中考几何专项复习：矩形存在性问题巩固练习（基础）解析版

矩形存在性问题巩固练习

1.如图，抛物线＞=一1%2+$+1与y轴交于点/,对称轴交X轴于点8,连点P在y轴上，点。在

抛物线上，是否存在点尸和。，使四边形N5P。为矩形？若存在，求点。的坐标.

【分析】先令x=0,求出丁的值得到NO的长度，根据对称轴解析式求出的长度，根据矩形的四个

角都是直角可得N/8P=90°,然后求出从而得到△408和△80尸相似，利用相似三

角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点Q的坐

标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可.

【解答】解：存在点尸和点。，使四边形N3尸。为矩形，

理由如下：令x=0,则y=l,

.•.40=1,

4

•••抛物线对称轴为直线x=—小1=2,

(3'

：.OB=2,

•・,四边形尸0为矩形，

JZABO+ZPBO=ZABP=90°,

VZBAO+ZABO=90°,

Z./BAO=/PBO,

又,：/AOB=/BOP=90°,

J△AOBsdBOP,

,AO_0B

l2

即Hn2=而

解得0P=4,

.♦.点P的坐标为（0,-4）,

的中点，即矩形的中心C的坐标是（0,-1.5）,

设点。（x,y）,则当=0,—1.5,

解得％=-2,y=-3,

•二点0的坐标为（-2,-3）,

144R

当x=-2时，y=-EX（-2）2+-x（-2）+1=----+1=-4+1=-3,

二.点Q在抛物线y=-92+1r+1上，

故存在点。（-2,-3）,使四边形/8P。为矩形，

点Q的坐标为（-2,-3）.

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点

的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点。的坐标是解题的关键.

2.在平面直角坐标系中，ZACO=90°.把/。绕。点顺时针旋转90°得连接48,作8DJ_x轴于

D,点、4的坐标为（-3,1）.

（1）求直线的解析式；

（2）若48中点为连接CN,点尸是射线CN上的动点，过点尸作x轴的垂线交x轴于点。，设点尸

的横坐标为K△P0O的面积为S（SW0）,求S与f的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在尸点，使以尸、。、B、N（N为平面上一点）

为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先证明△/OC丝△05。，得出/C=OD=1,OC=BD=3,B（1,3）,设直线的解析式

为：y=kx+b,把点N（-3,1）,B（1,3）代入得出方程组，解方程组求出鼠b,即可得出直线的

解析式；

(2)先求出”的坐标，再求出直线CM的解析式，得出P的坐标，即可得出S与f的函数关系式以及f

的取值范围；

(3)分两种情况：①点P为直线04与CM的交点时，由直线04和CM的解析式组成方程组，解方程

组即可求出尸的坐标；

②作交QW于P,求出直线AP的解析式，再求出直线3P与CW的交点坐标即可.

