

为C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求△ABC的面积.

17.在平面直角坐标系尤0y中，已知抛物线

(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；

(2)抛物线与无轴只有一个公共点，经过点(0,2)的直线>=依+"(%<0)与抛物线交于点A,8(点A在点8

的左侧)，与x轴交于点C.

①判断AAOB的形状，并说明理由；

②已知网2,0),G(4,0),当点C在线段EG上时，求AAOB的面积的取值范围.

18.如图，在平面直角坐标系宜刀中，已知抛物线工渡+灰+c与x轴交于A(-3,0),3(1,0)两点，与y轴

交于点C(0,3),连接AC,点P为第二象限抛物线上的动点.

(1)求。、b、c的值；

(2)连接上4、PC、AC,求aR4c面积的最大值；

(3)过p作尸QLAC,垂足为。，是否存在这样的点P、Q,使得ACPQ与ACS。相似，若存在，请写出

所有符合条件的尸点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由.

19.如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-6,0),点B的坐标是(4,0).等腰RtABOC的顶点C在y轴

正半轴.

(1)求直线AC的解析式;

(2)如图2,点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于,轴，连接BE,

求面积取得最大值，并求出此时E的坐标;

(3)在第(2)问ABDE面积取得最大值条件下，如图3,将A40c绕点。顺时针旋转得到△点G恰

好落在直线DE上，将4A。。沿着直线AC平移得到4ACC2,平移过程中是否存在某一时刻，使得△

4。2c是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点仪的坐标；若不存在，说明理由.

13

20.抛物线乙：〉=5尤2-5尤-2与x轴交于A3,与y交于c.

(1)求A,B,C三点坐标，并直接写出AABC的面积；

(2)将抛物线L绕平面内一点旋转180。，得到，，点B的对应点为E,点C对应点为B，是否存在抛物线

L',使得以用CE，尸为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为AMC面积的4倍?若存在，求出//的表达式,

若不存在请说明理由.

21.如图1,已知抛物线y=-x2-2x+c与x轴交于A,8两点，且AB=4.

(1)求c的值及抛物线顶点C的坐标；

(2)设点D是x轴上一点，当cos(ZCAO+ZCDO)^时，求点。的坐标；

17

(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段9交8E于点交y

轴于点N,设△A3尸和△AEN的面积分别为根、n,求根+w的最大值.

22.如图，已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=or2+bx+c上.

(1)求抛物线解析式；

(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P,求4PBC面积的最大值及此时点P的坐标.

(3)在对称轴上求一点使得最大；

(4)在无轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点。，使N2QC=N2AC?若存在，求出。点坐标；若

不存在.说明理由.

23.已知二次函数y=2(x-1》的图象如图所示，求AAB。的面积.

专题27二次函数中的面积问题

考点一、二次函数中的面积问题

解决此类问题时,一般根据图形的性质，找自变量与该图形面积之间的关系,从而确定二次函数的表达式，再根

据题意和二次函数的性质解答即可.

专项训练

一、单选题

1.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出

的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p="+：+。,则其面积5=Jp(p-a)(p-6)(p-c).这

个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()

A.75B.4C.2A/5D.5

【答案】C

【分析】

由已知可得a+6=6,S=j5(5-a)(5—b)，把6=6-a代入S的表达式中得：

S3J-/+64—5,由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值・

【详解】

・；p=5,c=4,p="立

2

a+b=2p-c=6

：.S=75(5-67)(5-Z>)(5-4)=石.Jab-5

由a+b=6,得b=6-a,代入上式，得：S=6Ja(6-a)-5=逐•+6a-5

设>=-/+65,当y=-/+6a-5取得最大值时，S也取得最大值

y=-a2+6a-5=-(tz-3)2+4

...当a=3时，y取得最大值4

•''S的最大值为逐*7?=2岔

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出。+6=6,把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题.

2.如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于A、8两点，点尸是线段A8上的一个动点，过点P作y轴的平行

线交直线＞=-尤+3于点°,△。尸。绕点。顺时针旋转45。，边尸。扫过区域(阴影部份)面积的最大值是

()

【答案】A

【分析】

根据题意得S阴影=S扇形00M-S扇形0Mv，设P(q,2-2〃)，则。(〃，3-〃)，利用扇形面积公式得到

S阴影=(-3a2+2a+5)?%,利用二次函数的性质求解即可.

