浙江杭州2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市九年级上学期期末模拟试卷

选择题（共10小题，共30分，每题3分）

1.如果两个相似三角形对应边的比为1:4,那么它们的周长比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

2.下列事件是不可能事件的是（）

A.买一张电影票，座位号是奇数

B.从一个只装有红球的袋子里摸出白球

C.三角形两边之和大于第三边

D.明天会下雨

3.如图，在△ABC中，点。、E、方分别在边A3、AC.BC±,&ZAED=ZB,再将下列四个选项

中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和^BDF相似的是（)

EAEDADAEnBDBA

B.C.D.----=-----

BDBFBFBDBDBFBFBC

4.如图，△A5C中，=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转a（0。<a<45。）得到△AOE1,DE交AC

于点尸.当a=30。时，点。恰好落在上，则所=（）

90°C.85°D.95°

5.如图，四边形ABC。内接于口O,若NC=140。，则ZBO。的度数为（）

B.80°C.140°D.160°

第1页（共21页）

如图，在中，、分别是边、上的点，且若

6.AABCDE42BCZJE//AC,BE:CE=1:3,0!]LXSLJ.Un口nF:ZAS/AC.zAVnr

的值为()

7.平行于无轴的直线与抛物线y=a（x-l）2的一个交点坐标为（-1,2）,则另一个交点坐标是（）

A.（3,2）B.（1,2）C.（1,-2）D.（-1,1）

8.已知点P是线段的黄金分割点（AP〉8P）,若A3=2,则4/1为（）

A.V5+1B.V5-1C.D.3-V5

2

9.已知抛物线y=af+bx+4（a,b是常数,awO),过点A(-3MI,0),B(m,0),C(n,4),若-4<〃<一2,

则机的取值范围是（）

A.—2<m<—1B.l<m<2.C.nr<1或〃z>2D.m<-2

10.在平面直角坐标系中，设函数y=尔+（a-l）x-l（a是常数，"0）.

①无论°取何值，该函数图象必定经过两个定点.

②如果在-l<x<0时，始终有y随x的增大而减小，则且awO.

则（）

A.①正确，②正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①错误，②错误

二.填空题（共6小题，共18分，每题3分）

11.已知9=工，则—的值为_.

b2a+b

12.抛物线y=（x-2）2-3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为—.

13.已知圆心角为60。的扇形的弧长为万，则扇形的半径为一.

14.抛物线y=2尤②-4尤上三点分别为（-3,%）,（0,必），（3^3），则%，为，%的大小关系为__（用”>

号连接）

第2页（共21页）

15.如图，将AABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到A4ZJE,当点。在BC边上时，恰好有AEV/BC,

若NC=40。，则NB=.

16.如图，点E是正方形ABC。边BC上一点，连接AE.将AA8E绕着点A逆时针旋转到AAFG的位置

（点尸在正方形ABCD内部），连接£>G.若A8=10,BE=6,DG//AF,则C"=.

三.解答题（共8小题，72分，17,18题6分，19、20题8分，21、22题10分，23、24题12分）

17.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.

（1）用尺规作出该轮的圆心O,并保留作图痕迹；

（2）若AABC是等腰三角形，设底边BC=8,腰AB=5,求该轮的半径R.

18.2022年世界杯在卡塔尔举办.赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、8组、C组、。组、

E组、尸组、G组和H组），每4支队伍一组.每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级

十六强.

（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）.

（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状

图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率.

第3页（共21页）

19.如图，在AABC中，。是AB边上的点，已知/A£>C=/ACB.

(1)求证：AADC^AACB；

q

(2)若AZ)=2,AC=3,求^^的值.

20.二次函数y=a(x+l『+4的图象与无轴交于A,8两点，其中A点坐标为(-3,0).

(1)求点2的坐标和。的值；

(2)当y>0时，直接写出x的取值范围.

21.某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满.市场调查表明，当房价在150~225元

之间(含150元，225元)浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间.如果不考虑其它因素，宾

馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？

22.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，尸为。C延长线上一点，AP分别交8c于点N.

(1)证明：AM2=MN-MP；

第4页(共21页)

23.在平面直角坐标系中，设二次函数y=♦+bx+2(a,6是常数，"0).

