圆中最值问题专训（九大题型）（原卷版）

第二十四章圆

专题20圆中最值问题专训（九大题型）

言【题型目录】

题型一圆中的线段最值问题

题型二圆中的线段之和最值问题

题型三圆中的线段平方和最值问题

题型四圆中的面积最值问题

题型五圆中的周长最值问题

题型六圆中的旋转最值问题

题型七圆中的翻折最值问题

题型八阿氏圆求最值问题（含相似证明）

题型九圆中的最值综合问题

一31经典题型一圆中的线段最值问题】

1.（2023春・安徽•九年级专题练习）如图，在ABCP中，BP=血,尸。=4,现以8c为边在2c的下方作正

方形/3CZ）并连接/P,则/P的最大值为（）

A.2亚B.6C.4+20D.V26

2.（2023春•安徽•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中,4（6,0）、8（0,8）,点C在y轴正半轴上,

点。在x轴正半轴上，且CQ=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段48于E、F,则线段EF的最大

值为（）

A.3.6B.4.8C.3V2D.36

3.Q023春•安徽•九年级专题练习）四边形/BCD是边长为4的正方形，点E在BC边上,连接/E,尸为/E

中点，连接BF,点G在。E上且8尸=入7,连接CG,则CG的最小值为（）

A.2&B.75C.275-2D.亚-2

4.（2023春・广东•八年级校考开学考试）如图，直线48：>=-3x+9交>轴于/,交x轴于2,x轴上一点

C（-l,0）,。为y轴上一动点，把线段2。绕8点逆时针旋转90。得到线段班，连接CE,CD,则当C£长

A.V10B.V17C.5D.2717

5.（2023春•四川成都•八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与坐标轴

交于A,8两点，0。，48于点。，尸是线段。C上的一个动点，连接AP,将线段AP绕点8逆时针旋转45。,

得到线段8P,连接CP,则线段CP的最小值为.

6.（2023春•四川成都•八年级校考期中）在。8C中，N/C8=90°,C4=C8=4,。为的中点，P为AC

的中点，。为线段上一动点，连接尸。，将线段尸。绕点P逆时针旋转90。得到线段E为直线N2上

一动点，点8关于直线PE的对称点为G,连接GH,则线段GH的最小值为.

7.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图，在“BC中，AC=4,BC=6,//C3=30。，。是“BC内一

动点，。。为A/CD的外接圆，。。交直线5。于点P,交边8c于点E,若凝石,则40的最小值

为.

8.（2023秋•全国•九年级专题练习）已知。3c中，BC=6cm,ZA=60°,则/台+3二的最大值

2

为.

9.（2023•河南焦作•校考二模）如图，在RM/BC中，AB=3,BC=4,£）8=90°,正方形CDEF的边长为

1,将正方形CD吐绕点C旋转一周，点G为E尸的中点，连接4G,则线段NG的取值范围是.

10.（2023春・江苏•八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中

ZACB=ZAED=90°,ZBAC=ZDAE=30°,AE=60AB=443,连接BE,取BE的中点R将三角

板NBC绕点/按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点尸到直线/O的距离的最大值是.

二31经典题型三圆中的线段平方和最值问题】

1.（2023•广西•模拟预测）如图，在正方形中，48=4,以边CD为直径作半圆O,E是半圆。上的

动点，EF工D4于点、F,EP，4B于点P,设M=x,EP=y,则/^+下的最小值是（）

4-273C.275-1D.275-2

2.（2022春•全国•九年级期末）如图，在正方形48CD中，AB=2,以边为直径作半圆。，E是半圆。

上的动点，EFIDA于点、F,EP工4B于点P,设斯=x,£P=y,则/+/的最小值是（）

A.V3-1B.4-26C.V5-1D.6-2V5

3.（2022秋•浙江宁波•九年级校考期中）在A48C中，若。为3c边的中点，则必有AB2+AC2=2AO2+2BO2

成立.依据以上结论，解决如下问题如图，在矩形OEFG中，已知。E=12,EF=8,点”在以半径为4

的。。上运动，则板2+必?2的最大值为（）

C.272D.100

4.（2022春•九年级课时练习）如图，点A,BC均在坐标轴上，AO=BO=CO1,过A,O,C作

QD,E是。。上任意一点，连结CE,BE,则。6+班2的最大值是（）

D.4+V2

5.（2023•全国•九年级专题练习）如图，点/、B、C均在坐标轴上，4O=BO=CO=1,过/、。、C作

QD,£是。。上任意一点，连结C£,BE,则CE2+B£2的最大值是

6.(2022秋・江苏•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，点/(-1,0),点2(1,0),点M(3,

