中考数学动点问题题型方法归纳

动点问题题型方法归纳

动态几何特点-一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好

一般与特殊的关系；分析过程中，特殊要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、

图形的特殊位置。)

动点问题始终是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角

形、

相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简洁介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、(2009年齐齐哈尔市)直线y=-；x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、。同

时从。点动身，同时到达A点，运动停止.点。沿线段沫I运动，速度为每

秒1个单I

位长度，点尸沿路途。-8-4运动.1.、

(1)干脆写出A、3两点的坐标；

(2)设点。的运动时间为f秒，△OP。的面积为S,求出S与1之间

的函数关系式；

(3)当S=g时，求出点P的坐标，并干脆写出以点。、P、。为顶点的平行四边形的

第四个顶点M的坐标.

解：1、A(8,0)B(0,6)

2、当0vtv3时，S=t2

当3vtv8时，S=3/8(8-t)t

提示：第(2)问按点P到拐点B全部时间分段分类;

第(3)问是分类探讨：已知三定点0、P、Q,探究第四点构成平行四边形时

按已知线段身份不同分类-一①OP为边、OQ为边，②0P为边、OQ为对角线,

③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，依据图形性质求顶点坐标。

2、(2。。9年衡阳市)

如图，AB是。。的直径，弦BC=2cm,

ZABC=60°.

(1)求OO的直径;

(2)若D是AB延长线上一点，连结CD,当BD长为多少时，CD与。。相切;

(3)若动点E以2cm/s的速度从A点动身沿着AB方向运动，同时动点F以lcm/s

速度从B点动身沿

方向运动，设运动时

B

为心)(0</<2),连结

EF,当送得施时，ABEF为矗”角形.图(3)

留意：第(3)问按直角位置分类探讨

3、(2009重庆泰江)如图，已知抛物线i(1)2+3石(a¥0)经过点4(-2,0),抛物

线的顶点为。，过。作射线过顶点。平行于左轴的直线交射线于点。，

8在x轴正半轴上，连结

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点尸从点。动身，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点尸运动

的时间为心).问当/为何值时，四边形D4OP分别为平行四边形？直角梯斗

形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,动点尸和动点。分别从点。和点8同时动身，分别以每秒1个长度

单位和2个长度单位的速度沿0C和8。运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随

之停止运动.设它们的运动的时间为〃s),连接PQ,当，为何值时，四边形3CPQ的

面积最小？并求出最小值和此时尸。的长.

留意：发觉并充分运用特殊角NDAB=60°

当aorQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

二、特殊四边形边上动点

4、(2009年吉林省)如图所示，菱形的边长为6厘米，々=60。.从初始时刻

起先，点P、。同时从4点动身，点尸以1厘米/秒的速度沿8的方向运动，

点。以2厘米/秒的速度沿A-的方向运动，当点。运动到。点时，P、Q

两点同时停止运动，设尸、。运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积

D______C

为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为。的三角形)，解\/A答下列

问题：工——\

(1)点尸、。从动身到相遇所用时间是秒；

(2)点尸、。从起先运动到停止的过程中，当△AP。是等边三角形时X的值是

秒；

(3)求y与％之间的函数关系式.

提示：第⑶问按点Q到拐点时间B、C全部时间分段分类；提示一-一高相等的两

个三角形面积比等于底边的比。

5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO

是菱形，点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,

AB边交y轴于点H.

(1)求直线AC的解析式;

(2)连接BM,如图2,动点P从点A动身，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速

度向终点C匀速运动，设aPME的面积为S(SHO),点P的运动时间为t秒，求S

与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，/MPB与/BCO互为余角，并求此时直线

留意：第(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类；

第(3)问发觉/MBC=90°,/BCO与NABM互余，画出点P运动过程中,

/MPB=/ABM的两种状况，求出t值。

利用OBLAC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(右，0),B(3V3,2),C(0,

2).动点D以每秒1个单位的速度从点。动身沿OC向终

点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A动身

沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,

连结DA、DF.设运动时间为t秒.

⑴求/ABC的度数；

⑵当t为何值时，ABIIDF;

⑶设四边形AEFD的面积为S.

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<26时，求m的取值范围(写出答案即可).

