浙江省金华十校2024年11月高三模拟考试一模数学试卷（含解析）

金华十校2024年11月高三模拟考试

数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.

2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡

皮擦净.

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题

卷上无效.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合.M={x|-2<x<2},N=[T,0,l,2,3],!,则MnN=（▲）

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2]C.{-1,0}D.{0,1}

2.在复平面中，若复数z满足则口=（▲）

A.2B.1C.V3D.V2

3.若a,bGR,则|a|=|b|是2=2$.的（▲）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知点F为抛物线C:y2=2px（p）0）的焦点，点M（3,m）在抛物线C上,且|MF|=4,则抛物线

C的方程为（▲）

A.y2=B.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x

5.已知tan(a+习=百,贝！Isina,cosa=(▲)

6.已知函数=/+。产+於+6；的部分图像如图所示，则以下可

能成立的是（▲）

A.a=2,b=lB.a=-l,b=2

C.a=-2,b=lD.a=2,b=~l

十校高三数学试题卷一一1（共4页）

7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己

的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统

计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（▲）

A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数

B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数

C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数

D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数

8.已知正方体ABCD-AjBiCQi的棱长为4鱼,，P为正方体内部一动点，球O为正方体内切球，过

点P作直线与球0交于M,N两点，若AOMN的面积最大值为4,则满足条件的P点形成的几

何体体积为（▲）

327rD64/ry

AA.———

33

C.128位一nD128口一料

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a=(3,4),b=(4,m),则(▲)

A.a|=5B.|a—b\a=1

C.若a〃b,贝ijm=3D.若a±b,则m=3

sin5x

10.设函数f(x)=------------，则(▲)

sinx-cosx

A.f(x)的图像有对称轴B.f(x)是周期函数

C.f（x）在区间（0,兀/2）上单调递增D.f（x）的图像关于点（兀/2,0）中心对称

11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度,

设行走n次时恰好为第一次回到A点的概率为P团（九GN+）,,恰好为第二次回到A点的概率为

0.（!1冰,），则（▲）

21

力了3=3B.Q4=石

C.n22时，殳扫为定值D.数列｛Qn｝的最大项为-

P7J27

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列｛an｝为等差数列，ai=l,a2+a3=8„则ad▲•

13.从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有▲种.

14.已知双曲线。好一必=1"F为右焦点，斜率为&的直线1与C交于M,N两点，设点Mix,

丫1）2a“〉其中：%1>%2>0„过M且斜率为-1的直线与过N且斜率为1的直线交于点T,

直线TF交C于A,B两点，且点T为线段AB的中点，则点T的坐标为▲.

十校高三数学试题卷一2（共4页）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)记AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知((2c-ga)cosB=V5bcosA

⑴求B;

(2)若△4BC为等腰三角形且腰长为2,求△4BC的底边长.

16.(本题满分15分)如图,三梭锥A-BCD中,ADL平面BCD,AD=DB=DC=BC,E为AB中点,M为

DE中点,N为DC中点.

⑴求证：MNZ平面ABC;4

(2)求直线DE与平面ABC所成角的正弦值.

(第1600)

(本题满分15分)已知函数f(x)=-x2—dnx+(1-d)x;(a)0).

(1)若(a=l,求f(x)的单调区间；

⑵若/(%)>一那，求a的取值范围.

十校高三数学试题卷一3(共4页)

18.（本题满分17分）已知A（2,0）和B（1，苧）为椭圆C:《+'=l（a）b>0）上两点.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）过点（-1，0））的直线1与椭圆C交于D,E两点（D,E不在x轴上）.

⑴若△力DE的面积为y,，求直线1的方程；

（ii）直线AD和AE分别与y轴交于M,N两点，求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定

值.