4),以朋■为圆心，2为半径作。朋;若点尸是0M上一个动点，则P/2+尸用的最大值为

7.(2022•九年级单元测试)如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO=BO=CO=\,过A、0、C作。

£是。。上任意一点，连结CE,BE,则CE?+B炉的最大值是.

8.(2022秋・湖北黄冈・九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点尸是以。(-3,4)为圆心，1

为半径的。。上的一个动点，已知4-1,0),5(1,0),连接尸/,PB,则Pf+P4的最小值是.

9.(2023秋・广东广州•九年级统考期末)在边长为10的正方形43。中，以43为直径作半圆，圆心为O,

E是半圆上一动点，过点E作即，48,垂足为尸，连接。£.

DD

图1图2

（1）如图1,若直线DE与圆。相切，求线段DE的长;

（2）求DE的最小值;

(3)如图2,若f=EA2+EB?+EC?+ED?,求t的最小值.

j【经典题型四圆中的面积最值问题】

3

1.（2022秋•江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，已知直线歹=6与x轴、歹轴分别交于A、3两点,

P是以。（04）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接尸/、PB.则△尸面积的最大值是（）

A.21B.33C.—D.42

2

2.（2023春•江苏扬州•八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形Z3CD中，45=8,若点E

在对角线4。上运动，将线段绕点。逆时针旋转90。得到线段。尸，连接£/、CF.点尸在上，且

CP=3PD.

给出以下四个结论：①EF=4iDE，②EF2=AE2+CE2,③线段尸产的最小值是3vL④△。尸£面积

的最大是16.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②④C.①②③D.①③④

3.（2023春•江苏南京•九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，△/尸3中，AB=26,4APB=90。，在

42的同侧作正正V/PE和正△APC,则四边形尸CAE面积最大值是（）

A.1B.2C.2aD.-V2

2

4.（2022秋・江苏宿迁•九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系x。中，半径为4的。。与x轴交于

点/,B,与y轴交于点C,D,连接8C,已知x轴上一点2（8,0）,点。是。。上一动点，连接尸。，点"

为尸。的中点，连接BM,CM,贝IJABCM面积的最小值为（）

A.16-872B.16-472C.12D.16

5.（2023春•四川攀枝花•九年级校考阶段练习）如图，在RtA48c中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F

在边NC上，并且CF=2,点£为边3C上的动点，将4CE尸沿直线E尸翻折，点C落在点尸处，贝面

积的最小值是

B

6.（2023•江苏苏州•苏州市景范中学校校考二模）如图，已知等腰中，ZACB=120°,AC=BC=8,

点。、E分别为43、8C边上任意点，以。E为直径作圆正好经过点C,与4C交于点R贝bC尸E面积最大

7.（2023•江苏徐州・统考二模）在“8C中，若48=4,ZACB^45°,则。8C面积的最大值

为.

8.（2023•福建福州•福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，已知直线＞=上+3与坐标轴分别交于A、

B两点,M是以C（6,0）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结M4、MB,则△M43面积的最大值

9.（2023春•陕西•九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①，48为。。的一条弦，圆心。到弦42的距

离为4,若。。的半径为7,则。。上的点到弦N3的距离最大值为:

【问题探究】（2）如图②，在。8C中，NA4c=60。,/。为BC边上的高，若4D=6,求面积的最

小值；

【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶

段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，^ABC

为基地的大致规划示意图，其中442C=90。，BD平分/ABC交AC于点、D,点、P为BC上一点、,学校计划

将四边形ZAP。部分修建为农业实践基地，并沿8。铺设一条人行走道，△CAP部分修建为兴趣活动基

地.根据规划要求，8。=80亚米，4CDP=45。.且农业实践基地部分（四边形N2尸。）的面积应尽可能

小，问四边形45尸。的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.

