圆锥曲线中常用的二级结论-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

拓展培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论

圆锥曲线是数学高考的重点之一，题目往往思维量大、计算烦琐，如果掌握

一些常用的二级结论，便能简化思维过程，提高解题速度和准确度，节约做题时

间，从而轻松拿高分.

考向1J焦点弦的问题

典例精析

22

典例已知椭圆：曰（。>）的左、右焦点分别为为椭圆

1C+4=16>0F2,PC

上一点，且归后|=4|尸7切，则椭圆C的离心率的取值范围是（）.

A-[?I）B.[|，I）

C.[|,1）D.[|,1）

思维点拨根据椭圆的定义结合已知条件解出|「人|=半，再根据焦半径

的取值范围及椭圆的离心率e@（0,1）,即可解出离心率的取值范围.

典例2已知R为抛物线C：y=4x的焦点，过R作两条互相垂直的直线小12,

直线/1与C交于A,3两点，直线6与C交于。，E两点，则|A3|+|DE|的最小

值为（）.

A.16B.14C.12D.10

方法总结：

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点

（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识，集数学知识、思想方法和解题策略于一

体.解决此类问题的关键：（1）熟悉常用结论，包括结论的推导方法（常用结论见下）；

（2）设直线、联立方程、设而不求及应用韦达定理或点差法.

1.焦半径公式——坐标式

22

⑴如图1,椭圆与+彳=1（。>0>0）的左、右焦点分别为人巳，离心率为e,点P（xo,

azbz

"）为椭圆上的任意一点，则椭圆的焦半径IPBI和|巴切可按下面的公式计算：

（D\PFi\=a+exo；②|PR2|=a-exo（记忆：左加右减）.

22

如图双曲线的左、右焦点分别为F,离心率为

(2)2,gazJb=zl(a>0,6>0)2e,

点P(XO,阿为双曲线上的任意一点，则双曲线的焦半径IPEI和田囿可按下面的

公式计算：(I)\PFi\=\exo+a\；②|尸7切=|的-。|(记忆：左加右减).

图1图2

2.焦半径公式——角度式

⑴椭圆的焦半径公式

如图，已知直线/过左焦点且与椭圆交于A,5两点，设NARR2=a,则焦

半径的匚W；4*六嗡四月g+跖匚这芦.最

长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.

⑵双曲线的焦半径公式

如图，已知直线/过左焦点且与双曲线左支交于A,3两点，设NAfYF2=a,

则焦半径|AB|=一^;I防|=上一;W+W专;|AB|=|ARi|+LBB|=

(3)抛物线V=2pxg>0)的焦半径公式

|AF|=-^—,LBN=后%(歹为抛物线的焦点，A3为焦点弦，a为直线A3的倾斜

1—COSu1+COSu

角，且点A在x轴上方，点3在x轴下方).

3.焦点弦分比定值定理

(1)椭圆的焦点弦所在直线被椭圆及短轴所在直线(y轴)所分比之和为定值-与.

bz

y

22

如图，直线/过椭圆号。＞。＞的左焦点/交椭圆于两点，交轴

az+匕4/=1(0)R1,A,3y

于点M(0,。，设M4=九4&,MB=〃BF、,则九十22为定值-卷~.

(2)双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线。轴)所分比之和为定值与.

bz

22

如图，直线/过双曲线，9=1(。＞0,6＞0)的左焦点为，/交双曲线于A,3两点，

交y轴于点M(0,f),设拓?=九丽，~MB=^iBF[,则加+七为定值与.

b4

xiz

(3)过抛物线的焦点弦所在直线被抛物线及顶点处的切线。轴)所分比之和为定值

-1.

如图，直线/过抛物线产=2后防＞0)的焦点F/交抛物线于A,3两点，交y轴

于点M(0,t),

设拓？=%族，~MB=^2BF，则3+曲为定值-L

培优精练

22

.已知椭圆：三+彳=。＞人＞的左、右焦点分别为(C点

1Eazbz1(0)R(-c,0),F2,0),M

在椭圆E外,线段MF,与E相交于点P,若点P的坐标为(x,y),证明：|PB|=a+%.

22

2.已知椭圆C：曰+弓=1(。＞6＞0)的左、右焦点分别为巳，椭圆C的短轴长为

2V2,离心率为f•点P(xo,yo)为椭圆C上的一个动点，直线PFx与椭圆C的另

一个交点为A,直线尸民与椭圆C的另一个交点为3,设巨耳=心瓦I，厄=4印.

(1)求椭圆C的方程.

(2)证明：九+七为定值.