19.（本题满分17分）已知正n边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T,其将正n边形每个顶点上

的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：

1232

4323

记n个顶点上的n个数顺时针排列依次为由口,…,册,则T(&)=如*,i为整数，2WiW九—1,

7(%)=①詈,7(a/=叱+皿设7(%)=T(7(…7(%)))(共n个T,表示n次变换)

2a22

⑴若n=4,a=i,1<i<4,求T(ai),T(a2),T(a3),T(ai);

(2)对于正n边形，若T(cii)=alfl<i<几,证明：a1=a2==an-r—an;

ffn

(3)设n=4/c+2,/cEN*,{af@2。九]=[V2­t•n],9证明：存在m£N',使得T(a1)(i=L2，・・・，?i)不

全为整数.

浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={川一2V%V2},N={-1,04,2,3},则已n集=(A)

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,l}

【解析】•；M={x\-2<x<2],N={-1,0,1,2,3},•••MHN=(-1,0,1}.故选A.

2.在复平面中，若复数z满足二则|z|=(D)

z-1

A.2B.lC.V3D.V2

【解析】^7=6Az=1+i=1-i,\z\=^124.(-1)2=故选D.

3.若a,beR,则⑷=|b|是2a=2、的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】,•*2。=2"<=>Q=b,且|a|=|b|a=b或a=—b.故选B.

4.已知点尸为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点M(3,m)在抛物线C上，且

\MF\=4,则抛物线C的方程为(C)

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4%D.y2=6x

【解析】依题意知m2=6p,且用尸|二9+3=4,二2=2,故选C.

5.已知tan(a+2)=次，贝ijsina-cosa=(B)

A.-B.-C.--D.-

4422

【解析】•••+4二。+£=弓+人乃，即。=£+&加，kEZ,

\6/o3o

二sina,cosa--sin2a--sin(-+2/CTT)=立.故选B.

22\3/4

6.已知函数/(%)=x3+ax2+bx+c的部分图像如图所示，则以下可能成立的是

(C)

B.a=-1,b—2

C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1

【解析】v/(x)=x3+ax2+bx+c,

x21n,Ln(△=4a2—12b>0

•••f(x)=o3/+2ax+b=0=>)__,

(%1>0,x2>0

2

Aa>3b,且一半=工1+义2>0，g>0•故选C.

7.某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题4、B可供选择，每位

学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班

的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题力的人数多于选辩题8的人数，则

(A)

A.选辩题4的女生人数多于选辩题8的男生人数

B.选辩题/的男生人数多于选辩题B的男生人数

C.选辩题4的女生人数多于选辩题4的男生人数

D.选辩题A的男生人数多于选辩题8的女生人数

【解析】根据已知条件设女生选择辩题力有与人，男生选择辩题力有力人，女生选

择辩题8有犯人，男生选择辩题8有力人；

根据题意可知％1+义2>%+力，孙+V+%，

根据异向不等式可减的性质有(%i+3)一(无2+力)>(yi+力)-(xi+y。，

即有M>丫2,所以选择辩题4的女生多于选择辩题B的男生.故选A.

8.已知正方体4BCD-/1B1C1D1的棱长为4鱼，P为正方体内部一动点，球。为正

方体内切球，过点P作直线与球。交于M,N两点，若AOMN的面积最大值为4,则

满足条件的P点形成的几何体体积为(D)

A.—B.-V27T

33

C.128V2--7TD.128V2-—TT

33

【解析】由题意可得：正方体的棱长为4VL可得内切球半径r=2注,

不妨设MN=2d,E是MN的中点，

由球的性质可知，OE_LME,0E=y/OM2-ME2=V8-d2»

所以SAOMN=|OE-M/V=|-2d-

易知当d2=8-d2,即d2=4时，SMMN最大值是明

所以d=2时，可知0E=2,所以点E的运动轨迹是半径为2的球，

此时点P只要在这个半径为2的球的外面，在正方体内部，过点P的直线就像如图

2所示，满足题意.

y7T,故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量,=(3,4),b=(4,m),则(AB)

A.|a|=5B.la—bl.=1

111'min

C.若五〃则TH=3D.若21b,则TH=3

【解析】对于A,•••2=(3,4),.•.向=>32+42=5,故A正确；

对于B,d=(3,4),b-(4,ni)>•••・同=+(4_7n)?N1,

当且仅当m=4取等号，故B正确；

对于C,d〃另，•••3m-4x4=0,即m=5，故C错误；

对于D,•.•五_L石，.•.五•3=12+4m=0,即m=-3,故D错误.故选AB.