【解答】解：(1)根据题意得：OA=OB,ZAOB=90°,0C=3,AC=1,C(-3,0),

Z.ZAOC+ZBOD=90°,

轴于。，

:./BDO=9Q°,

：.ZOBD+ZBOD=90°,

ZAOC=ZBOD,

[ZACO=ZBDO=90°

在和△02。中，\AAOC=ABOD,

[OA=OB

：.AAOC^AOBDUAS),

：.AC=OD=1,0C=BD=3,

：.B(1,3),

设直线48的解析式为：y=kx+b,

把点/(-3,1),B(1,3)代入得：｛建I,

1c

解得：k=~,b=~,

.,.直线48的解析式为：y=1r+|；

(2)是N8的中点，/(-3,1),B(1,3),

：.M(-1,2),

设直线CM的解析式为：y=ax+c,

4

把点C(-3,0),M(-1,2)代入得：｛二牌c二°,

解得：6Z=1,c=3,

・•・直线CM的解析式为：y=x+3,

设尸的坐标为(%,什3),

则△尸00的面积S=：x/XG+3)=+It,

•..点尸是射线CW上的动点,

:・t》~3,

•*.S=—fi+—t(r2-3)；

(3)存在，点尸坐标为(一),；),或()’?)；

理由如下：分两种情况讨论：

①点P为直线OA与CM的交点时；

■：A(-3,1),

二直线Q4的解析式为：y=—^x,

解方程组y=-得：x—

(y=x+3y=-

・,)(-9*卜3

②作5P_LOB交CM于P,如图所示：

则NOBP=90°,

VZAOB=90°,

：.BP//OA,

设直线5P的解析式为：y=—1x+b,

in

把点5(1,3)代入得：b=-,

工直线3尸的解析式为：y=—+y,

Z1

fy=x+3X=-

解方程组：.1,10W：$3，

113

•••尸(“小

③当/O尸8=90°时，易知P(-1,2)或(0,3),都符合题意；

综上所述：存在尸点，使以尸、。、B、N(N为平面上一点)为顶点的四边形是矩形，点尸坐标为尸

（—74，14）,或4（I4，—）或（-1,2）或（0,3）.

【点评】本题是一次函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的解析

式、二元一次方程组的解法等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过分类讨论，求

出两条直线的交点才能得出结果.

3.已知在平面直角坐标系中，的顶点/、B、C的坐标分别为（-1,0）（3,0）（0,V3）,将直线

/C绕原点。顺时针旋转180°成为直线/.

（1）求直线/的解析式；

（2）设直线/交y轴于点。，动点尸从点。出发以每秒1个单位速度沿直线/向斜上方运动.点尸运动

的时间为f秒，连接尸。、PB,设△P03的面积为S,求S与f的函数关系式，并求出自变量/的取值范

围；

（3）在（2）的条件下，过点3作坊，AB,即交直线/于点E,在点尸出发时，点。也从点E同时出

发，沿直线/向斜下方匀速运动，点0运动的速度大于点P运动的速度，则在直线/上是否存在这样尸、

0两点，使P、。两点与工、2、C三点中的两点为顶点的四边形为矩形（非正方形）？若存在，请求出

点。的运动速度；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）求得N和C关于原点。的对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；

（2）分尸在线段。尸上和在。尸的延长线上两种情况进行讨论，求得尸的纵坐标，利用三角形的面积公

式求解；

（3）首先证明△4BC是直角三角形，则过/作厂于点N,与。尸相交于点则

P、0只能是。或M或N中的点，然后进行讨论即可.

【解答】解：（1）/和C关于。的对称点分别是（1,0）和（0,-V3）,

设直线/的解析式是y=依+6,

则｛k+b=0

b=—V3

k=V3

解得:b=—W

则直线/的解析式是：y=y/3x—y/3；

（2）。的坐标是（0,-V3）,设直线/与x轴的交点是R则方的坐标是（1,0）,

则。尸=J（V3）2+12=2,sinZODF=l，则尸=30°,

当尸在线段。尸上时，即0WY2时，DG=DP•cos/ODF=*则。G=g—争，

则S=：O2・OG=：x3X（行—争）=一苧+孚；

当尸在。尸的延长线上时，即02时，PF=t-2,

则尸到x轴的距离是：PF«sin60°=空。-2）,

则S=；x3xW（-2）=咯—平；

（3）在），=遮x—Vi中，令x=3,则y=3禽一禽=2禽，则£的坐标是（3,2禽）.

：/、B、C的坐标分别为（-1,0）（3,0）（0,V3）,

：.AC=J12+（V3）2=2,BC=J（遍/+32=2禽，AB=4,

是直角三角形，ZACB=9Q°,ZJCO=30°,ZCJO=60°,

又与/。关于原点。对称，

Z.ZADB=9Q°,ZOAD=60°,ZADO=30°,

①。在。点，尸在0关于尸对称点时，NQAP时矩形，则P运动的时间是4秒，。运动的距离是DE=

^32+（273+73）2=6,则Q运动的速度是|单位长度/秒；

②过/作厂于点N,3C与。E相交于点

与工。关于。对称，

：.BC±DF,

在直角△AWF中，BF=2,贝ljMF=2Xsin30°=1,

在直角尸中，AF=2,NF=N尸sin30°=1,

则当P到N时，0到"时，四边形NPQC是矩形，则DN=2-1=1,则f=l,。运动的距离是ME=2禽

xcos30°=2禽x亨=3,则0运动的速度是3单位长度/秒；

当尸到新，。到N时，四边形/QNC是矩形，DP=DM=3,贝卜=3,。运动的距离是EN=KP+NF=

心+(2何2+1=5,则速度是9单位长度/秒.