图①图②图③

10.2023春•广东佛山•八年级校考期末）如图1所示,“BC是等边三角形，点。和点E分别在边和4C

上（。，E均不在所在线段的端点上），且点P,N分别是线段。£,DC,3c上的中点，连

接尸PN.

备用图

⑴请说明PM=7W.并求出的大小;

（2）把V/OE绕点/按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状并说明理由;

（3）把VADE绕点/在平面内自由旋转，若/。=4,N8=10,请直接写出ARW的最大面积.

A【经典题型五圆中的周长最值问题】

1.（2023秋・山东滨州•九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，等腰Rt4/BC内接于圆O,直径

48=2近，。是圆上一动点，连接CD,BD,且CD交于点G.下列结论：①DC平分NADB；

②NDAC=NAGC；③当。3=2时，四边形NO8c的周长最大；④当ND=CD,四边形402c的面积为

8正确的有（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

2.（2022秋•九年级课时练习）如图，已知正方形/BCD的边长为3,点E是边上一动点，连接瓦）,将

助绕点E顺时针旋转90。到EF,连接。尸,3,则当。尸+C尸之和取最小值时，AOC尸的周长为（）

A.375+3B.46+3C.572+3D.2而+3

3.2023春・广东深圳•八年级校考期中）等边三角形4BC的边长为6,点。是三边垂直平分线的交点，ZFOG

=120°,NFOG的两边。尸，OGAB,8c分别相交于。，E,NFOG绕。点顺时针旋转时，下列四个结论

@OD=OE；@SAODE=SABDE^③S四边彩ODBEMNM；④ABDE周长最小值是9.其中正确个数是

O

C.3个D.4个

4.（2023・全国•九年级专题练习）如图，。是边长为1的等边AA8C的中心，将48、BC、C4分别绕点/、

点八点C顺时针旋转a（0°<a<180。），得到/*、BC、CA',连接B,C'、A'C\0A\OB1.当

A/'B'C'的周长取得最大值时，此时旋转角。的度数为（）

C.120°D.150°

5.（2023春•湖北孝感•九年级统考阶段练习）如图，已知正方形NBCD的边长为a,点E是边上一动点,

连接ED,将助绕点E顺时针旋转90。到EF,连接。。CF,则当。尸+C尸之和取最小值时，AOC尸的

周长为.（用含a的代数式表示）

6.（2023春•福建漳州•八年级福建省漳州第一中学校考期中）等边A/BC的边长为2道，点。是三边垂直平

分线的交点，ZFOG=nO°,/FOG的两边。尸，OG与AB,3c分别相交于。，E,/FOG绕。点顺时

针旋转时，下列四个结论：①OD=OE；②S四边形0BE=6；③周长最小值是2+6；④ABDE面

积最大值是6-1.其中正确的是

7.（2022•山东青岛•山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形048中，ZAOB=90°,半径

。4=8.点尸位于凝的;处、且靠近点A的位置，点C、。分别在线段CM、OB上,CD=8.E为。。的

中点.连接EF、BE.在CD滑动过程中（。长度始终保持不变），当£尸取最小值时，阴影部分的周长

为.

8.（2023春・全国•八年级专题练习）如图所示，AB、NC是以/为公共端点的两条线段，且满足

AB=AC=a,ZBAC=12O°,作线段/C的垂直平分线/交4C于点。.点P为直线/上一动点，连接/尸,

以/P为边构造等边连接。0.当的周长最小时，AP=b,则△"。周长的最小值

为.（用含有0、6的式子表示）

9.（2022秋•浙江宁波•九年级校考期中）定义两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形

叫做“互余三角形”.如图1,在A48C和ADE尸中，若//+/£=/3+/。=90。，S.AB=DE,则A48C

和ADE尸是“互余三角形”

C

图1

（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是;（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如图2,等腰直角其中//CB=90。，/C=3C,点。是48上任意一点（不与点/、2重合）,

则图中△和4是互余三角形，并求证：AD2+BD2=2CD2.