10.设函数/(%)=「Esx,贝(ABD)

sinxcosx

A/Q)的图像有对称轴B/(%)是周期函数

Cf(%)在区间(03)上单调递增D./(%)的图像关于点弓,0)中心对称

Azjxr-r/、sinSx2sin5x2sin4xcosx+2cos4xsinx.cos4x

【r解析】•:f{x)=----------=-=--------：---------=44cos2xcosxd------

,sinxcosxsin2xsin2xcosx

2

=4(2cos2x—1)COSX+2cos2Al=QcOS3X—4COSX+2(2cos----------

COSXcosxcosx

a1

=16cos3％—12cosxd----,

cosx

・•・/0)的定义域是卜区装?/€2},易知函数/(%)为偶函数，且其周期为2兀，

故A、B正确；

另外：/(%)+/(7r一”)=淅了二)——幽二=0,

sinxcosxsin(n-x)cos(n-x)sinxcosxsinxcosx

故D正确；

而/(?)=0>故C错误•故选ABD.

备注：显然f(x)=16cos3%-12cosx+之在(0,》的单调性不确定.

11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点4出发，每次均随机沿一条棱行走1

个单位长度，设行走几次时恰好为第一次回到4点的概率为七(ne/V+),恰好为

第二次回到4点的概率为(nG/V+),则(ACD)

21

APB〃4=-

.53=-9《27

c.九二2时，乎为定值D.数列{Qn}的最大项为三

pn27

【解析】如右图所示，根据题意可知，图中四个顶点任一点到其他三点的概率均

端曾

A

设事件4n表示经过第n步回到顶点4事件公表示经过第n步未回到顶点4

①当恰好在点4上时下一步回到点＞1的概率p(4n)=。，

下一步离开点A的概率为「师)=1;

②当恰好位于点8、C、D上任意一点时，下一步回到点4的概率p(4n)=(

下一步不回到点4的概率为=泉

综述：(1)由此可得行走第n次恰好为第一次回到点力的概率：

f0,n=1

(2)行走第71次(n24)恰好为第二次回到4的概率为：

4

Qn=lX^_3xixlX(1r-xi

其中册中：1表示第一步离开力的概率为1；盘一3X^X1表示第2步到第71-3步中

任选相邻两步(前一步回到点力概率为右后一步离开点4概率为1)；(飘-4表示

剩余n-4步均为点BCD内部循环移动，始终未回到点4的概率：(表示第九步回到

点4的概率.

3-2

对于A,P3=|(1)=^故A正确；

44

对于B,(24=1xC^-3x|x1x(1)-x1i故B错误；

r0,n=1

n9

对于C,根据&='《尸-2n22可知22时，数列数歹此匕｝是公比为|的等比

数列，故C正确；

对于D,当nN4时方可回到点4两次，此时Qn+i-Qn=()nTx鬻，

所以册先增后减，在九=5和九二6时取得最大项，计算可知Q5=Q6=/，

故D正确.故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线

上.

12.已知数列｛每｝为等差数列,%=1,a2+a3=8,则=」1_.

【解析】。2+。3=8,二1+d+1+2d=8,即d=2,

:.。6=1+5d=11.故填11.

13.从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选

法有」6—种.

【解析】这六个数中三个数不相邻有1,3,5；1,3,6；1,4,6；2,4,6四

种情况，可得牖-4=16,即至少两个数相邻的选法有16种.故填16.

14.已知双曲线C：x2-y2=1,F为右焦点，斜率为企的直线/与C交于M,N两

点，设点/V(x2,y2),其中％过M且斜率为一1的直线与过

N且斜率为1的直线交于点7,直线TF交C于4,B两点,且点T为线段AB的中点，

则点T的坐标为_(2&,2)_.