【详解】

解：如图，

1、

根据旋转的性质，4PQ装OMN,

••口AOPQ一°AOMN，

贝US阴影=S扇形0QM+SQMN_SQPQ

扇形OBV

二S扇形02M-S扇形aw,

・・•点?在直线y=-2x+2上，点。在直线y=—x+3上，且尸Q〃y轴,

设P（〃，2-2〃），则。（。，3-〃），

JOP2=6?+（2-=54—8a+4,

0。2=4+（3_〃y=2。2-6〃+9,

S阴影—S扇形OQM-S扇形0尸N

_45乃？。。245%?。尸2

~360360

—(-34+2a+5)7i,

,几c2cLJ1丫16

y=-3ci+2〃+5-—316Z——I+,

V-3<0,

.・・当〃=；时，y有最大值，最大值为个，

S阴影的最大值为，x：»=|•".

□OJ

故选：A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=取2-2ax+2(a<0)交x轴正半轴于点A,交丁轴于点3,线

段轴交此抛物线于点。，且CD=；5C,贝!的面积是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】

由？="2-2"+2（a<0）可得点3坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点。坐标，再通过CZ）=gBC求

出2C长度，通过三角形面积=/x底x高求解.

【详解】

解：•••抛物线对称轴为直线产-三注=1,

2a

点2的坐标为（0,2）,

.•.点。的坐标为（2,2）,

BD=2-0=2,

,：CD=-BC,

3

：.CD=^BD=1,

；.BC=2+1=3.

ABC=?X3X2=3.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的

坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

4.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=4cm,BC=8cm.动点尸从点A出发，沿边AB向点5以lcm/s的

速度移动（不与点笈重合），同时动点。从点区出发，沿边3c向点C以2cm/s的速度移动（不与点。重合）.当

四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（）

A.1sB.2sC.3sD.4s

【答案】B

【分析】

根据图形得到S四边形APQC=SAA5C-S/8Q列出函数关系，再将函数关系化为顶点式，根据性质求出结果.

【详解】

解：设运动的时间为X秒(0Wx<4),四边形APQC的面积为y(c苏),

贝小AP=xl=x(cm),BQ=2x(cm),

・,.BP=AB-AP=(4-x)(cm),

==

•**JyS△/AIDBC—SPBO—2BC,AC---2--BQ,BP,

11

_y——x8x4——x2xx(4—x)—x?—4x+16=(x—2)?+12,

・・・Q=1>0,

二抛物线开口向上，y有最小值，

...当x=2时，，y有最小值，，最小值是12,

当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为2秒.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了根据点的运动问题列出函数关系式以及二次函数的性质，关键是根据图形明确四边形的面

积等于大三角形的面积减去小三角形的面积，列出函数关系.

5.一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>o)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与左

之间满足的函数关系是()

A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数

【答案】D

【分析】

根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题.

【详解】

解：由题意得，y=(2+x)2-22=x2+4x

与天之间满足的函数关系是二次函数，

故选：D.

【点睛】

本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

6.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4y/5,。为边AC上一动点(C点除外)，把线段3。绕着点。

沿着顺时针的方向旋转90。至OE,连接CE,则ACDE面积的最大值为（）

A.16B.8C.32D.10

【答案】B

【分析】

过点E作于P,作BHLAC于点H,由勾股定理可求A"=3,由旋转的

性质可求皮＞=。£,NBDE=90°,由A45可证ABDHvADEF,可得EF=DH,由三角形面积公式和二次

函数的性质可求解.

【详解】

解：如图，过点后作石尸工人。于作于点H,

NEFD=NBHD=90°,

VBH2=BC2-CH2,BH2=AB2-AH2,AB=AC=5,BC=4辨,

：.80-（5+AH）2=25-A"2,

：.AH=3,

：.CH=8,

V将线段BD绕D点顺时针旋转90。得到线段ED,

,BD=DE,ZBDE=90。，

ZBDF+ZEDF=9O5,且ZEDF+ZDEF=90°,

/.ZDEF=ZBDF,

在和△。跖中,

ZBDF=ZAEF

<NBHD=NEFD,

BD=DE

：.ABDH=ADEF(AAS),

EF=DH,

'：DH=CH-CD=8-CDf

：.EF=8-CD

iii

ACDEffi^R=-CZ)xEF=-xCr)x(8-C£))=--(Cr)-4)9-+8,

.•.当CD=4时，ACDE面积的最大值为8,

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线

构造全等三角形是本题的关键.

