云南省昆明市2024-2025学年高三年级上册12月大联考试题 数学试卷（含解析）

绝密★启用前

2025届高三12月大联考(新课标卷)

>rz/.、、九

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4=k6%[<5b5={-1,0,2,3),则AB=()

A.{-1,0}B.{0,2}C.[0,2,3}D.{-1,0,2}

2.已知复数4与z=2-4，在复平面内对应的点关于实轴对称，则二」=()

1—i

A.1+3iB.—1+3iC.3—iD.3+i

3.苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方根仓，圆筒根仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优

势明显，如图(1).某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图

(2).若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为2",则该圆锥的体积为()

A.'~万。^B.y/37rcPC.-'—3D.

33

4.已知且满足sin［方一。)=一］,则sin［a+W)=()

旦30472

A.B.-2―D.

To-5-I-

(4、

5.已知向量a=(x,2-x),b=y,—,贝U|a-切的最小值为()

[y)

A.1B.y[lC.2D.4

6.下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数占，都有/(%)+/(%)W2%+2%2”的

是()

A./(x)=x+sinxB./(x)=4x-x3C./(x)=21n(x+l)D./(x)-x\x\

7.已知函数/(x)=2sin(ox+9)10〉O,[9lW],若/(x)在区间(0,1)上单调，在x=l处取得最大值，

且g]+/(l)=0.将曲线y=/(x)向左平移1个单位长度，得到曲线y=g(x),则函数

丁=烟。)—/—；在区间[—3,3]上的零点个数为()

A.4B.5C.6D.7

Inx((

8.已知函数/(x)=——，a=/(/(4)),/(/(In3)),c=ffe2，则a,〃，c的大小关系

xI)

是()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()

A.数据5,8,10,12,13的第40百分位数是9

B.若随机变量X服从正态分布P(X<—2)=P(X>4)=0.14,则尸(―2<X<1)<0.35

C.20张彩票中只有2张能中奖，现从中一次性抽取几张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5,则〃

的最小值为6

D.已知数据为，x2,,4的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差

52<8

10.已知函数/。)=以3+3f一式。6即在》=。处取得极值，则下列说法正确的是()

A.若/(x)在(3/J+1)上单调递增，则实数f的取值范围是(-8,-2儿

63

B./(x)有3个零点

4

C./(x)在［—2,1］上的最小值为

D./(x+1)〉/［x一在R上恒成立

11.如图，已知圆C:(x—l)2+/=i,过原点。作射线0T交圆C于点A(异于。点)，交直线x=2于

点B(异于点A),再以。为圆心、线段A5的长为半径作圆与射线0T交于点记点M的轨迹为曲

线E.设|OM|=r,ZTOC=0,则下列说法正确的是()

A.曲线E上所有点的横坐标的取值范围是(0,2)

2sir?，

B.r=-------

cos<9

2

C.曲线E的方程为>2='

2-x

D.过点/且与OM垂直的直线必与抛物线V=-8x相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=(x+l)e，的图象在点(0,/(0))处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

2

13.甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为一，没有平局，各局比赛的结果互不影

3

响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为X,则尸(X=6)=

14.过双曲线2—］=1(。〉0］〉0)的左焦点E(—c,0)作x轴的垂线/,尸为/上一动点，已知

ab

M--,0,N—,0,若sin/MPN的最大值为J则双曲线的离心率为_____.

、cJ(cJ3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

2

记，ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知〃+c?-6=—反，3sinA=4cosB.

3

(1)求3；

(2)若ABC的周长为4夜+2,求ABC的面积.

16.(15分)

如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为《，心，点A，。为椭圆上两点(均位于x轴上方)，且满

足A£//“，一4耳工面积的最大值为2,椭圆的离心率小于;，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长

(2)求证：---7+----［为定值.

Mil%

17.(15分)

已知函数/(X)=21nx+(?-l)x2+1.

(1)若t=求证：/(%)<1；

(2)若feZ且/(%)+2田<0在(0,+oo)上恒成立，求f的最大值.

18.(17分)

如图，在三棱锥尸—ABC中，AP,平面ABC,D,M分别是5C,/有的中点，AP=AC=2,

AB=272,AD=®延长AD至点E,使得AE=2A£),连接ME.

B

(1)证明：ME±BC；

(2)求二面角5—AM—E的余弦值;

(3)若点N,。分别是直线AE,PC上的动点，求NQ的最小值.