考向2J等角的性质

典例精析

27

典例3设椭圆C：L+匕=1的右焦点为凡过R的直线/与C交于A,3两点，

32

点”的坐标为(3,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程.

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

方法总结：

圆锥曲线中证明角度相等常用的定理有角平分线定理、余弦定理、斜率等.解决方

法如下：

1.将角度问题转化为斜率问题.设直线方程为丁=日+加时要讨论斜率是否存在；设

直线方程为ty+m=x时要注意该方程无法表示倾斜角为0。的直线.

2.利用等角性质定理：

22

⑴椭圆等角定理：过椭圆三+9=1伍＞。＞0)长轴上任意一点NQ,0)(区0)的一条弦

azbz

2

的端点与对应点G蜉,0)的连线所成的角被焦点所在直线平分.

22

(2)双曲线等角定理：过双曲线、4=1仅＞0,6＞0)实轴上任意一点NQ,0)(#0)的

azbz

2

一条弦的端点与对应点G((，0)的连线所成的角被焦点所在直线平分.

(3)抛物线等角定理：过抛物线产=2内防>0)对称轴上任意一点N(a,0)(a>0)的一

条弦的端点与对应点G(-a,0)的连线所成的角被对称轴平分.

如果题目符合等角性质定理的条件，那么对于客观题可直接运用，对于主观题,

可结合定理正向、逆向思维，加快解题进程.

培优精练

已知点A是圆C：(x-l)2+y2=i6上的任意一点，点网-1,0),线段AR的垂直平

分线交AC于点正

(1)求动点P的轨迹E的方程.

(2)若过点G(3,0)且斜率不为0的直线/交⑴中轨迹E于N两点，。为坐标

原点，点8(2,0).问：x轴上是否存在定点T,使得恒成立.若存

在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

考向3J切线、切点弦方程

典例精析

典例4(1)已知抛物线C：%2=4y的焦点为EA是抛物线C上的一点，且点A

在第一象限，若区同=4,则抛物线C在点A处的切线方程为().

A，V3x-y-3=0B.2x-y-l=0

C.x-y-1=0D，V2x-y-2=0

(2)已知抛物线C：丁2=2内3>0)上的一点处的切线方程为y-x-l=0,A,B为C上

两动点，且|AB|=6,则A3的中点〃到y轴的距离的取值范围为().

A.[2,+co)B.[g,+co)

C.[3,+oo)D.[|,+oo)

(3卜多选题已知产(xo,yo)(x(#O)是抛物线Ci：y2=-4x上一点，过点P作抛物线C?：

>2=4x的两条切线尸”，PN,切点分别为M,N,H为线段的中点，R为G

的焦点，则（）.

A.若次=-1,则直线MN经过点口

B.直线PHLy轴

C.点H的轨迹方程为>23

4

D.ZPFM=ZPFN

思维点拨（1）设A（xi,竺），先根据抛物线的定义解出A点坐标；接下来的思路有

两条：一是运用抛物线上的点的切线方程结论直接求解；二是根据导函数的几何

意义求出切线斜率，由点斜式写出方程.

（2）思路一：根据抛物线上的点的切线方程结论，求得p,接着设出A（xi,以）,Bg,

y2）,表示出点M到y轴的距离d,然后利用抛物线的定义，将其转化为两条焦半

径的和，结合图形易得应2,从而得解.思路二：通过求导数，设切点，求出p=2.

后同思路一.

（3）利用抛物线上的点的切线方程结论,先表示出切线方程，联立方程,得直线MN

的方程为yoy=2（xo+x）,解得产左产，从而得p（华，空），可判定A,B；再

由点H（空，誓），可得轨迹方程，判定C；由向量的坐标运算得

cosZPFM==~^~>cosZPFN=-^-,判定D.

\FP\-\FM\lFPl1平

方法总结：

1.椭圆与切线

22

⑴点M（x,州）在椭圆拶+q=l（a>6>0）上，过点M作椭圆的切线，切线方程为

0azbz

22

（2）点M（xo,阿在椭圆三+彳=13>6>0）外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别

azbz

为A,B,则切点弦A3的直线方程为笔+簧=1.

22

⑶点M（x,阿在椭圆今+彳=1（a>b>0）内，过点V作椭圆的弦A3（不过椭圆中心），

0azbz

分别过A,3作椭圆的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为笔+黄=1.

2.双曲线与切线

22

⑴点M（xo,阿在双曲线,噌=1（。＞0,6＞0）上，过点〃作双曲线的切线，切线方

程为管登=1.