总之，。的速度是|单位长度/秒或3单位长度/秒或|单位长度/秒.

【点评】本题是待定系数法求函数解析式，中心对称的性质以及三角函数的综合应用，正确确定尸、Q

能取得的点的位置是关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点/(6,0),B(0,8)点C的坐标为

(0,m),过点C作CE〃x轴，交N2于点E,点。为x轴上的一动点，连结CD,DE,以CD,DE为

边作口COM.点。在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得口。。£尸为矩形，请求出所有满足条件

【分析】使得口。£＞所为矩形，则NCOE=90°,故以CE为直径作圆，与x轴相切即可.

【解答】解：设直线的解析式为》=履+6,

,直线与x轴、y轴分别交于点/(6,0),B(0,8),

•..直线的解析式为y=—3+8,

•..点C的坐标为(0,机)，过点C作C£〃x轴，

:.E(47(8-m),m),

使得口CD斯为矩形，则以CE为直径作圆，与无轴相切.

取CE的中点尸，过尸作PG±x轴于点G.

则尸G=：CE=((8-%),

3

/.|~(8-m)\=m

5,口24_p,24

解得m=五或m=

...所有满足条件的m的值为今或一g.

【点评】本题考查了矩形的判定，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，得

出尸点的坐标是解题的关键.

5.如图，在平面直角坐标系中，点4,3的坐标分别是(-5,0),(0,5),动点尸从点。出发，沿x轴

正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点8出发，沿射线8。方向以每秒1个单位的速度运

动,以CPC。为邻边构造平行四边形尸COD在线段。尸延长线上一动点E,且满足PE=/O.

(1)当点C在线段08上运动时，求证：四边形/DEC为平行四边形；

(2)点尸在运动过程中，是否存在某个时刻/(秒)，使得四边形如汨。是矩形？若存在，求才的值；若

不存在，请说明理由.

【分析】(1)连接CD交/£于尸，根据平行四边形的性质得到CF=D尸，OF=PF,根据题意得到/歹=

EF,又C尸=DP,根据平行四边形的判定定理证明即可；

(2)当四边形/DEC是矩形时，ZACE=90°,根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接。交/£于尸，

•；四边形PCOD是平行四边形，

/.CF=DF,OF=PF,

•:PE=AO,

:.AF=EF,又CF=DF,

四边形ADEC为平行四边形；

(2)存在，

理由：当四边形4DEC是矩形时，NACE=90°,

'：OC±AE,

：.△ZCOs△CEO,

.AO_OC

'''OC_'OE'

•・,点4,8的坐标分别是(-5,0),(0,5),

；・04=05=5,OC=5-t,OE=5+t,

.55-t

•————,

5—t5+t

解得：£=0或％=15,

当Z=0或£=15时，四边形ADEC是矩形.

【点评】本题考查的是坐标和图形、平行四边形的判定和性质、二次函数解析式的求法、锐角三角函数

知识的综合运用，正确运用分情况讨论思想和数形结合思想是解题的关键.

6.已知二次函数夕="2-2"-3a（a为常数，a>0）的图象与x轴交于/、8两点（点/在点3的左

侧）.与y轴交于点C,点尸是对称轴上的点，在抛物线上是否存在点G,使四边形为矩形？若存

在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】设对称轴交x轴于。，过G点作G”_L对称轴于“，易证得易证得AFHG沿

△COB,根据三角形相似的性质得出G的纵坐标为1―3a,根据全等三角形的性质得出G（-2,5a）,

解（―3a=5a,求得a的值，从而求得G的坐标为（-2,f）.