19.(17分)

设数列｛4｝是一个无限数列，若对于一个给定的正整数左，不等式。,修+。,打＞2%对每一个大于左的正

整数〃都成立，则称｛4｝是左阶友好数列.

⑴若g="2+3〃+(—1)",证明：｛a,｝是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

⑵若｛a,｝是1阶友好数列，S.为数列｛叫的前几项和.

证明：①。“+2-4,+1＞一%；

②("+2)(4+a”+2)＞2S”+2.

2025届高三12月大联考（新课标卷）

数学•全解全析及评分标准

阅卷注意事项：

1.阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。

2.请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。

3.请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮重评。

4.成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。

5.解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。

6.解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不

能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第（1）问中

结果算错，使后面最终结果出错（过程列式正确），不宜重复扣分。

7.阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师

（或考试负责人），由其统一在技术QQ群里反馈问题并协助解决。

1234567891011

DBACBCAAACDBCABD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.D【解析】因为A={xeZ|%2<5}={xeZ|—7?<x<7?}={—2,—1,0,1,2},B={—1,。,2,3},所

以A5={—1,0,2}.故选D.

2.B【解析】因为％与z=2-4i在复平面内对应的点关于实轴对称，z=2-4i在复平面内对应的点为

（2,-4）,所以马在复平面内对应的点为（2,4）,所以％=2+4i,所以

4_2+4i(2+4i)(l+i)

=-l+3i.故选B.

1-i(I)(l+i)

3.A【解析】由题意，知该圆锥底面圆的半径为。，设该圆锥的母线长为/,高为//.由2»a=»得

l=2a,丸=耳，所以该圆锥的体积丫=」万".石。=1乃。3.故选人.

33

4.C【解析】因为（2e,所以9—ae.JZsin—,所以

7171.7171兀.71

sina-\——=sin~~a=sin—cos~~a-cos—sin~~a=2二名㈡L逑

In444252510

.故选c.

一.(4、

5.B【解析】设OP=a=(x,2—x),OQ=b=y-,得点。在直线y=2—x上运动，点。在函数

y=4的图象上运动.作出直线y=2—x与函数y=3的图象，如图，知当々=(1,1),匕=(2,2)时,

XX

\a-b\=A/2.故选B.

IImin

6.C【解析】对于A,令石=一〃，％2=一2»，则+-3»，2玉+2%2=-6»,不满足条

件，舍去；对于B,令玉=0,々=1，贝以(％)+/(々)=3,2%+2%=2,不满足条件，舍去；对于

C,因为〃x)=21n(x+l)«2x,所以/(%)+/(X2)«2石+2X2，满足条件；对于D,令玉=0,

々=3,则/(石)+/(%2)=9,2石+29=6,不满足条件，舍去.故选C.

7.A【解析】设函数/(龙)的最小正周期为T,由题意，得2=2=3=工，所以。=.乃.又

',222。。3

/(l)=2sin(0+o)=2sin[2〃+0]=2,所以2乃+。=工+2左乃(左eZ),0=2左"一二(左eZ).

又冏<-,所以夕=—三，f(x)=2

26、哈7

2TC

所以g(%)=/(%+1)=2sin+—=2sin-7ix-\——=2cos—TTX.

(32J3

求函数y=xg(x)—f：在区间[—3,3]上的零点个数,

当x=0时，y^O；

当xwO时，问题转化为求曲线y=g(x)与曲线y=x+°的交点个数.

当xe（0,3］时，取x=』，得g［，］=2cos--1,y=x+-=--\——=1,

2\2）34.x24xl

2

所以曲线y=g（x）与曲线y=x+2在区间（0,2）上有2个交点，区间［2,3］上无交点;

4%

3

当元£［—3,0）时，取1=—j,得g2cos（-yr）=-2,y=x+—=-->-2,

4%3

结合图象，知曲线y=g(x)与曲线y=x+—it［-3,0)上有2个交点,

所以函数y=烟3-必-；在区间［-3,3］上的零点个数为4.故选A.

8.A【解析】由函数〃*=电二，得当x>l时，f(x)=—,/'('=匕学，所以/(九)在(l,e)

XXX

上单调递增，在(e,+8)上单调递减，所以“可在(L+o。)上的最大值为/(e)=L

e

当0<x<l时，/(x)=—F，/(x)=@F，所以/(%)在(0,1)上单调递减.