22

（2）点M（xo,阿在双曲线a%=1（。＞0,》＞0）外，过点”作双曲线的两条切线，切

点分别为A,B,则切点弦A3的直线方程为笔-黄=1.

a£

22__

（3）点M（xo,州）在双曲线拶冬=1（。＞0,人＞0）内，过点”作双曲线的弦A3（不过双

azbz

曲线中心），分别过A,5作双曲线的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为

%oXyoy_

a2b2•

3.抛物线与切线

（1）点M（xo,泗）在抛物线产=2内航＞0）上，过点〃作抛物线的切线，切线方程为

yoy=p（x+xo）.

（2）点M（xo,冲）在抛物线产=2内航＞0）外，过点M作抛物线的两条切线，切点分

别为A,B,则切点弦A3的直线方程为yoy=p（x+xo）.

（3）点M（xo,加）在抛物线＞2=2夕如＞0）内，过点M作抛物线的弦A3,分别过A,

B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为yoy=p（x+xo\

培优精练

1.与抛物线x2=2y和圆x2+（j+l）2=l都相切的直线的条数为（）.

A.0B.1C.2D.3

2.多选题已知直线y=x+m与抛物线C：f=8x相切于点P,过P作两条斜率互为

相反数的直线，这两条直线与C的另一个交点分别为A,B,直线y=2x-4与C交

于M,N两点，则（）.

A.m=4

B.线段A3中点的纵坐标为-4

C.直线A3的斜率为-1

D.直线PM,PN的斜率之积为4

3.已知椭圆C：泉1（。泌＞0）的离心率为由，短轴长为2也

a2b22

（1）求椭圆C的方程;

⑵设。为坐标原点，过点尸（-1,-|）分别作直线小h,直线/1与椭圆相切于第

三象限内的点G,直线/2交椭圆。于“，N两点，若|PG|2=|PM|.|PN|,判断直线

/2与直线0G的位置关系，并说明理由.

参考答案

拓展培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论

考向1焦点弦的问题

典例1D

【解析】（法一）因为归为|=4归功|,|PFi|+|PF2|=2a,所以4\PF2\+\PF2\=2a,故

|PF2|=y,|PFl|=y.

因为|P尸i|W[a-c,a+c\,所以a-区寺Mz+c,

即1-e拿1+e,解得吗又因为椭圆的离心率e©（0,1）,所以e©[|,1）.

（法二）设点P的坐标为（xo,阿，因为|PH|=4|P&|,所以a+exo=4（a-exo）,整理得

e=,，因为0＜祀%，所以e=1^,所以e@陵，故选D.

典例2A

【解析】设入的倾斜角为6,不妨设。©[。身，那么叫=3=磊，因为/山2,

所以/2的倾斜角为或仇》IDE匚硒通=熹，求以3I+DEI的最小值，

即求4（4+3）在10,?上的最小值，因为4（4+q）=T~^，所以

vsinz0cosz0fL，」vsinz0cosz0zsinz0cosz0

令人⑨;元党可

4

-

1

当sin&os。取得最大值，即。三时，烦取得最小值，最小值为/（?-

4

故|AB|+|DE|的最小值为16.

培优精练

1.解析由题意可知|尸网=7（%+°）2+）/2,|PR2|=J（%_C）2+y2,

则|PF“21PF2|2=4CX,

因为IP尸11+|PE|=2a,即IPF21=2a-\PFi\,

所以IPF】J2-（2tz-|PFi|）2=4cx,整理得4a\PFi|=4«2+4cx,

_c

所以|PB|=a+/x.

2.解析（1）由题意知2人=2a，得又:—捻,解得。=苗,

97

所以椭圆C的方程为尹㊀=1.

（2）如图，由⑴知一（1打,0）,尸2（1,0）,设A（xi,yi）,3（X2,次）,

则F^>=（-l-xo，-yo）>^A=（X1+L州），pj^=（l-xo>-yo）>f^B=（X2-l,yi）,

得"秘…所以［二？

由「6=2/排,

I，

又点A（xi,州）在椭圆上，所以（-—-I）+（一而）=1,即（1±配+'1）：+%=怒.

3-2-32

又苧+*=1,所以（1+%*）2+1争看,即（l+xo+九）2+3-密-3彩=0.

将其展开，得至U-2号+2（1+X0）丸+（1+xo）2+3-就=0,即-2老+2（1+xo%+2xo+4=0.