7.如图，矩形ABCD的长AB=OC=a,^AD=BC=b,且a>3b.分别在边A3,3C,DC,AD上取点E,

F,G,H,使得AE=CF=CG=AH,则四边形EFGH的面积最大值为()

【答案】C

【分析】

由已知可证明△AEHg△CGF(SAS),4BEF丝4DGH(SAS),设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面

积是S,分别求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四

边形EFGH的面积S,再根据二次函数的最值计算即可.

【详解】

解：设AE=CF=CG=A”=无，四边形EFGH的面积是S.

由题意，AE=CF=CG=AH,

:.丛AEH"CGF(SAS),

\'AB=CD,AD=BC,

：.BE=DG,HD=BF,

:.△BEFWDGH(SAS),

：.BE=DG=a-x,BF=DH=b-x,则

SAAHE=SACGF—~9S△DGH=S△BEF=5(U-X)(b-X)y

所以四边形EFGH的面积为：

S=S矩AB8-2S』AEH-2SABEF

=tz/?-2x^-x2-2x^-Qa-x)(b-x)

-ab-y?-(ab-ax-bx+x2)

=-2x2+(a+b)x,

白丫_"如#c_(a+b)2

48

故选：C.

【点睛】

本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解

题的关键.

8.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为边BC上一个动点，连接AE,取BE的中点G,点G绕点

E顺时针旋转90。得到点/，连接CF,面积的最小值是()

A.15B.16C.14D.12

【答案】A

【分析】

过点尸作A。的垂线交4。的延长线于点”，则△FE”S2\ER4,设AE=X,可得出△CEF面积与x的函数

关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.

【详解】

解：解：过点方作AO的垂线交AO的延长线于点”,

VZA=Z/f=90°,ZFEB=90°,

：.ZFEH=900-ZBEA=NEBA,

:・/\FEHs/\EBA,

・・・G是EB的中点，

EG=-EB,

2

点G绕点E顺时针旋转90。得到点F,

：.EF=EG=-EB,

2

.HFHEEF

,•AE-AB-BE-2'

设AE=x,

VAB=8,AD=4,

：.HF=^xfEH=^AB=4,DH=AE=x,

S^CEF=S梯形OCFH+SQCE-SAHEF

二;x(gx+8)・x+gx(4-x)x8-gx4x；%

=—x2~x+16

4

=-(x-2)2+15,

4

...当x=2时，△CEF面积的最小值是15.

故选：A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，通过构造K形图，建

立4CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键.

9.如果矩形的周长是16,则该矩形面积的最大值为()

A.8B.15C.16D.64

【答案】C

【分析】

首先根据矩形周长为16,设一条边长x,矩形面积为必可表示出另一边长为8-x,再根据矩形面积=长乂宽

列出函数解析式并配方即可得结论.

【详解】

解：：矩形周长为16,

.••设一条边长无，矩形面积为y,则另一边长为8-尤，

...y=（8-x）X=-N+8X=-（X-4）2+16,

.•.当尸4时，y有最大值是16.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长、宽.

10.如图（1）,在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，

过点E作EFJ_AE,交CD于点F.设点E运动的路程为x,FC=y（当点A,E重合时，点D,F重合；当

点C,E重合时，不妨设y=0）,y与x的函数关系的大致图象如图（2）.当点E在BC上运动时，FC的最

大长度是1,则正方形ABCD的面积是（）

【答案】C

【分析】

pcFC

易证AEFCS/EB,可得二二=二二，根据二次函数图象对称性可得E在8C中点时，CF

有最大值，列出方程式即可解题.