(1)若a=l,当x=-l时，y=4,求y的函数表达式.

(2)写出一组a,6的值，使函数丫=亦2+云+2的图象与了轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标.

(3)已知，二次函数y=加+Z?x+2的图象和直线y=ar+46都经过点(2,加)，求证：cr+b2^-^.

24.如图，A4BC内接于口0,ZABC>90°,AABC的外角NEAC的平分线交□O于点。，连接。8,DC,

DB交AC于点F.

(1)求证：ADBC是等腰三角形.

(2)若DA=DF.

①求证：BC2=DCBF.

②若□。的半径为5,BC=6,求皿工的值.

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2024-2025学年浙江省杭州市九年级上学期期末模拟试卷

答案解析

一.选择题（共10小题，共30分，每题3分）

题号12345678910

答案BBCBBDABBA

1.如果两个相似三角形对应边的比为1:4,那么它们的周长比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【解析】直接利用相似三角形的性质得出答案.

【解答】解：•••两个相似三角形对应边的比为1:4,

它们的周长比是：1:4.

故选：B.

2.下列事件是不可能事件的是（）

A.买一张电影票，座位号是奇数

B.从一个只装有红球的袋子里摸出白球

C.三角形两边之和大于第三边

D.明天会下雨

【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A错误；

2、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故2正确；

C、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故C错误；

D、明天会下雨是随机事件，故。错误；

故选：B.

3.如图，在△ABC中，点。、E、尸分别在边AB、AC、BC上，MZAED=ZB,再将下列四个选项

中的一个作为条件，不一定能使得和相似的是（）

RF

第6页（共21页）

AEAEDnEAEDADAE八BDBA

A.——=——B.——=——C.=——D.——二——.

BDBFBFBDBDBFBFBC

【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

PA

【解答】解：A、­/ZAED=ZB,——二——，:.△ADES&BDF,正确；

BDBF

FAFD

B、,•NAED=NB,——=——,/.△△BDF,正确；

BFBD

4DAF

C、:NAED=NB,—=—,不是夹角，.•.不能得出△,错误；

BDBF

D、•;NAED=NB,—=—,△ABC^△BDF,■：ZA=ZA,NB=NAED,△AEDs△ABC,

BFBC

△ADE^△BDF,正确；

故选：C.

4.如图，△ABC中，ABAC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转e(0。<c<45。)得到△ADE,DE交AC

于点F.当a=30。时，点。恰好落在BC上，则NABE=()

【解析】由旋转的性质可得ZR4c=ND4E,ZBAD=ZCAE=30°,AB=AD,ZC=ZE,由等腰三角形

的性质可求NB=75。，由三角形内角和定理可求解.

【解答】解：•.・将△A5C逆时针旋转矶0。<0<45。）,得到△&£>£1,

/.ABAC=ZDAE,ZBAD=ZCAE=30°,AB=AD,NC=NE,

ZB=75°,

/.ZC=ZE=60°,

/.NAFE=180。—60°-30°=90°,

故选：B.

5.如图，四边形A5CD内接于口。，若NC=140。，则N8O。的度数为（）

6A4B

第7页（共21页）

A.40°B.80°C.140°D.160°

【解析】根据圆内接四边形的性质求出/A的度数，根据圆周角定理解答.

【解答】解：•.•四边形ABC。是□。的内接四边形，

:.ZA+ZC=180°,

•••ZC=140°,

ZA=40°,

由圆周角定理得，ZBOD=2ZA=80°,

故选：B.

6.如图，在AABC中，D、E分别是边A3、BC上的点，且DE//AC,若BE:CE=1:3,S.nnF:S.Anr

的值为()

【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.

【解答】解：•.•BB:CE=1:3,

BE:BC=1:4,

-DE//AC,

:.ABDEs\ABC,AD0£SAA0C,

DEBE_I

…耘一拓一"

^\DOE*$l\AOC的值为TT，

1O

故选：D.

7.平行于x轴的直线与抛物线y=-1)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标是()

A.(3,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,1)

【解析】先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得.

【解答】解：•.・抛物线y=〃(x-Ip可知对称轴为直线％=1,

第8页(共21页)

.•.点(-1,2)关于对称轴的对称点为(3,2),

平行于无轴的直线与抛物线y=a(x-1)?的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标是(3,2),

故选：A.