又/(4)=等=殍=/(2),=l<ln3<|<^<2,

所以0</(ln3)</(J^)<〃2)=〃4)<L所以a<c</?.故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.ACD【解析】对于A,由5x40%=2,知数据5,8,10,12,13的第40百分位数为名型=9,故

2

1—2x014

A正确；对于B,由正态曲线的对称性，知〃=1,所以P(—2<X<1)=——1一=0.36>0.35,故

B错误；对于C,由1-2电>0.5,得(20—”)(19—")<190.又“为正整数，计算得九的最小值为

6,故C正确；对于D,易知新数据的平均数仍为6,由方差公式$2=—Zx；-元2,得

n2

22

10=-EX,-6,解得^X；=276,则新数据的方差$2=（（276+52+72）—62=曰＜8,故D正

确.故选ACD.

10.BC【解析】由/（X）=ax'-X,得/'（%）=3依2+X一1.由/&］=（）,得a=_1,经检

212

验，满足题意，所以/'（力=3%3+万工2—%,y（X）=2X+X-1=（2X-1）（X+1）,

所以“力在（―oo,—1）和上单调递增，在，1,；］上单调递减.

rf1

%+1＜—1,312—,、11

对于A,由'或12得，2或〈士，故A错误；

3，＜/+1小162

对于B,令/(x)=0,得X]=0,9=土巫;

£="‘I。',故B正确；对于C,结合/（X）

474

的单调性及〃-2）=-—,得当2,1］时，/（x）min故C正确；对于D,由

3

2。+,彳2_],得/(1)=2X13+,X12_]=L,

2326

313

3,所以/（i）〈/3

+—X,不满足/(x+l)>fx-|在

2O

R上恒成立，故D错误.故选BC.

H.ABD【解析】对于A,当射线与x轴非负半轴重合时，/点与原点重合，此时x“=0,但A,B

77"

两点不重合，所以等号取不到.当射线0T的倾斜角从0逐渐趋近于一时，M点位于直线尤=2左侧且无

2

限趋近于该直线，即尤加€（0,2）,故A正确；

r\。g•2/J

对于B,由题图，知|Q4|二2cos6,\OB\=-----,所以〃=|O3|—1。4|=------2cos6=,故

cos6cos0cos0

B正确；

对于C,设贝UsinO=2,cos0=—,代入r=空见0,得犷2=29.又产二炉十产，代

rrcos0

入整理，得）/=，，故C错误;

2-x

对于D,设河光。«0,2）,则①,

2—%

设过点M且与直线0M垂直的直线方程为y—%=—，（x—xo）,即y=—四（x—/）+为，

与V=_8x联立，得匚与+/+%=0,

8xn玛

-^x（2-x0）-xl

/一九0

结合①，得公=工_¥±区=已（2—2=0,

%o2%2XQ

所以过点/且与垂直的直线必与抛物线/=—8x相切，故D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.1【解析】由/（x）=（x+l）e、，得/'（x）=（x+2）e、，则/'（0）=2.

又/⑼=1,所以所求切线方程为y=2x+l.又切线与x轴、y轴分别交于点，g,o],（0,1）,所以

所求的三角形面积S=LxLxl=L.故填工.

2244

QA

13.—【解析】由题意，得若比赛局数为6,最终比分为4：2,则前两局双方各胜一局，第3,4局双

729

方各胜一局，最后两局甲全胜或乙全胜，

n/v62121r2丫/2121CY/80n/vG80

所以P（X=6）=—x—x—x—x|一|x4+—x—x—x—x—x4=，所以尸（X=6）=---.故填

、'3333UJ3333⑴729''729

80

729,

14.—【解析】由题意及（sin/MPN）=-,得（tanNMPN）.

2V'max3'/皿'5

2

h2

经计算，得四团=1，|八有|=匚一.设P（—c,y）,由对称性，不妨设y〉0,则

b-a2+c2

tanNMPF]=一，tanZNPFl=------

a2+c2b2

r\2

tanZMPN=tan(ZNPE-ZMPF.)=—~=------------<

、1"1J+cb,b2(a2+c2)r

1+---------°2—L--------L

cycyy

/2/c1,当且仅当y=处±U时等号成立,所以/=正,所以

2廊记引b^cr+c1,痴2或5

5/=4卜2—“2)6+/),即9a4=4c",解得/=(,所以e=^^.故填

说明：

1.第12题填0.25,也给5分.