【解答】解：存在点G,使四边形BCG尸为矩形，

设对称轴交x轴于。，过G点作G”,对称轴于H,

由二次函数歹-2"-3a（。为常数，tz>0）可知C（0,-3a）,

，OC=3a,

令y=0,贝ljqN-2"-3a=0,解得修=3,乃=-1，

：.A（-1,0）,B（3,0）,

：・OB=3,对称轴为直线l=三9=1,

：.BD=2,

•・,四边形5CG/为矩形，

：.ZCBF=90°,

•；NFBD+/CBO=NOCB+NCBO=90°,

・•・/FDB=/OCB,

VZFDB=ZBOC=90°,

△BDFsAcOB,

.DF_BD日口0尸_2

，-，

•."TOTBW-7O7C7^即3-G3a

2

：.DF=-,

a

・・•四边形BCG/为矩形，

:・BC=FG,ZGFB=ZFBC=90°,

JZFGH+ZGFH=ZGFH+ZBFD=ZBFD+ZFBD=ZFBD+ZCBO=ZCBO+ZOCB=90°,

ZFGH=ZCBO,/GFH=/OCB,

在△FHG和△CO5中

NFGH=ZCBO

FG=BC

/GFH=乙OCB

：.AFHG^ACOB(ASA),

:・GH=OB=3,FH=OC=3a,

：.DH=--3a,G点的横坐标为-2,

把x=-2代入V=QN_2办-3。(Q为常数，Q>0)得，y=5a,

.._22

..5a=13m

解得a=：或a=—1(舍去)，

：.G(-2,f).

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形相似、三角形全等的性质，数

形结合是解题的关键.

7.如图，已知抛物线y=-N+4,将抛物线Cl沿x轴翻折，得到抛物线。2

(1)求出抛物线C2的函数表达式；

(2)现将抛物线G向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为〃，与x轴的交点从左到

右依次为4,B；将抛物线C2向右也平移加个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交

点从左到右依次为。，E.在平移过程中，是否存在以点N,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形？

【分析】(1)抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，。互为相反数；

(2)连接/N,NE,EM,MA,M,N关于原点。对称OAf=ON,A,£关于原点。对称CM=O£,判

断四边形/NEW为平行四边形；若AM+MEiuAE2,解得加=3,即可求解；

【解答】解：(1)抛物线。的顶点为(0,4),

沿无轴翻折后顶点的坐标为(0.-4),

抛物线C2的函数表达式为y=N-4；

(2)存在

连接NN,NE,EM,MA,

依题意可得：MC-m,4),N(m,-4),

：.M,N关于原点。对称，

：.OM=ON,

原G、C2抛物线与x轴的两个交点分别(-2,0),(2,0),

'.A(-2-m,0),E(2+加,0),

：.A,£关于原点。对称，

：.OA=OE

四边形ANEM为平行四边形，

二4%=22+42=20,

ME?=(1+m+m)2+42=4m2+8m+20,

AE1—(2+m+2+m)2=4m2+16w+16,

^AM2+ME2=AE2,

则20+4m2+8m+20—4m2+16m+16,

解得a=3,

此时△/ME是直角三角形，且N/ME=90°,

当加=3时，以点/,N,E,M为顶点的四边形是矩形.

【点评】本题考查二次函数关于x轴对称，平行四边形的判定，矩形的性质.找准二次函数图象变化后

对应的点是解决翻折后函数图象的关键；能够在平面直角坐标系中，通过坐标点的特点判定平行四边形,

利用勾股定理判定矩形是解决本题的关键.

8.如图（«）,在中，ZC=90°,/C=2,BC=1,现以所在直线为对称轴，△/BC经轴对称

变换后的图形为△£>£?

（1）求四边形/C5尸的面积；

（2）如图（6）,若△48C和从初始位置（如图（a）所示）在射线N8上沿N8方向同时开始平

移，△ABC的运动速度是每秒2个单位，△。斯的运动速度是每秒1个单位，设运动时间为/秒.

①当0<f<通时，求线段/E的长度(用含/的代数式表示)；

②当△/斯是等腰三角形时，求才的值；

(3)在第(2)题的图形运动过程中，是否存在一点/、C、B、尸组成的四边形为矩形？若存在，请直

接写出此时/的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由题意可知：△DE尸是由△NBC翻折所得，所以四边形NC8F的面积就是两个△/8C的面

积；

(2)①根据D-A'/代入可得结果；

②当0<f<低时，分三种情况：任意两边相等时，找一等量关系列方程可得f的值，当/>而时，如图

"),因为N/E尸是钝角，所以△4EF是等腰三角形时只存在一种情况：根据即=/E列方程可得结论;

(3)当四边形NC8尸是矩形时，AF=BC=EF=\,由(2)得：此时f=等.