8.已知点尸是线段A3的黄金分割点(AP〉BP),若A3=2,则42为()

A.V5+1B.A/5-1C.D.3-V5

2

【解析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以公尸=息口43,代入数据即可得出AP的

2

长度.

【解答】解：由于尸为线段A3=2的黄金分割点,

且AP〉5P,

则AP=^^a=^^x2=G—l.

22

故选：B.

9.已知抛物线y=以？+6尤+4(。,6是常数,awO),过点A(-3MJ,O),B(m,0),C(〃,4),若-4<〃<-2,

则机的取值范围是()

A.—2<m<—1B.l<m<2C.«J<1或〃z>2D.m<—2

【解析】根据所给点的坐标，结合抛物线的对称性即可解决问题.

【解答】解：由题知，

将x=0代入抛物线解析式得，

y=4,

所以抛物线经过点(0,4).

又因为点C(〃,4)在抛物线上，

则点(0,4)和点(a4)关于抛物线的对称轴对称.

同理可得，A,2两点关于抛物线的对称轴对称,

0+n—3m+m

所以----=--------,

22

则n=-2m.

又因为-4<〃<-2,

第9页(共21页)

所以—4<—2根<—2,

解得\<m<2.

故选：B.

10.在平面直角坐标系中，设函数y=加+(〃一1k一1(〃是常数，〃工0).

①无论，取何值，该函数图象必定经过两个定点.

②如果在-l<x<0时，始终有y随工的增大而减小，则-1《服1且

则()

A.①正确，②正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①错误，②错误

【解析】①把二次函数关系式y=ax2+(〃一1)九一1化为y=ax2+(〃一1)1一1=ax(x+1)-(x+1)=(x+V)(ax-1),

可以判断两个定点；

②分两种情况讨论，顶点关于，的不等式，解不等式即可求得.

【解答】解：®vy=ax2+(tz-l)x-1=ax(x+1)-(x+1)=(x+V)(ax-1),当％=—1时，y=0,当犬=0时，

>=-1,.,.无论〃取何值，该函数图象必过两定点(-1,0),(0,-1),故①正确；

②函数丁=渥+(〃_1)冗_1(〃是常数，〃。0)的对称轴为直线％=一^一-=,

2a22a

当。〉0时，如果在-l<x<0时，始终有y随工的增大而减小，

则---1-----20，解得，

22a

：.0<,

当〃<0时，如果在-l<x<0时，始终有y随工的增大而减小，

则---1<—1,解得—1,

22a

厂.—<0,

综上，如果在-l<x<0时，始终有y随尤的增大而减小，则-长破1且故②正确；

故选：A.

二.填空题(共6小题，共18分，每题3分)

11.已知9=工，则—的值为1.

b2a+b-3一

【解析】依据比例的性质，即可得到2〃=。，代入分式化简求值即可.

【解答】解：♦一」，

b2

/.2a-b,

第10页(共21页)

aaal

-----------————,

a+ba+2a3a3

故答案为：

3

12.抛物线y=(x-2)2-3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为

y=d)2_]_.

【解析】直接根据函数图象平移的法则解答即可.

【解答】解：抛物线〉=(尤-2)2-3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为

J=(X-2+1)2-3+2,BPy=(x-l)2-l.

故答案为：j=(x-l)2-l.

13.已知圆心角为60。的扇形的弧长为万，则扇形的半径为3.

【解析】设扇形的半径为R,根据弧长公式和已知条件得出则4=%，再求出答案即可.

180

【解答】解：设扇形的半径为R,

,圆心角为60。的扇形的弧长为万，

60兀R

------=兀,

180

解得：R=3,

二.扇形的半径为3,

故答案为：3.

14.抛物线y=2丁-4x上三点分别为(-3,%)，(0,y2),(3,y3),则％,y2,%的大小关系为—M%

(用“>”号连接)

【解析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x=l,根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来

比较函数值的大小.

【解答】解：•.•y=2(尤-1)2-2,

.•・抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=l,

•.■点4-3,%)到对称轴距离最远，点(0»2)到对称轴的距离最近，

故答案为：yt>y3>y2.