【详解】

解：如图，设当点E在5c上运动时(不与点心。重合),

・・•四边形ABC。是正方形

ZB=ZC=90°

*.*AE.LEF,

：.ZAEB+/FEC=90。

•：NEFC+NFEC=90。

：.ZEFC=ZAEB

：.^EFC^AEB,

.ECFC2a-xy

..--=--，Bn|Jn-----------=---------,

ABEBax-a

11

・・y——x9+3%—2a,—<0,

aa

33

x—---------------__Q

当2x1-J2时，y取得最大值，此时点E为BC的中点，y=l

,把(II)代入y=」X2+3X—2〃，得，

1<3Y3

—x—a+3x—a—2。=1

a)2

解得，a=4,

即AB=4,

故正方形ABC。的面积为4x4=16.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象

得出E为BC中点是解题的关键.

二、填空题

11.如图，在AABC,/S4c=45。，ZACB=60°,BC=46-4,。是BC边上异于点2,C的一动点，

将△ABD沿翻折得到△ABE,将从。。沿AC翻折得到AACF,连接砂，则四边形£BCF面积的最大

值是.

【答案】18-8括

【分析】

由折叠的性质可得五边形AEBCF的面积=2AABC的面积，则四边形EBCF面积=五边形AEBCF的面积一

△AE尸的面积，设AD=AE=AF=x,由面积公式可得四边形EBCF的面积=24-8g-；x2,由二次函数

的性质可求解.

【详解】

解：过点8作AC,垂足为M.

■.■ZACB=60°,BC=4石-4,

CM=—BC=2^3—2,BM=BC=6-2-\^,

ZBAC=45°,

：.AM=BM=6-26，

；.AC=CM+AM=4,

S.„=-AC-=12-473,

ZA\AoCr2

设AD=x,贝！］AE=AD=AF=x.

由翻折的性质可知：ZEAF=90°,S五边物班中=2SAABC=24-873,

-s--x2

…°AAEF_24'

QS四边形E8c尸=S五边形MBCF_SAAEF=24-8A/3~~X>

•••当X取最小值时，四边形£BCF的面积有最大值，

根据垂线段最短，当A£)1_8C时，AD最小，

此时，-BC-AD=12-473,

2

解得：AD=1236乂2=2也,

4V3-4

四边形£BCF面积的最大值为：24-84一：x(2道y=18-84，

故答案为：18-8若.

【点睛】

本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积公式，二次函数的性质，熟练运

用二次函数的性质求最值问题是本题的关键.

12.如图，正方形ABC。的边长为4,E、F、G、"分别是边A3、BC、CD、ZM上的动点，且AE=BF=

CG=DH.则四边形EEG8面积的最小值为一.

E

B

【答案】8

【分析】

由己知可证明△AHE%ABEF会4CFG乌ADGH(SAS),再证明四边形EFGH是正方形，设AE=x,则AH

=DG=BE=CF=4-x,在RtAEAX中，由勾股定理得£"=/+(4-x)2,所以S四边形£对旧=由=2(%

-2)2+8,可知当尤=2时，S四娜EFGH有最小值8,

【详解】

解：设AE=尤，则AE=BF=CG=£>8=x,

;正方形A8CD边长为4,

:.AH=DG=BE=CF=4-x,ZA^ZB=ZC=ZD=90°

:.AAHE<4BEF咨4CFGmADGtl(SAS),

AZAEH+ZBEF=9Q°,NEFB+/GFC=9Q。,NFGC+/HGD=90。,

：.ZHEF=ZEFG=ZFGH=90°,

,:EF=EH=HG=FG,

..•四边形EFG”是正方形，

在RtAEAH中,EH2=AE2+AH2,即即=9+(4-x)2,

.".SHii®EFGH—EH2=2x2-8x+16=2(X-2)2+8,

当X—2时，S四边形EFGH有最小值8,

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟

练掌握相关知识进行求解.

13.如图，要在夹角为30。的两条小路OA与02形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和02上

取点P和点。，并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若0P和。。两段篱笆的总长为8米,

则当。尸=米时，该花坛P0Q的面积最大.

【答案】4

【分析】

设。代x,则00=8/,过点尸作由30。角所对的直角边等于斜边的一半可得尸知=；无，根据三

角形面积公式可得面积关于。。的二次函数，配方后即可求解.