1

【解答】解：⑴如图⑷，由题意得：SmACBF=2SAABC=2x-ACXBC=2Xl=2；

(2)①由勾股定理得：AB-<22+12=V5,

设点/的起点为卬，贝!UEuDE+HD-A'A=y[5+t-2t=^-t；

②当0<f〈店时，分三种情况：

z)/£=£/时，即逐一f=l,

=V5—1；

z7)4£=/尸时，

ZAFE=ZAEF,

：.ZADF=ZAFD,

：.AD=AF,

图（b）

:.亚一t=t,

，一伤

Z-T;

沆）/尸=）时，如图（C）,过产作FGL/E于G,贝！J/G=EG,

设尸G=2x,EG~x,

由勾股定理得：（2X）2+9=12,

x=±弓，

；./E=2EG=等，

.•.遥-「=等，

[=竿，

当/＞遥时，如图（d）,AE^AA'-A'D-DE=2t-t-a=t一烟,

当斯=/E时，△/防是等腰三角形,

t—yJS+1；

综上所述，当△/所是等腰三角形时，/的值是逐—1或苧或半或芯+1;

(3)存在，

A

AF=BC=\,

：.AF=EF=1

由(2)得：此时f=莘；

...点/、C、B、厂组成的四边形为矩形时，/=竿.

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、矩形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形

定义等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题.

9.如图，己知二次函数7=-N+4M-4m2+机+1的顶点为8点/,C的坐标分别是/(0,-2),C(8,

2),以NC为对角线作口/BCD.

(1)点2在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；

(2)若点D也在二次函数y=-x2+4mx-4m2+m+l的图象上，求m的值；

(3)是否存在矩形/BCD,使顶点5,。都在二次函数＞=-〃G-2m)2+m+l的图象上？若存在，请

求出2的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)把二次函数的解析式化成顶点式，得出顶点8的坐标，再根据坐标特点写出函数解析式便

可；

(2)由平移的性质，用加表示。点的坐标，再将。点坐标代入二次函数的解析式，得到加的方程，解

方程便可求得m的值；

(3)根据平行四边形/2CD是矩形，得/B4D=90。，由勾股定理列出加的方程求得加的值，再根据

顶点8,。都在二次函数(x-2m)?+加+1的图象上，求得加、〃的关系，进而求得〃的值，便可

求得结果.

【解答】解：(1)v=-x~+4mx-4m~+m+\=-(x-2m)~+m+\,

'.Bilm,m+1),

\'m+l=|x2m+1,

:.点、B(2m,m+1)在函数y=/+l上，

.••所求函数的表达式为y=权+1；

(2)•.,四边形/BCD是平行四边形，

：.AB//DC,AB=DC,

：.将AB沿BC方向平移可得DC,

•.•点/,C的坐标分别是/(0,-2),C(8,2),B(2加，加+1),

:・D(8-2m,-m-1),

把Z)(8-2m,-m-1)代入y=-x2+4mx-4m2+m+l中,得

-m-1=-(8-2m)2+4m(8-2m)-4m2+m+l,

化简为：8加2-33加+3i=o,

(3)•・•平行四边形45CZ)是矩形，

AZBAD=90°,

：.AB2+AD2=BD2,

(2m)2+(m+3)2+(8-2m)2+(-m+1)2=(8-4m)2+(2m+2)2,

化简得，5m2-14m-3=0,

解得，m=3,或机=-

•・・。点在二次函数y=-n(x-2m)2+m+l的图象上，

-m-1=-n(8-4m)2+m+l,

.m+1

,•n=8（2—771）2,

1Y11

当冽=3时，n=?此时嬴=%,

当”=一9时，〃=击，此时3=一急・

7J1

故存在矩形/BCD,使顶点2,。都在二次函数^=-〃（x-2m）2+加+1的图象上，其嬴的值为1或—

25

242,

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，

第（1）题关键是找出8点横纵坐标的关系，第（2）题关键是根据平移性质用加表示。点的坐标，第

（3）题关键是由。点坐标求出加的值和“与"的关系.非常规思想解题，难度大.

10.如图，点。是平行四边形/BCD的对称中心，将直线绕点。顺时针方向旋转，交DC、4B于点、E、

F.