【解析】设7(通,%)，则由点差法得：资=当，①

yo人oV，

由直线TM：、一、0=-％+/与双曲线。联立得必=嗤膂，②

由直线TN：y-yo=%-%与双曲线C联立得外=当"平，③

所以MN斜率为：合=出三等=鱼，将②③代入得无。=历0,④

所以由①和④联立得X0=2戊，yo=2.故填(27^,2).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.记A4BC内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-Wa)cosB=

y/3bcosA.

(1)求8；

(2)若A4BC为等腰三角形且腰长为2,求A4BC的底边长.

【解析】(1)vy/3bcosA=(2c—\[3a)cosB,

:.y/3sinBcosA=(2sinC-y/SsinA'jcosB,

•••y/3{sinBcosA+cosBsinA)=2sinCcosB,

:.V3sin(B+A)=yj3sinC=2sinCcosB,

•••cosB=—,AB

26

(2)当8为顶角，则底边AC?=4+4-2x2xcos2=8-4g,

6

•••AC=V6—V2,

当8为底角，则该三角形内角分别为gp寸,则底边为28.

663

16.如图，三棱锥4一BCD中，4。_L平面BCD,AD=DB=DC=BC,E为48中

点，M为DE中点，N为DC中点、.

(1)求证：MN〃平面ABC；

(2)求直线DE与平面4BC所成角的正弦值.

【解析】(1)连EC,为0E中点，N为。C中点,

AMN//EC,XvECc^ABC,MNC面ABC,

MN〃面ABC.

(2)设40=DB=DC=BC=a,

-：ADLDB,DE=-AB=—a,

22

取8c中点F,则。FJ.BC,

X-.MD1BC,.'.BCL^ADF,^ADFL^ABC,

Xv®71DFn^ABC=AF,作DH1力户，DHl^ABC.

连EH,则乙DEH为所求线面角.

在R£2L4O尸中，AD=a,DF=—a,.'.AF=—a,DH=­a,

227

・•.sin^DEH=器=手即为所求线面角的正弦值.

17.已知函数f(%)=1%2—alnx4-(1—a)x,(a>0).

(1)若a=l,求/(%)的单调区间；

(2)若求。的取值范围.

【解析】(1)当a=l时，r(x)=x--=—=(y~1)(^1),

，XXX

••.X6(0,1)时，/(幻<0,%E(l,+8)时，^(x)>0；

•••/(义)的单调增区间为(1,+8),减区间为(0,1),

(2)r(x)=(…产+】),

％W(0,a)时,/'(X)<0,xE(a,+8)时，/z(x)>0,

a2

•••fWmin=/(a)=---alna+a,

/(x)>--e2,•••--——alna+a>--e2,

7222

2

令h(a)=~a~~a^na+a，

则h'3)=-a-bia,显然”(a)递减，且"G)>0,h'(l)<0,

二必然存在唯一即6(1,1)使得h(a())=。，

当a6(0,a0),h'(a)>0,h(a)单调递增，

当QW(a(),+8),/iz(a)<0,h(a)单调递减，

由于a€(0,1］时，h(a)=aj—^na+1)>0>—y,成立，

“2

当Q€(1,+8)时，/i(a)递减，且/1(6)=-三，因此a€(l,e］成立，

综上，Q成立的范围为(0,e］.

18.已知4(2,0)和8(1,多为椭圆C：2+卷=1(a>b>0)上两点.

(1)求椭圆C的离心率；

（2）过点（一1,0）的直线1与椭圆C交于0,E两点（D,E不在不轴上）.

（i）若A4DE的面积为石，求直线［的方程；

（ii）直线/。和AE分别与y轴交于M,N两点，求证：以MN为直径的圆被不轴截

得的弦长为定值.