【详解】

解：设OP=x,贝UOQ=8-x,

过点尸作PM，。。,交。。于点如图，

ZAOB=30°

：.PM=-OP=-x

22

1111,1

229

/.5AAsc=-PM.O2=-X-X(8-X)=--X+2A=--(X-4)+4

V--<0

4

函数图象开口向下，有最大值，为4,

故当OP=4时，花坛POQ的面积最大.

故答案为：4.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键.

14.如图，正方形ABCD的边长为2,E为边AD上一动点，连接BE,CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG.

(1)若BE=后,则正方形CEFG的面积为.

(2)连接DG,贝UADFG面积的最小值为.

3

【答案】51

【分析】

(1)利用勾股定理求出EC2即可解决问题.

(2)连接。凡DG.设DE=x,则CE="2+T,根据SADEC+SA°FG=正方彩ECGF根据函数关系式，禾！］用

二次函数的性质求解即可.

【详解】

解：(1)•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD=2,ZA=ZADC=90°,

•/BE=>/5,

.•AE=JBE"—AB?=J5—4=1

：.DE=AD-AE=2-1=1,

：.EC1=DE1+CD2=l2+22=5,

正方形CEFG的面积=EG=5.

故答案为5.

(2)如图，设Z)E=x,则CE=7?+f

*S^DEC+S&DFG=]S正方形ECGF9

5ADFG="|(x2+4)_gxxx2=g尤2_x+2=g(x-l)-+；.

>0,

2

3

...当x=l时，△£>网的面积最小，且最小值为；.

2

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程

解决问题，属于中考常考题型.

15.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E是边3C上一动点（不与点8,C重合），ZAEF=9Q°,

且EF交正方形外角的平分线CT于点R交。于点G,连接Ak.有下列结论:①AE=£F；②CF=®BE;

③NDAF=NCFE；④△口/面积的最大值为.其中正确的是_____.（把正确结论的序号都填上）

4

AD

【答案】①②③

【分析】

①在A3边上截取连接ME,构造△居”,判断它与△£人?能否全等即可；②过点尸作尸NL3C

于M因为CF=^FN,所以只需判断7W能否与BE相等即可；③在（1）的基础上，结合三角形的外角加

以判断即可；④在①的基础上，设△£人?的面积为y,BE=x,建立y与x之间的函数关系，加以判断即可.

【详解】

解：①在A3边上截取3M=8打，连接ME,如图所示.

・・•四边形A5C。是正方形,

AZDAB=ZB=ZBCD=Z90°,AB=BC.

：.AM=EC.

CF是正方形ABCD的外角的平分线，

AZ1=45°.

：.ZECF=135°.

,:BM=BE,

.\Z2=45°.

・•・ZAME=135°.

・•・ZECF=ZAME.

,/ZAEF=90°,

/.ZAEB+Z3=90°.

ZAEB+Z4=90°,

AZ3=Z4.

Z4=N3

在/\AEM和△EFC中，＜AM=EC

NAME=NECF

：.AAME=AECF（ASA）.

：.AE=EF.

J结论①正确；

②过点F作FNLBC于N

N3=Z4

在AEFN和AAEB中，\NFNE=/B,

EF=AE

：.AEFN-AEB（AAS）.

；.FN=BE.

在RMCFN中,

VZ1=45°,

:./CFN=45。,FN=CN.

•*-CF=®FN.

•*-CF=42BE.

・,・结论②正确；

@VZAEF=90°,AE=EF,

：.ZEAF=45°.

:.Z4+Z5=90°-45°=45°.

VZ3+Z6=Z1=45°,Z3=Z4,

・・・N5=N6,^ZDAF=ZCFE.

；・结论③正确；

④设sACEF=y，BE=x,则s*EM=y-

•+S^BEM=S.AEB，

是关于x的二次函数，且y有最大值，

2

当时，y最大=三，

乙O

结论④错误.

综上可知：结论①②③正确.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点，根据已知条

件构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题

16.如图抛物线y=N+bx+c经过直线＞=x-3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点

为C

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求A/IBC的面积.

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)6

【分析】

(1)先利用一次函数解析式确定A、2的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线解析式；

(2)通过解方程x2-2x-3=0得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积.