从而属-（l+xo）4i-xo-2=O,即（力+1）（九-2-xo）=O,

易知九>0,所以九-2-%o=O,得九=2+%o,

同理,由哈迹彳0气所以:/'

1—XQ2（旷0、229

又点3（X2,>2）在椭圆上，所以（丁+D+F）=1,即（1-%。+—）+%=彩.

3232

又交芋=1,所以（1&。芦）2+1堂=彩,即（1加+%）2+3一瑶-3度=0.

将其展开，得至U-2据+2（1国此+（18）2+3-瑶=0,即-2度+2（1由比-2和+4=0.

从而度-（1-尤0/2+冗0-2=0,即«2+1）（22-2+%0）=0,

易知22>0,所以22-2+%0=0,得丸2二2-九0,所以九十丸2=4,即九十丸2为定值.

考向2等角的性质

典例3

【解析】（1）由题意得层=3,b2=2,c2=a2-b2=l,所以c=l,则网1,0）.

当/与X轴垂直时，直线/的方程为X=l.

（X=1,（X=1,（X=1,

联立直线与椭圆C的方程，得%2y2—解得_26或_2V3

5十彳=1，ly=­（y=一亍，

所以点A的坐标为（1,等）或（1,一竽）.

当点A的坐标为（1,竽）时，可得履.誓=-亭所以直线AM的方程为产-

y（x-3）,整理可得x+gy-3=0；

当点A的坐标为（1,一竽）时，可得或=饕卫咚所以直线AM的方程为产我-

3）,整理可得x-gy-3=0.

综上所述，直线AM的方程为x+V3y-3=0或x-、&-3=0.

⑵

（法一）当直线/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=Q°,结论成立.

当直线/与x轴不重合时，可设直线/的方程为》=切+1.

设AQi,%）,3（x2,yi）,

x=my+1,

由％2y2可得（2加2+3搜+4加y-4=0.

,4m

+y=---2—

2xi=myi+l,X2=my2^-l.

{y，2=一赤不，

因为冲”（竺+划=-岛-卜盖）=0,

所以myiy2=yi+y2.

所以

小।氐"=%[2^=yi02-3）+y2pi-3）_yi（my2-2）+y2（myi-2）=27nyiy2-2M+y2）_0,

%1-3%2-3（叼-3）（%2一3）中-3）（%2-3）（修-3）（久2-3）

所以直线M4,"5的倾斜角互补，

所以N0MA=N0M3.

综上所述，ZOMA=ZOMB.

(法二)当/与无轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°,

当/与x轴垂直时，0M为A3的垂直平分线，r.Z0MA=Z0MB,

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=6x-l),厚0,

22

联立y二人(元-1)和^,得(33+2)%2-6左2%+3女2-6=0.

设A(%1,yi),Bg竺)，贝%2＜百，且%1+%2=一n—,X1X2=—yi=k(xi-

3/Z+23d+2

1),y2=k(X2-l),

所以左MA+.MB=4+旦=2VX1%2-4k01+X2)+6k,

%l-3x2-3中-3)(犯一3)

2/z

而2Ax1%2-4左(冗1+%2)+6左二一2--(3左2-6-12k2+9左2+6)=0,进而kMA+kMB=0,

3k+2

故MA,MB的倾斜角互补，所以NOMA=NOMB.

综上所述，ZOMA=ZOMB.

培优精练

【解析】⑴由圆C：(+1)2+产=16,可得圆心坐标为C(L0),半径r=4,

如图所示，线段AR的垂直平分线交AC于点P,

所以|PR|+|PC|=|必|+|PC|=4＞|RC|=2,

根据椭圆的定义，可知点尸的轨迹是以凡C为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2,

可得a=2,c=l,则bKd2f2=ypi,

79

所以动点P的轨迹方程为5+5=1.

(2)由题意知直线I的斜率不为0.

当直线/与x轴垂直时，无交点M,N,舍去.

当直线/与x轴不重合也不垂直时，设直线/的方程为y=-x-3),且后0,

y—k(x3),—,—

由小，整理得(3+4左2)/_24-+36「12=0,由/＞0,解得-竺＜女＜

匕•+9=1，55

设M（X1,州），N（X2,>2），则X1+X2=24k亍,X1X2=1"3k',

3+4〃3+4fc

根据椭圆的对称性，不妨令点M,N在x轴上方，且X2>xi,

假设存在T(t,0),使得NMZ=NNrB恒成立，即tan/Mm=tanNNrB恒成立，

显然Xl<t<X2,

可得kMT=-kNT,即规/7+比7=0恒成立，即3~=0怛成立.