2.第14题若填J”，不给分.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

2,

*22-PC

【解析】（1）由题意及余弦定理，得cosA=----------=匚=L（2分）

2bc2bc3

所以sinA=2《Z.（3分）

3

3

由3sinA=4cos5,得cosB=—sinA=——.（5分）

42

又5G（0,句，所以3=?.（6分）

272y/21V24+V2

（2）由（1）,得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB二-X+X—,

32326

分）

在a入An25/2A/24+-\/2

所以〃：Z?:c=smA:sin6:sinC=----:---:------.

326

又a+b+c=40+2,所以a=2夜，Z?=—,c=2+—,（11分）

22

所以ABC的面积S=Lq6sinC=2+正.（13分）

22

说明：第（1）问：

1.写出余弦定理给1分，写出（\«4=!给1分.

3

2.3分段指写出sinA=空.

3.5分段指写出cosB=

2

77"

4.6分段指写出3=—.

4

第⑵问:

4+后

1.8分段指写出sinC=——.

6

2.11分段指写出。=2直，6=逑，。=2+正.

22

IJ2

3.13分段指写出ABC的面积S=—a6sinC=2+

22

16.（15分）

4，。2+/=12,

—x2cxZ?=2,

【解析】（1）由题意，得《2（3分）

a2="+（?,

c1

2

a=A/5,

解得。=2,（4分）

c=L

所以椭圆的标准方程为土+乙=1.（5分）

54

（2）由（1）,知月（—1,0）,延长AF；交椭圆于点3,由A£//C8及对称性，知忸制=|C可，（6分）

所以1----T+।------r=1------\+----i=1—'~~—\•（7分）

函\CF2\〔AR忸周|A周忸周

当直线A3的斜率不存在时，易得耳卜忸耳|=上叵，则J+—=仓.（8分）

111111

5\CF2\2

当直线AB的斜率存在且不为零时，设其方程为y=/:（x+l）,

y=攵（%+1）,

由尤2y2得（5左2+4*+10左2尤+5左2—20=0,

一+—=t

I54

A=（10公丫-4（5P+4）伊2—20）=320（k2+i）>0,©分）

10左2

Xy+%2=一

542+4

设3（孙方）,根据根与系数的关系，得（10分）

542—20

（1042\24（5/一20）8A/5（1+F）/

刀=、，（]2分）

1542+4）5k~+45k~+4

\AF\\BF\=y/1+k2|%1+1|-J1+左2|々+1|=（1+左2）忖+%+玉々+1|=（13分）

i{L：）

8君（1+42）

11明542+4:芳

所以--1--.（14分）

16（1+42）—2

Ml\CF2\的||明|

5/+4

综上，T~—r+y――[■为定值（15分）

|M|\CF2\2

说明：

第（1）问：

1.3分段指列出关于a,6,C的方程组与不等关系.

2.4分段指求出〃，。，c的值.

3.5分段指写出椭圆的标准方程为三+乙=1.

54

第（2）问：

1.6分段指写出忸制=|。用.

1111

2.7分段指写出等式-----1-----二----1----I明

河\CF2\|明||%|

3.8分段指当直线AB的斜率不存在时，求出

Ml\CF2\2

4.9分段指当直线A3的斜率存在且不为零时，得至U（5公+4）尤2+io左2%+5左2—20=0,A>0.

10F

X,1+2=---S---X—+，

5.10分段指根据根与系数的关系写出1;匕十

5左2—20

6.6分段指写出|AB|=7i7引%一引.

8国1+左2)

7.12分段指写出|A8|=

5/+4

160+左2)

8.13分段指写出|A月忸周=

5左2+4

9.14分段指当直线A3的斜率存在且不为零时，写出

函\CF2\2

占+/为定值好

10.15分段指写出综上,

M用\CF2\2

17.(15分)

【解析】⑴〃尤）的定义域为（0,+8）,（1分）

112—Y2

当.=—时，/(x)=21nx——%2+1,f(x)=-----(2分)

22x

易得八X)在(0,0)上单调递增，在(、历,+@上单调递减，(3分)

所以行')=ln2<L(4分)

(2)令g(%)=/(%)+2Zx=21nx+(i—1)/+2a+2则g(x)<0在(0,+oo)上恒成立.