【详解】

解：(1)当x=0时，y=x-3=-3,

则3(0,-3)；

当y=0时，x-3=0,解得x=3,

则A(3,0),

把A(3,0),B(0,-3)代入y=N+Z?x+c,

f9+3Z?+c=0\b=—2

得&，解得二，

[c=—3[c=—3

・・・抛物线的解析式为y=/-2%-3；

(2)当y=0时，x2-2x-3=0,

解得xi=-L%2=3,

贝！JC(-1,0),

**•SAABC=-^X-(3+1)x3=6.

【点睛】

考查了二次函数的性质以及抛物线与X轴的交点，属于基础题，有一定综合性，把求二次函数丁=办2+法+。

与X轴的交点坐标问题转化为解关于X的一元二次方程是解题的关键.

17.在平面直角坐标系尤Oy中，已知抛物线■尤2+版.

(1)求抛物线顶点。的坐标(用含b的代数式表示)；

(2)抛物线与无轴只有一个公共点，经过点(0,2)的直线y=fcr+w(M0)与抛物线交于点A,2(点A在点2

的左侧)，与x轴交于点C.

①判断AAOB的形状，并说明理由；

②已知网2,0),G(4,0),当点C在线段EG上时，求AAOB的面积的取值范围.

【答案】(1)。卜°，一(2)①直角三角形，理由见解析；②后MS.AOBCE

【分析】

(1)根据y=gf+6x=g(x+6)2-即可得出答案；

(2)①求出抛物线的表达式为y=gx2,联立二次函数和一次函数的表达式整理得到Y-2丘-4=0,证明

AADO^/\OEB,即可得出答案；②先求出点C的坐标，根据点C在线段BG上得出发的取值范围，再写

出AAOB的面积的表达式，即可得出答案.

【详解】

解：(1)：y=』/+6x=元+6)2-工//2,

222

.♦•抛物线顶点Q的坐标为。[-8-]

(2)：抛物线与x轴只有一个公共点,

AA=0,即。2=0,

Z?=0,

・・・抛物线的解析式为＞1、

・・•直线A5：、=丘+〃(左〈0)经过点(0,2),

・•・直线A3的解析式为丁=丘+2,

设A（X1,yi）,5（X2,>2）,（Xl<o<¥2）.

如解图，分别过点A,5作X轴的垂线，垂足分别为点O,E,

则AO=yi,OD=~xi,BE=yi,OE=xz,

y=kx+2

联立12‘得d—2kx—4=0,

y=­x

2

解得％=左_J/+4,x2=k++4，

玉+x^=2k,X]Qx?——4,

①△AOB是直角三角形，理由如下:

■:%=5石2,%=5X1'

1?

・'・%♦%=4=-%，%2，

,2t=』RMADOD

••J即一，

々%OEBE

:ZADO=ZBEO=90°,

：.△ADOs^OEB,

・•・ZAOD=ZOBE,

：.ZAOD+ZBOE=90°,

：.ZAOB=90°,

•••△AO5是直角三角形；

②♦・・直线AB的解析式为y=kx+2f

由题意得2V-•|w4,

•♦•由反比例函数的性质得TV上m一1，

2

+

又Sg0B=^AAOD^^BOD=^O£>-(-X1)+-1O£)X2=X2-X1,

•**S.oB=Z_F=k+J-+4—也—，左2+4)=2J/'+4,

2

:.-<k2<l

49

17

—Wk9+4V5,

4

当<Jr+4<亚,

•••岳<2正+4V2君即如VS^AOB<275.

【点睛】

本题考查的是二次函数的图像与性质与几何图形结合的综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形

综合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线>=加+法+<?与X轴交于A(_3,o),3(1,0)两点，与y轴

交于点C(0,3),连接AC,点P为第二象限抛物线上的动点.

(1)求。、b、c的值；

(2)连接上4、PC、AC,求aR4c面积的最大值；

(3)过p作尸QLAC,垂足为。，是否存在这样的点P、Q,使得ACPQ与ACS。相似，若存在，请写出

所有符合条件的尸点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)a=~l,b=-2,c=3；(2)段；(3)存在，(一了1［或卜见解析.