⑶如图3,的半径为5,四边形4BCD是。。的内接四边形，且和A/DC是，互余三角形”

①求ACP+BC?的值；

②若=NABC=15。,求A/3C和A/OC的周长之差.

10.（2022秋•江苏苏州•九年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知。。为。8C的外接圆，AC=BC,点、D

是劣弧标上一点（不与点/，8重合），连接。4DB、DC.

图2图3

（1）如图1,若是直径，将A/CD绕点C逆时针旋转得到ABCE.若CO=4,求四边形4D8C的面积；

（2）如图2,若AB=4C,半径为3,设线段DC的长为x,四边形NOBC的面积为S.

①用含有x的代数式表示S；

②若点分别在线段C4C3上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置.&DMN

的周长有最小值p随着点。的运动，p的值会发生变化.则所有p值中的最大值是.

5【经典题型六圆中的旋转最值问题】

1.（2023•山东泰安・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZ\492的一条直角边在x轴上，点

/的坐标为（-6,4）；RSCQD中，ZCOD=90°,OD=473,ND=30。，连接8C,点M是中点，连接

AM.将RMCO。以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）

C.2V13-2D.2

2.（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，等边边长为6,点E是中线4D上的一个动点，连接EC,

将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60。得到尸C,连接DF.当在点E运动过程中，。厂取得最小值时,

773

丁

3.（2022・全国•九年级专题练习）如图，三角形48C,三角形EFG均为边长为4的等边三角形，点。是

BC、EF的中点，直线4G、尸C相交于点三角形EFG绕点。旋转时，线段长的最小值为（）

A.473B.273C.2A/3-2D.473-4

4.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在。8C中，ZC<90°,48=30。，/3=10,AC=7,O为AC

的中点，M为2C边上一动点，将“3C绕点/逆时针旋转角a（0°<a4360。）得到点M的对应

点为ML连接。AT,在旋转过程中，线段的长度的最小值是（）

B

C

A.1B.1.5C.2D.3

5.（2023春・江苏无锡•八年级校联考期末）已知在矩形/BCD中，4D=9,AB=12,。为矩形的中心，在

等腰Rt“E尸中，ZEAF=90°,AE=AF=6.则EF边上的高为:将/绕点/按顺时针方

向旋转一周，连接CE,取CE中点连接尸则尸M的最大值为.

6.（2023春・江苏•八年级统考期末）如图，在RtA48C中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,点尸是

边48上的一动点，将。8C绕点C按逆时针方向旋转一周得到A/'HC,点E是边/'C的中点，则在旋转过

7.（2023•河南焦作•校考二模）如图，在RtA/8C中，AB=3,BC=4,05=90°,正方形COER的边长为

1,将正方形CDE尸绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接/G,则线段4G的取值范围是.

8.（2023春・江苏•八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中

ZACB=ZAED=90°,NBAC=NDAE=30°,AE=66,AB=4s/3,连接BE,取BE的中点尸，将三角

板4BC绕点/按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点尸到直线/。的距离的最大值是.

9.(2022•福建泉州•校考模拟预测)在A48c中，AC=AB,ZCAB=12Q°,点。是边48上的一动点.F

是边。。上的动点.连接在'并延长至点E,交BC于G,连接BE.且NE+N8Db=180。，N4FC=6Q°.

用I图3

(1)如图1,若BC=6C，BE=4,求CD的长.

(2)如图2,若点。是48的中点，求证：AE=DF+6BF.

(3)如图3,在(2)的条件下，将ASOE绕点3顺时针旋转，旋转中的三角形记作取2月的中点为

M,连接CN.当CM最大时，直接写出器的值.

10.(2023秋•重庆•九年级重庆市第H^一中学校校考开学考试)如图，在RtZUBC中，44c8=90。,

/C=3C,点。为边上一点，连接CD,过点3作交CD的延长线于点£.

A

AAM'

（1）如图1,若NBCE=2ZDBE,BE=4,求“8C的面积；

（2）如图2,延长班到点尸使EF=CE,分别连接C尸，AF,AF交EC于点G.求证：BF=2EG.