（1）证明：ADEO与ABFO；

（2）若DB=2,AD=1,AB=V5.

①当。8绕点。顺时针方向旋转45°时，判断四边形NECF的形状，并说明理由；

②在直线。2绕点。顺时针方向旋转的过程中，是否存在矩形若存在，请求出相应的旋转角度

（结果精确到1°）;若不存在，请说明理由.

【分析】（1）要证三角形全等，必须找到三个条件证明其全等.

（2）首先要判断四边形是什么形状，然后根据题意首先证明△04。是等腰直角三角形，然后证明。£=

OF.

【解答】（1）证明：在平行四边形48co中，CD//AB,

：.ZCDO=NABO,ZDEO=ZBFO.

又：点O是平行四边形的对称中心，

：.OD=OB.

/\DEO^/\BFO.

(2)解：①四边形/£CF是菱形.

理由如下：

在中，DB=2,AD=\,AB=遮,

：.DB2+AD2=AB2.

是直角三角形，且//。8=90°

'：OD=OB=^DB=1,

；・AD=OD=1.

.♦.△04D是等腰直角三角形，

/.ZAOD=45°.

当直线绕点。顺时针旋转45°时，即/。。£=45°,

ZA0E=9Q°

"：ADEO^ABFO,

：.OE=OF

又：点。是平行四边形的对称中心，

：.OA=OC

...四边形AECF是平行四边形

二四边形4&CF是菱形.

②当四边形。E3F是矩形时，

则有/ara=/FD£=90°,OD=OE

又：ZADB=90°

：.有ZADF=ZODE=ZDEO

'：SAAB0=\AD-BD=\AB-DF

.DF-_AD-BD1x2-2V5

••比—AB~V5__r

在RtA/4aF中，cos/ADF=啜=。n=挛

力”5

・•・ZADF^26.6°

：.ZODE=ZDEO=/ADF=26.6°

：.ZDOE=1SO°-ZOED-ZODE=1SO°-26.6°-26.6°=126.8°^127°

即当直线。8绕点。约顺时针旋转127°时，四边形CD8E是矩形.

【点评】本题是一道综合型试题，比较难，证明三角形全等必须要找出三个条件相等，按照判定四边形

形状的定义证明该四边形为何形状.

11.已知：如图1,抛物线G：y=|（x-m）2+n（m>0）的顶点为与j，轴相交于点8,抛物线。2：

y=一/x+爪）2—n的顶点为C,并与y轴相交于点。，其中点N、B、C、。中的任意三点都不在同一条

（1）判断四边形/BCD的形状，并说明理由;

（2）如图2,若抛物线y=g（久一机）2+n（m>0）的顶点/落在x轴上时，四边形48co恰好是正方形，

请你确定加，"的值；

（3）是否存在机，〃的值，使四边形/BCD是邻边之比为1：V3的矩形？若存在，请求出修,〃的值;

若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据题目条件可以表示出/（机，«）,C（-m,-n）,可以求得49=CO,当苫=时可

以求出点8、。的坐标，从而可以证明80=。。，CO从而得出结论.

1

(2):抛物线丫=式久一血尸+n(加>0)的顶点/落在x轴上，可以得出〃=0,由四边形恰好

是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值.

(3)•..四边形/BCD是矩形，由矩形的性质可以得出。/=。2从而建立一个等量关系，由矩形/BCD

的邻边之比为1：禽，可以得出，乙48。=60°或/48。=30°，作表示出8",用08=3〃+。〃

在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了.

【解答】解：(1)四边形N3CD是平行四边形，

A(m,n),C(-m,-n),

•••点/与点C关于原点对称.

...点。、/、。三点在同一条直线上，

：.OA=OC.

\'B(0,|m2+n),0(0,—1m2—n),

：.OB=OD.

...四边形NBCZ)是平行四边形.

(2)•・•抛物线y=式%—加)2+九0>0)的顶点Z落在x轴上，

・"=0.

•・•四边形45cZ)是正方形，

：.OA=OB,即斯2=血，

解得：加1=0(不符题意，舍去)，加2=3.

此时四边形45c。是正方形

••掰=3,n=0.

(3)若四边形/BCD是矩形，

则OA—OB,即(成/+n)2=m2+n2,

12

化简得：-m4+-