【分析】

(1)用待定系数法即可求得结果;

(2)过点尸作尸£〃》轴交直线AC于点E,先求出直线AC的解析式，设点尸的坐标，则可得到点E的坐

标，根据SKACMSAME+SAPCE即可得到一个二次函数，求这个二次函数的最大值即可;

(3)过点。作QNA轴于N,过点P作PMLNQ,交NQ的延长线于M,分两种情况讨论；由ACPQ与ACBO

PQPMQMPQ

相似，得出万刁的值，易证△则可求得不万的比值，设点。(q,q+3),进而可

得出点尸的坐标，将点尸的坐标代入抛物线解析式求得与的值，从而可得点尸的坐标.

【详解】

(1)由题意知，抛物线过A、B、C三点，把这三点坐标分别代入y=。%2+云+。中,

9a-3b+c=Q

得：＜a+b+c=0

c=3

解方程组得:力=-2

c=3

a=­1,b=­2,c=3；

(2)如图，过点尸作PE〃y轴交直线AC于点E

・・・尸点在第二象限的抛物线上,

设P(m,-m2-2m+3),其中m<0

设直线AC的解析式为广丘+〃，其中存0

—3k+〃=0

把点A、C的坐标分别代入y=kx+n中,得:

n=3

k=l

解得:

n=3

所以直线AC的解析式为yr+3

・・・PE〃丁轴，且点E在直线y=x+3上

点E的坐标为O，m+3)

PE=—m2—2m+3—(m+3)=-m2-3m

S△尸AC=S△尸题+SMCE

=；PE・(%E~XE)

=；PE・(2-/)

=-PE.OA

2

VA(-3,0)

：.OA=3

2

S=g(—3m2—3m)x3=(〃/+3m)=|27

APAC*I+T

J当相=—33时，有最大值，且最大值为2?7;

2o

(3)过点。作QVJ_y轴于N,过点P作尸MLNQ,交N。的延长线于M,如图

VB(1,0),C(0,3)

：.OB=19OC=3

①若△CPQsACBO

.PQ=OB=1

**ce-oc-3

VPQ1AC,PMLNQ

：.ZPQM+ZCQN=90°,ZPQM+ZQPM=90°

：.ZCQN=ZQPM

•・・QN，y轴

・・・ZQNC=ZM=90°

:APQMS&QCN

.PM_QM_PQ_1

**eKF-GV-ce-3

设点。@夕+3),则M0,q+3)

0N=q+3,QN=­q

：.CN=OC~0N=3~(q+3)=—q

.PMQMPQ_\

-q-qCQ3

・・.PM=QM=~q

MN=QN+QM=一夕+讨小-3

・••点P的纵坐标为4+3+]—！4]=!^+3

...哈%%+3)

•••点P在抛物线上

.(4Y42

I_2*耳4+3=§.+3

解得：4=与

O

②若△CPQs^BCO

.”=空=3

,*CQ0B

9：PQ±AC,PMLNQ

：.ZPQM+ZCQN=90°,ZPQM+ZQPM=90°

：.ZCQN=ZQPM

・・・。人^_》轴

・・・ZQNC=ZM=90°

：./\PQM^/\QCN

PM二QM=PQ.

~QN~~CN~~CQ~

设点。(夕，q+3),则N(0,q+3)

0N=q+3,QN=­q

：.CN=OC—ON=3——q

.PM_QM_PQ_Q

,•三二=二&=

PM=QM=—3q

：.MN=QN+QM=-q+(-3^)=-4q

点P的纵坐标为q+3+(-3q)=-2q+3

P(4%-2q+3)

•••点尸在抛物线上

••—(4q)—2x4q+3=—2q+3

3

解得：

O

315

P

2'T

综上所述，满足条件的点P的坐标为

【点睛】

本题是二次函数的综合问题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形面积的计算方法，相似三

角形的判定与性质，关键是作辅助线构造出三角形相似，此题还涉及分类讨论.

19.如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-6,0),点B的坐标是(4,0).等腰RtABOC的顶点C在V轴

正半轴.

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图2,点。为线段3c上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于>轴，连接BE,

求面积取得最大值，并求出此时E的坐标；

(3)