留意：发觉特殊性，DEII0A

(1)求NAOB的度数和线段0A的长；

(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；

(3)当a=百时，求t的值和此时直线PQ的解析式；

(4)当a为何值时，以。，P,Q,D为顶点的三角形与相像？当a为何值时,

以O,P,Q,D为顶点的三角形与AQ"不相像？请给出你的结论，并加以证明.

8、(。8黄冈)已知：如图，在直角梯形中，OC//AB,以。为原点建立平面直

角坐标系，AB,。三点的坐标分别为A(8,0),5(8,10),。(0,4),点。为线段的中点，

动点P从点。动身，以每秒1个单位的速度，沿折线。钻。的路途移动，移动的时间

为/秒.

(1)求直线的解析式；

(2)若动点尸在线段。1上移动，当/为何值时，四边形OP。。的面积是梯形CQ4B面

积的;？

(3)动点P从点。动身，沿折线。钻。的路途移动过程中，设尸。的面积为S,请

干脆写出S与/的函数关系式，并指出自变量f的取值范围；

(4)当动点尸在线段上移动时，能否在线段QA上找到一点。，使四边形CQPD为

矩形？恳求出此时动点尸的坐标；若不能，请说明理由.

9、（。9年黄冈市）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛

14

物线y=77尤2-工％-10与X轴的交点为点A,与y轴的

交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线

于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点

同时动身，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点

A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移

动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE//OA,

交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t（单位:秒）

⑴求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

⑵当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程；

⑶当ovtv：O时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值，若不是，请说明理

由；

⑷当t为何值时,aPQF为等腰三角形?请写出解答过程.

提示：第（3）问用相像比的代换，

得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类探讨

①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数丁=以2+法+。（。70）的图象与x轴交于4B

两点，与y轴相交于点C.连结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0，G),

且当x=T和无=2时二次函数的函数值y相等.

(1)求实数a,b,c的值；

(2)若点/、N同时从8点动身，均以每秒1个单位长度的速度分别沿343C边运

动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为f秒时，连结M7V,

将沿政V翻折，B点恰好落在AC边上的尸处，求f的值和点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点。，使得以BN,Q为

项点的三角形与△ABC相像？假如存在，恳求出点。的坐标；假T如不存在,

提示：第(2)问发觉

特殊角/CAB=30°,ZCBA=60°

特殊图形四边形BNPM为菱形；

第⑶问留意到AABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与4ABC

相像的aBNQ,再推断是否在对称轴上。

9、(2009眉山)如图，已知直线y=gx+l与y轴交于点A,、/

与X轴交于点D,抛物线丁=^2+笈+。与直线交于A、E两\

点，与％轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)o------*

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使MCI的值最大，求出点M的坐标。

提示：第(2)问按直角位置分类探讨后画出图形一一①P为直角顶点AE为斜边时，

以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时，过点A作AE垂线

交x轴于点P,③E为直角顶点时，作法同②;

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

⑴当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的

函数图象如图②所示，请写出点Q起先运动时的坐标和点P运动速度；

⑵求正方形边长和顶点C的坐标；

⑶在（1）中当t为何值时，aorQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

⑷假如点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时，OP与PQ能

否相等，若能，写出全部符合条件的t的值；若不能，请说明理由.

留意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类探讨；求t值时，敏捷运用等

腰三角形“三线合一”。

11、（2。。9年北京市）如图，在平面直角坐标系xQy中，△ABC三个顶点的坐标分

别为

4（—6,0）,B（6,0）,C（0,4V3）,延长AC到点D,使CD=gAC,过点D作DE//AB交

BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=6+b

将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=6+b与y轴的交点动身，先沿y轴到达G

点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2

倍，试确定G点的位置，使P点依据上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简

述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心;

第（3）问，转化为点G到A的距离加G到（2）中直线的距离和最小；发觉

（2）中直线与x轴夹角为60°.见“最短路途问题”专题。

（1）当AD=2,且点。与点8重合时（如图2所示），求线段PC的长；

（2）在图8中，联结当前一，且点。在线段上时，设点8、0之间的距离为了,

9丝7,其中2"。表示AAPQ的面积，表示△P5c的面积，求y关于x的函数

SAPBC

解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD<AB,且点。在线段AB的延长线上时（如图3所示），求NQPC的大小.