（3）如图3,若/C=N。，点/是直线4c上的一个动点，连接MD,将线段绕点。顺时针方向旋转90。

得到线段MID,点P是NC边上一点，/尸=3尸C,。是线段CD上的一个动点，连结尸。，QM'.^PQ+QM'

的值最小时，请直接写出/尸。小的度数.

=5【经典题型七圆中的翻折最值问题】

1.（2022秋•江苏无锡•九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形NBCD中，NBCD=30。,BC=4,

CD=3后，〃•是边的中点，N是边上的一动点，将A4W沿肱V所在直线翻折得到△⑷MTV,连

A.5<«<9B.3>/3<m<V79C.5<m<V79D.5<m<9

2.（2021•全国•八年级专题练习）如图，在RM/8C中，//CBugOOMCnS*Cng,点。是边BC的中点,

点£是边48上的任意一点（点E不与点8重合），沿。£翻折ADBE使点8落在点尸处，连接度，则线段

好'长的最小值是（）

A

A.2B.V41-4C.3D.3V13-4

3.（2023•河北•模拟预测）如图，正方形/BCD的边长为4,£是边CD的中点，尸是边上一动点，连接

BF,将△NAF沿3/翻折得到AG瓦"连接GE.当GE的长最小时，。尸的长为（)

A.275-2B.275-4

C.475-6D.6-2石

4.（2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形/BCD为矩形，AB=6,AD=4,点尸为边

AB上一点，以。尸为折痕将AO4P翻折，点/的对应点为点连接44'交尸。于点M,点。为线段2C上

一点，连接"。，MQ,则/。+同。的最小值为.

5.（2023・湖南长沙•模拟预测）如图，在边长为4的菱形/3CD中，ZA=60°,M是边上的一点，且

AM=\AD,N是AB边上的一动点，将九W沿亚W所在直线翻折得到△/'MN,连接HC,则HC长度

4

的最小值是.

DC

6（2022秋•福建泉州•八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片/BCD中，/B=10,/。=12,点£是43

的中点，点尸是/。边上的一个动点，将△/£尸沿E尸所在直线翻折，得到△/'所，则HC的长的最小值

是.

【经典题型八阿氏圆求最值问题（含相似证明）】

1.（2023春•九年级课时练习）如图，在中，4cB=90。，CB=I,NC=9,以C为圆心、3为半

径作（DC,P为OC上一动点，连接/P、BP,则;NP+AP的最小值为（）

B.5也C.4+V10D.2V13

2.（2022春•江苏•九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，4（0,4）,8（4,0）,尸是第一象限内一动

点，OP=2,连接/尸、BP,则AP+g/P的最小值是.

2V

-升

-4（-

3.（2023秋・浙江温州•九年级校考期末）如图所示，AACB=60°,半径为2的圆O内切于/NC8.尸为圆

。上一动点，过点尸作PM、PN分别垂直于N4C8的两边，垂足为M、N,则尸M+2PN的取值范围

4.0023•江苏苏州•苏州市第十六中学校考二模）如图，在。。中，点4点B在。。上，ZAOB=90°,OA=6,

点C在CM上，且。C=2/C,点。是。5的中点，点M是劣弧48上的动点，则CM+2OW的最小值

5.（2022•四川成都•模拟预测）如图，已知正方48。的边长为6,圆8的半径为3,点P是圆8上的一个

动点，则的最大值为.

D

6.（2023秋・浙江温州•九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形/BCD内有一动点P,且BP=®.连

接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到线段尸Q.连接C。、DQ,则;。Q+CQ的最小值为

7.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在AABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点8为圆心作圆8与NC

相切，点尸为圆2上任一动点，则P/+注PC的最小值是.

2

8.（2021・全国•九年级专题练习）如图1,在RTA42c中，乙4c2=90。，CB=4,C4=6,圆C的半径为2,

点尸为圆上一动点，连接NP,BP,求：

图1

①4P+5P,

©2AP+BP,

③；/P+8尸,

④4P+38尸的最小值.

9.（2021•全国•九年级专题练习）如图，RtAABC,乙4c2=90。，AC=BC=2,以C为顶点的正方形