一2(x+l)["l)x+l],(6分)

求导，得g（%）

x

当地1时，8'（%）>0在（0,+8）上恒成立，所以g（x）在（0,+。。）上单调递增.

又g（l）=3/>0,不符合题意，舍去.（8分）

g（x）在（0,士上单调递增，在［B，+oo］上单调递减,

当/<1时,

21n-^-+—+—+l=-21n(l-/l')+—--1,(10分)

所以g（x）

1-tt-l1-t')1-t

只需—21n(l—+——1<0即可.（11分）

21

设力(%)=-21n(l-x)d——---l(x<1),则/z(x)=----1------7>0,(12分)

1-x1一%(1-X)

所以/z(x)在(-8,1)上单调递增.

又〃(o)=o,所以当％<0时，力(司<0恒成立，所以/<0.(14分)

又/eZ,所以『的最大值为-1.(15分)

说明：

第(1)问：

1.1分段指写出/(x)的定义域为(0,+8).

2-x

2.2分段指写出/(%)=-----

3.3分段指写出“力在倒,、历)上单调递增，在(、历,+可上单调递减.

4.4分段指写出/(x)</(J5)=ln2<L

第(2)问：

1.6分段指构造函数g(x)并正确求导，同时对分子因式分解，若求导正确但没有因式分解也给1分.

2.8分段指写出当f21时不符合题意的情形.

10分段指写出当/<1时，求出g(x)ma、=—21n(l7)+」——1.

3.

max

11分段指写出只需—21n(l—。+匕一1<0即可.

4.

5.12分段指构造函数/z(x)=-21n(l-一-l(x<l)并正确求导同时得到导函数的符号.

1X

6.14分段指根据函数h(x)的单调性得到t<0.

7.15分段指根据/eZ得到1的最大值为-1.

18.(17分)

【解析】因为AC=2,AB=2也,AD=6。是的中点，所以2AD=AB+AC,(1分)两

边平方，得4k即12=8+4+2AB.AC,得AB-AC=0,所以

AB±AC.(2分)

E

又AP，平面ABC,所以AB,AC,AP两两垂直.如图，以A为原点，AB,AC,AP所在的直线

分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则4（0,0,0）,B（272,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,

石（2①2,0）,M（衣0,1）.（3分）

（1）易得ME=（后,2,—1）,BC=（-2A/2,2,0）,所以^£.30=拒*（—2后）+2*2+（—1）X0=0,

（4分）

所以MEJL6C.（5分）

（2）由题意，知平面AMB的一个法向量是m=（0,1,0）.（6分）

易得AE=（2后,2,0）,AAf=（72,0,1）.

/、n-AE=0,\2y/2x+2y=0,

设平面AM石的法向量是“=（X,%z）,则一即厂'（7分）

n•AM-0,[v2x+2=0,

令x=l,得丁=2=-后，所以平面A/V/E的一个法向量是九二（1,一夜，一0）,（8分）

-J?J10

所以cos〈引〃〉=—、尸二—（9分）

lx5

由图，知二面角5—AM—石为锐角，所以二面角5—AM—£的余弦值为（10分）

5

（3）因为点N,。分别是直线A£,PC上的动点，

ZN）

设=（keR）,N（xN,yN,zN）,则（％,为，=左（2挺,2,0）,所以N（2低,2忆0）.（12

分）

设PQ=fPC（fwR）,Q（xQ,ye,ze）,贝U（%,—2）=《0,2,—2）,所以Q（02,2—2。，（14

分）

所以

NQ2=(2行人『+(2左—2/y+(2/—2『=12左2_88+8产—8/+4=12,—：］+yf/-|j+|,(16

分）

所以当左=标1，/3时，N。取得最小值，为2V10（17分）

说明：

第（1）问：

1.1分段指写出2A£>=AB+AC.

2.2分段指写出A5_LAC.

3.3分段指建立空间直角坐标系并正确写出相关点的坐标.

4.4分段指写出ME-BC=O.

5.5分段指写出旌，BC.

第（2）问:

1.6分段指写出平面的一个法向量是机=（0,1,0）.

n-AE=0,2返%+2丁=0,

2.7分段指写出■即,

n-AM