C_%2

又由21_+2工」01+%)-%。232yl

t_%lt_%2

得t(yi+y2)-xiy2-xiyi=0,

所以

24(3-J)72k2

2222

t_尤1%+%2'1=，(尤2-3)+%2中-3)=2%I%2-R01+.2)_3+4fc-3+4fc-72fc.24.7?fc_4,

X%22

、1+、21+2.6X1+X2.624k224k1824fc寸

所以存在点7信0),使得NMTO=NNTB恒成立.

考向3切线、切点弦方程

典例4(1)A(2)A(3)ABD

【解析】⑴(法一)设A(xi,%),由d=4乃得p=2,所以抛物线的准线方程为尸-

1.

由抛物线的定义可得|AE|=y+l=4,得y=3,代入x2=4y,得幻=±2百，

又点A在第一象限，所以xi=2g,所以点A的坐标为(2百，3),

所以抛物线C：x2=4y在点A处的切线方程为2后=2(y+3),即后-y-3=0.

11

以

所

,，

1一

(法二)同法一得A(2g,3),4y一2-所以抛物线C在

点A处的切线方程的斜率为:x28=8,

所以抛物线C在点A处的切线方程为y-3=V3(^"2V3),即V^x-y-3=0.

(2)(法一)因为抛物线C：y2=22xg>0)上的一点。(为0,州)处的切线方程为

如尸p(x+xo),即犯y=2(x+3,整理可得广畀吟=0,又由题意知该切线方程为

y-x-l=0,所以可得yo=p=2,故C的方程为y2=4x.

如图，设点A(xi,%),3(X2,/)，则M(空，空)，点M到y轴的距离

/+%2_巧+1+久2+111>四-1=2,

222一2

当且仅当线段AB经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴的距离的取值

范围为［2,+oo).

(法二)依题意知，切线的斜率为1,故切点必在第一象限，设切点为(xo,yo)(xo>O,

jo>O),即(郢涧)，由y=j2p为求导可得V=票,

干闻

则瑞=1,即g=l,化简得yo=p,故切点为仁，p),代入产1=0中，解得

'2］不

p=2,故C的方程为V=4x.

以下同法一，可得A3的中点M到y轴的距离的取值范围为［2,+00).

(3)设M(xi,yi),N(X2,工)，

则过点M的切线方程为yiy=2(xi+x),过点N的切线方程为yiy=2(x2+x),

由题意知这两条切线交于点P(xo,yo),则二3/：&)，

2yo一乙(%2十%o),

从而直线MN的方程为yoy=2(xo+x).

若xo=-l,则直线MN经过点"1,0),A正确.

因为点M,N在。2上，所以一:"1

所以由If；：部】言；'

解得尸警，

即冲=空，从而X0=第，即P（第，空）.

因为H为线段MN的中点，所以H（曲弃，空），

所以轴，B正确.

因为点H（空，空），空=■《羽汉《羽，中=加

Z7Z8」4，

所以点H的轨迹方程为V=*（/0）,C错误.

因为而=（XO-1，yo），FM=（X1-1,yi）,FN=（X2-1,竺），

所以而•FM=（%o-l，vo）-（xi-l,yi）=xoxi-xi-xo+l+yoyi=xoxim-

^o+l+2(xo+xi)=(xo+l)(xi+1).

又|MF|=xi+1,所以cosNPFM=II-F^=噜^，

\FP\-\FM\\FP\

同理可得cosNPRN=叫，从而NPFM=NPFN,D正确.故选ABD.

\FP\

培优精练

l.D

【解析】设直线与抛物线炉=2＞相切的切点坐标为（f,芋），由产吴求导得产x,

因此抛物线N=2y在点（/,扪处的切线方程为#2=旧），即及君好=0,

依题意，此切线与圆/+0+1）2=1相切，于=1，解得/=0或/=”鱼，所

以所求切线的条数为3.故选D.

2.BCD

fv——x+Tn

【解析】对于A,由［y2_8x'得/+（2加-8）%+加2=0,

由/=（2加-8）2-4加2=0,解得加=2,故A错误;

对于B,由加=2,得%2一4%+4=0,故X=2,y=2+2=4,故P点坐标为（2,4）,

设IPA：y=k（x-2）+4,贝ljIPB：y=-L（x-2）+4,肝0,

联立圆与抛物线的方程，得『2："2）+4,消去%可得62_打+32一16左=0,

A=64-4^(32-16k)=64(k-1)2>0,即厚1,则有班+4=。,即％=/-4,

KK

同理可得以=-器4,故必件=|屋3=4故B正确；

以为_y4_88

对于C,kAB==8~~S-=-1,故c正确;

以为一空"