留意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两

个位置变量的取值，然后再依据运动的特点确定满意条件的变量的取值范围。当

PCLBD时，点Q、B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。

第（3）问，敏捷运用SSA判定两三角形相像，即两个锐角三角形或两个钝角三

角形可用SSA来判定两个三角形相像；或者用同一法；或者证NBQP=/BCP,

得B、Q、C、P四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在Rt^ABC中，AB=AC,P是边AB（含端点）上的动点.过

P作BC的垂线PR,R为垂足，/PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存

在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC

上.

（1）aABC与aSBR是否相像，说明理由;

(2)请你探究线段TS与PA的长度之间的关系；

(3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时，请你探究正方形PTEF的面

积y的最小值和最大值.

B

S

CFAcFA

(第13题)(第13题)

提示：第(3)问，关键是找到并画出满意条件时最大、最小图形；当P运动到使T

与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围

类似。

14、(2009年河北)如图，在R3ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.点P从

点C动身沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立即以原来

的速度沿AC返回；点Q从点A动身沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运

动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP

于点E.点P、Q同时动身，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、

Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是;

(2)在点P从C向A运动的过程中，求aAPQ的面积S与t的函数关系式；(不必

写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求

t的值.若不能，请说明理由；

(4)当DE经过点C时，请干脆写出t的值.

提示：(3)按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种

成立的情形,

DE//QB,PQ//BC;

（4）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种

情形，

CQ=CP=AQ=t时，

QC=PC=6—t时.

15、（2009年包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（。工0）的图象经过点A（1,O）,3（2,0）,

C（0,-2）,直线x=（m>2）与x轴交于点D.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x=m（加>2）上有一点E（点E在第四象限），使得区D、8为顶点的

三角形与以4。、。为顶点的三角形相像，求E点坐标（用含隙的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点尸，使得四边形跖为平行四

边形？若存在，恳求出川的值和四边形跖的面积；若不存在，请说明理由.

提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类探讨，有两种情形；

第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF,

对第（2）问中两种情形分别探讨。

四、抛物线上动点

16、(2009年湖北十堰市)如图①，已知抛物线y=ax2+fcr+3(aw。)与x轴交于

点A(l,0)和点B(—3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P,使4CMP为等

腰三角形？若存在，请干脆写出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图②，若点E为其次象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE

面积的最大值，并求此时E点的坐标.

图①图②

留意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类探讨画图再由图形性质求点P坐标——①C

为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,

以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时，线段MC

的垂直平分线与对称轴交点即为所求点Po

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉和二次函数最值）；

方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉和简洁二元二次方程组），再求

面积。

17、（2。。9年黄石市）正方形ABC。在如图所示的平面直角坐标系中，4在x轴正半

轴上，。在y轴的负半轴上，交y轴正半轴于£,3c交x轴负半轴于E,OE=1,

抛物线y=af+6x—4过4D、F三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）。是抛物线上E间的一点，过。点作平行于8轴的直线交边AD于交BC

所在直线于N,若S四边形q2M=称/，则推断四边形的形态；

（3）在射线上是否存在动点尸，在射线上是否存在动点使得丹/且

AP=PH,若存在，请赐予严格证明，若不存在，请说明理由.

留意：第（2）问，发觉并利用好NM//FA且NM=FA;

第（3）问，将此问题分别出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类探讨,

先画出合适的图形，再证明。

近三年黄冈中考数学

“坐标几何题”（动点问题）分析

070809

动两个一个两个

点

个

数

问特殊菱形两特殊直抛物线中特

题边上移动角梯形殊直角梯形

背三边上底边上移动

景移动

考探究相像三探究三探究等腰三

查角形角形面角形

难积函数

点关系式

①菱形性质①求直①求抛物线

考②特殊角三线解析顶点坐标

角函数式②探究平行

点

③求直线、抛②四边四边形

物线解析式形面积③探究动三

④相像三角的表示角形面积是

形③动三定值

⑤不等式角形面④探究等腰

积函数三角形存在

④矩形性

性质

①菱形是含①视察①直角梯形

60°的特殊图形构是特殊的

菱形；造特征（一底角是

特

△A0B是底适当割45°)

角为3。°的补表示②点动带动

点等腰三角形。