【解析】（1）由以2,0）可知。2=4,代入8（1,日），得力2=1,

可知椭圆C的离心率为

（2）由（1）可知椭圆。的方程为-+y2=i,

4

（i）设。（%"1），E（》2，y2），过点（一1,0）的直线，为戈=my—1,

与?+y?=1联立得：（m?+4）y2-2my-3=0,

所以％+丫〃2=m¥2+4,八%，%=m丁2+4，

SAADE=1-3-lyi-y2l=1-3-+丫2,-4y,2=6-=瓜

得Tn?=2,所以m=±企，直线的方程，为：x±y/2y4-1=0.

（ii）由（i）可知，%1+乃=m（yi+丫2）-2=后七,

%•无2=巾2力•y2-7n（yi+为）+1=-；；：：，

直线40的方程为y=/、（x—2）,令x=0,得y”=悬，

直线4E的方程为、=含（4一2）,令X=0,得外=表，

记以MN为直径的圆与无轴交于P,Q两点，

由圆的弦长公式可知，（早）2=（%也1）2_（里嘤）2=一勿

-12-12

=_-2yl.-2为=_____4yly2=__________7^7；=1

“1—2%2-2%丁必―2（必+42）+4-41+4-4—要一3

m2+4m2+4m+4

所以|PQ|=不，为定值.

19.已知正n边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T,其将正九边形每个顶点上

的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：

记九个顶点上的几个数顺时针排列依次为由,a2，…，M，则7Q)=a1；%】,i

为整数，九一1,7(%)=手，7①监二号之设厂^0二

T(T(-7(aD))(共n个7,表示n次变换)

222

(1)若n=4,a(=i,1<i<4,求T^Q),T(a2)»T(a3)>T(a4)；

(2)对于正ri边形，若7(%)=aP1<i<n,证明：ar=a2==

。71；

(3)设九=4女+2,kEN*,…，％}={1,2,…，九},证明：存在mWN*,

使得7皿(《)(i=l,2,n)不全为整数.

【解析】(1)当n=4时，厂(4)的变换如下:

222=

所以72(%)=2,T(a2)=3,T(a3)=2,T(a4)3.

(2)vT(aj)=ai，:."「字!+」=@,(2<i<n—1),

成等差数列，令公差为心

又7(。1)=a[=°”詈,贝ij2al=%+(ri—l)d+%+(/,.•.d=0,

则%=a2=…=On-l=«n-

m

(3)反证法，假设对任意mWN*,T(ai)(i=1,2,n)均为整数,

由于丁(见)=生詈也，7(%)为整数，故aji与4+1的奇偶性相同，

故％,。3，…，。4火+1同奇偶，。2，。4，…，Q4k+2同奇偶，

而Qg,…,。仙+2}=[1,2,-,4/C+2},

alta2,Q4k+2中有2k+1个奇数，2k+1个偶数，

故可不妨设内,。3，…，。4火+1为奇数，设。2，…，。4k+2为偶数，

.aq+aq

•.•72(%)=7%)+7如)=空+一Qi+2a3+Q5

4

又T233)为整数，且的=4k+1,或4k4-3(kWN),

%和。5除4的余数相同,

同理

I〜、0^+07£7±£9

...T2m7)=T(a6)；T38)=2。5+2。7+。9

。5和。9除4的余数相同,

4

a4k-3+。仙一11/k-l+Jk+l

v^2(a4k-l)7(a4k-2)+丁(。4。22a4k-3+204女-1+04女+1

224

a4k_3和。轨+1除4的余数相同.

•••%，a5,的，…，。4卜+1除4的余数相同.

、『/、04k+i+ai,。1+-3

・.・72(%)=.(。47/2)+7(。2)二22。4*+1+2。1+。3

4

••・。4卜+1和。3除4的余数相同,

...72m5)=出)/绚=工；二一=生詈±%，...03和。7除4的余数相同.

・；产94k.3)=a4k15+2。：-3于二妇],...以-5和。钛-1除4的余数相同，

。4卜+1，。3，。11，…,。4火-1除4的余数相同.