第11页(共21页)

15.如图，将AABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到A4ZJE,当点。在BC边上时，恰好有AE//BC,

若NC=40。，则NB=_70。

【解析】由旋转可知，NB=NADE,AB=AD,NC=NE=40。，可得N8=N4O8=NAOE,利用A£7/BC,

可得N£DC=/E=40。，再利用平角求解即可.

【解答】解：由旋转可知：NB=NADE,AB=AD,NC=NE=40。

则：/B=NADB=NADE,

■：AE//BC,

NEDC=ZE=40°,

1800-40°

ZB=NADB=NADE=--------=70°,

2

故答案为：70°.

16.如图，点E是正方形ABC。边8c上一点，连接AE.将AABE绕着点A逆时针旋转到AABG的位置

（点P在正方形A8CO内部），连接DG.若AB=10,BE=6,DG//AF,则=—

一3

［解析］由“也”可证RtAAFH=RtAADH，可得，由“AAS”可证NDHG=\FHN，可得HG=HN,

可得N£）=/G=6,由勾股定理可求AP,FN,DH,即可求解.

【解答】解：如图，连接过点尸作于点N,FPJLAO于点P,

将AABE绕着点A逆时针旋转到AAFG的位置,

AB^AF,ZABE=ZAFG=90°,BE=FG=6,

第12页（共21页）

AF=AD,

在RtAAFH和RtAADH中，

[AF=AD

[AH=AH'

/.RtAAFH=RtAADH(HL),

/.FH=DH,

•・•DG//AF,

/.ZAFG=ZDGF=90°,

在ADHG和AFHN中,

ZDGH=ZFNH=90°

<ZDHG=ZFHN,

DH=FH

ADHG=NFHN(AAS),

HG=HN,

DN=DH+HN=FH+HG=FG=6,

•/FNLCD,PFLAD,ZADC=90°,

.•.四边形尸rw/是矩形，

:.PD=FN,PF=DN=6,

AP=yjAF2-PF2=7100-36=8,

:.PD=2=FN,

FH2=HN2+FN2,

.-.DH2=(6-D//)2+4,

:.DH=—

3f

:.CH=DC-DH=—,

3

故答案为：—.

3

三.解答题(共8小题，72分，17,18题6分，19、20题8分，21、22题10分，23、24题12分)

17.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.

(1)用尺规作出该轮的圆心O,并保留作图痕迹；

第13页（共21页）

(2)若AABC是等腰三角形，设底边BC=8,腰AB=5,求该轮的半径R.

【解析】(1)如图所示：分别作弦和AC的垂直平分线交点。即为所求的圆心.

(2)设该轮的半径为R,在RtABOD中，利用勾股定理解决问题即可.

【解答】解：(1)如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点。即为所求的圆心;

(2)连接AO、BC相交于点。，连接OB,

8c=8,

BD=4,

AB=5,

AD-3,

设该轮的半径为R,在RtABOD中，OD=R-3,

R2=4?+(R-3也

解得：R=—,

6

，该轮的半径R为生.

6

18.2022年世界杯在卡塔尔举办.赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组(A组、8组、C组、。组、

E组、尸组、G组和H组)，每4支队伍一组.每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级

十六强.

(1)在抽签时，求甲队进入E组的概率(甲队进入各组的可能性相同).

(2)已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状

第14页(共21页)

图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率.

【解析】（1）共有8组，每4支队伍一组，由此即可求解;

（2）通过列树状图将赛程结果表示出来，再根据概率计算公式计算.

【解答】解：（1）为8组（A组、2组、C组、。组、E组、/组、G组和H组），每4支队伍一组,

.•.甲队进入E组的概率L即p（甲）=L

88

（2）赛程如下,

甲乙丙T

甲（乙，甲）（丙，甲）（T,甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）

T（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）

7

，尸（甲,乙）F

6

19.如图，在AA8C中，。是A3边上的点，已知/AOC=/AC8.

(1)求证：\ADC^\ACB；

q

(2)若AO=2,AC=3,求的值.

【解析】（1）由两组对角相等的两个三角形相似可证AAOCSAAC"；

（2）由相似三角形的性质可得处=生，可求的长，即可求解.