综上，％,。3,…，。软+11除以4的余数都相同，

而{%,。2,…,a4k+2}={1,2,…,4k+2),矛盾!

假设不成立，所以存在mEN*,使7小(%)(i=l,2,…，n)不全为整数.

金华十校2024年11月高三模拟考试

数学参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

题号12345678

答案ADBCBCAD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABABDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.11;13.16;14.(2V2,2);

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)y/3bcosA—(2c—V3a)cosB.

43sinBosA=(2sinC—V^sin4)cosB…2分

V3sinC=2sinCcosB...........................................................................................4分

.，cosB=^,.-.B=^-5分

(2)当B为顶角，则底边4c2=4+4-2x2xcos-=8-4A/3

6

・•.AC=声-没有化简也给分)・・・9分

当B为底角，则该三角形内角分别为m，则底边为2旧…13分

663

16.(1)连ECYM为DE中点，N为DC中点

.,.MNIIEC,又：ECu面ABC,MN。面ABC

.".MNUffiABC............................5分

⑵设AD=DB=DC=BC=a

AD^DB•••DE=-AB=—a...........7分

22

取BC中点F,贝UDF，BC

又；AD_LBC,；.：6€：_1面人口日贝!］面ADF_L面ABC

又：面ADFC面ABC=AF,作DHJ_AF,ADHXffiABC...............10分

连EH,则/DEH为所求线面角............12分

在R3ADF中，AD=a,DFa,.-.AF=^-a,DH=^-a

sin^DEH=器=当即为所求线面角的正弦值.................15分

DE7

17.(1)当a=l时，/(%)=%-i=—=…3分

XX­X0

.'.xE(0,1)时,F(x)<o,xe(1,+8)时，f(x)>0;

；.f(x)的单调增区间为(1,+8),减区间为(0,1)..........................5分

(2)/(%)="尸).............................................7分

:.x£(0,a)时,f(x)<0,x£(a,+8)时,f(x)>0

a2

•••/tomin=f(Q)=一万一alna+a

222

又・y(x)>—y,—y—alna+a>—y*e,9分

令h(a)=~~~a仇a+a

则h(a)=-a-lna,显然h(a)递减且九(，)>0,九⑴<0

...必然存在唯•a0e1)使得h(a0)=0

当ae(O,ao),h(a)>0,h(a)单调递增,当ae(a0,+oo),h*(a)<0,h(a)单调递

减............................................................n分

由于a£(0,1］时，h(a)=———lna+1)>0>—■，成

2

当ae(l,+8)时，h(a)递减，且h(e)=—1,因此ad(l,e］成立

综上，a成立的范围为(0,e]................................15分

18.(1)由A⑵0)可知(a?=4,代入B(l，号)，得/=1,可知

椭圆C的离心率为4..............................4分

(2)由(1)可知椭圆C的方程为f+y2=l,

(i)设D(xi,yi),E(X2,y2)，过点(T,0)的直线1为x=my-1,与?+

y2=l联立得(m2+4)y2—2my—3=0

所以为+为=3聂，当•当二幸_______________

SADE=”.仅1-=”,瓜+%)2-4%.%==遮

得Hi?=2,所以m=±V2,直线的方程I为：x±V2y+l=0---9分

(ii)由⑴可知，皿+肛=瓶(为+为)-2=^4

%1,外=瓶2yl.y2-m(y1+y2)+l=素丁

直线AD的方程为y=年^(久-2),令x=0,得yM=i^，…11分

直线AE的方程为y=上、(％—2),令x=0,得yN=考，

%2—2,V12乙

记以MN为直径的圆与x轴交于P,Q两点，

由圆的弦长公式可知，(早)2=(%加)2_(%皿)2=—3.外…1分

__一2yl._2y24yl/

-

X1-2X2-2X1-%22(X1+X2)+4

一12

=m2+4__=!

-4rn2+4,16,.Q

-m-z7-+--4---1mz5+4^4

所以IPQI=W，为定值................17分

19.(1)当n=4时，T2(ai)的变换如下：

10