ACAB

【解答】（1）证明：・・,NAOC=NAC3,ZA=ZA,

:.AADC^AACB；

(2)解：vAADC^AACB,

ADAC

.AC-AB'

，2_3

,3-AB，

第15页（共21页）

.5AAeD_4n__2__4

2

20.二次函数y=a(x+iy+4的图象与x轴交于A,2两点，其中A点坐标为(-3,0).

(1)求点8的坐标和a的值；

(2)当y>0时，直接写出x的取值范围.

【解析】(1)根据二次函数的对称性即可求得8点坐标，再把B点坐标代入解析式可求出。的值；

(2)根据二次函数的性质结合函数图象可得结论.

【解答】解：(1)•.•二次函数的对称轴为直线x=-l,A点坐标为(-3,0),

.•.点2的坐标为(1,0),

把点2坐标代入y=a(尤+1)2+4得，4a+4=0,

解得a=-l;

(2)va<0,二次函数y=a(x+iy+4的图象与无轴交点为(-3,0)和(1,0),

.,.当y>0时，x的取值范围为-3<x<l.

21.某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满.市场调查表明，当房价在150~225元

之间(含150元，225元)浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间.如果不考虑其它因素，宾

馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？

【解析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y,建立y与x的关系式，

并通过二次函数求解最大值.

【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y.

由题意可得：

y=(150+25x)(240-20x)

=-500x2+3000x+36000

=-500(x-3)2+40500

当x=3时，y最大值=40500.

因此每间租金150+25x3=225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元.

22.如图，已知四边形ABC。是平行四边形，尸为。C延长线上一点，AP分别交8。，2C于点M,N.

(1)证明：AM2=MN-MP；

第16页(共21页)

(2)若A0=6,DC:CP=2:1,求5N的长.

【解析】(1)通过证明AADA/SAA®M,APDMsAABM,可得——=——=——，即可得结论;

MNBMAM

(2)通过证明APCNSAPOA,可得一=一,可求NC=2,即可求5N的长.

PDAD

【解答】证明：(1)•「AO//BC,

ZADM=ZNBM,ADAM=ZBNM,

AADM^ANBM,

,AMDM

,.MN-BM'

•・•ABI/DC,

ZP=ZBAM,ZMDP=/ABM,

bPDMs\ABM,

PMDM

-AM"BM'

AMPM

…~MN~~AM"

AM?=MN,MP；

(2)vADIIBC,

ZPCN=ZPDA,/P=/P,

NPCNSNPDA,

.PCNC

一而一而‘

DC:CP=2:1,

PCNC_1

…PD~AD~3f

又「AO=6,

二.NC=2,

二.BN=4.

23.在平面直角坐标系中，设二次函数y=以2+"+2（〃，人是常数，〃工0）.

（1）若〃=1,当％=-1时，y=4,求y的函数表达式.

第17页（共21页）

(2)写出一组a,6的值，使函数>=亦2+云+2的图象与*轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标.

(3)已知，二次函数>=公？+云+2的图象和直线y=ax+46都经过点(2,〃。，求证：

【解析】(1)把。=1代入二次函数的关系式，再把尤=-1,y=4代入求出6的值，进而确定二次函数的

关系式；

(2)令y=0,贝I]办2+"+2=0,当△=()时，求得户=8a,据此写出一组a,。的值，化成顶点式即可

求得顶点坐标；

(3)根据题意得至!!4a+2b+2=2a+46,整理得人=a+l,贝I]/+/=2/+2a+l=2(a+；)2+；,根据二

次函数的性质即可得到a2+b2^-.

2

【解答】(1)解：把a=l代入得，y=x1+bx+2,

•・•当兀=一1时，y=4,

.•.4=1—0+2,

/.b=—1,

，二次函数的关系式为y=f-x+2；

(2)解：令y=0,则依2+队+2=0,

当△=()时，则廿一8a=0,

b~=8a,

:.若a=2,b=4时，函数y=a/+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，

二.止匕时函数为y=2x2+4x+2=2(x+1)2,

此函数的顶点坐标为(-1,0);

(3)证明：•.•二次函数y=加+bx+2的图象和直线y