圆周角重难点题型专训（八大题型）（原卷版）

第二十四章圆

专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）

言【题型目录】

题型一圆周角的概念辨析

题型二圆周角定理

题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题

题型四半圆所对的圆周角是直角问题

题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题

题型六已知圆内接四边形求角度

题型七求四边形外接圆的直径

题型八圆周角综合问题

【知识梳理】

知识点一、圆周角

1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等.

圆周角定理及其推理

名称文字语言几何语言图示

一条弧所对的圆周角等于它所NA是里更对的一个圆周角”

定理对的圆心角的一半NBOC是前所对的一个圆心角K--

.,.ZA=|ZBOC\j/

••.NC、ND都是前---所--对--圆--周--角---，-------------，争

同弧或等弧所对的圆周角相等；

推理

---------------------------------------------------------D

---公康半圆（AB是直径），=NC=ZD=90°

半圆（或直径）所对的圆周角是90。；

90。的圆周角所对的弦是直径.■.ZC=90o或ND=90°,1.AB是。O的直径'o―TP

3.一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

圆内接四边形的对角互补.

几何语言

•••四边形ABCD是。。的内接四边形,

.,•ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180"

51经典例题一圆周角的概念辨析】

1.（2020秋・浙江宁波•九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；

（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形

的对角互补.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A,B,C在圆上，且边CD与该圆交于点

E,AC,BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是（)

A.ZADEB.ZAFEC.ZABED.ZABC

3.（2023•湖南娄底•校考一模）已知点A、B、C、。在圆。上，且ED切圆。于点。，OELCD于点E,

对于下列说法：①圆上而是优弧；②圆上同是优弧；③线段是弦；④和乙都是圆周

角；⑤是圆心角，其中正确的说法是.

4.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，直线/经过。。的圆心O,且与。。交于48两点，点C在。。

上，且//OC=30°,点尸是直线/上的一个动点（与圆心。不重合），直线C尸与。。相交于另一点。，如

果。尸=。。，则/。”=—.

5.（2023・甘肃酒泉•统考三模）把下面的语句还原成图形:

（1）。〃的半径为1cm,48是。M的一条弦（48不经过〃），2AMB、N/C8分别是劣弧令所对应的圆

心角和圆周角；

（2）砺是。。中的一条弧，且益=族.

6.（2023秋・河南信阳・九年级统考期末）（1）【学习心得】

小明同学在学习完，圆，，这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问

题变得非常容易.

例如如图1,在A42C中，4B=AC,ABAC=90。,。是八43。外一点，且4D=/C,求乙BDC的度数.若

以点/为圆心，为半径作辅助GM，则点C、。必在上，乙B/C是的圆心角，而NADC是圆周角，

从而可容易得到48DC=°.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形ABCZ）中，4BAD=zSCD=90°,乙BDC=27°,求乙B/C的数.

（3）【问题拓展】

如图3,E,尸是正方形A8CO的边上两个动点，满足/足连接C尸交2。于点G,连接交/G

于点若正方形的边长为4,则线段。〃长度的最小值是.

AEFD

A

A【经典例题二圆周角定理】

i.（2023春・福建福州•九年级校考期中）如图，点B,C,。在。。上，ZAOC=140°,2是弧/C的中

点，则一。的度数是（）

C.45°D.70°

2.（2023春・陕西榆林•九年级校考期中）如图，。。是的外接圆，且42是。。的直径，点。在

上，连接BD,且8O=8C,若/8。。=50。，则/48C的度数为（）

C.30°D.25°

3.2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考开学考试）如图，48是。。的一条弦，,垂足为点C,交。。

于点。，点£在。。上，N4ED=30°,OB=10,贝ij弦4B的长是.

4.（2023秋•九年级课时练习）如图，己知C,。是半圆。上的三等分点，连接和。。相

交于点E，有下列结论：①/C8/=30。；@OD1BC-@OE=^AC-④四边形N8C是菱形.其中

正确的有（填序号）.

5.（2023春・安徽•九年级专题练习）如图1,已知N8为。。的直径，C为。。上一点，CE，AB于E,D为

弧3C的中点，连接2。，分别交CE、C8于点厂和点G.

图1

（1）求证：CF=CG；

（2）如图2,若AF=DG,连接。G,求证：0GL/2.

6.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，N8是。。的一条弦，ODLAB,垂足为点C,交。。

于点。，点E在。。上.

（1）若£）/0。=50°,求NDE8的度数；

（2）若。。=6,OA=10,求的长.

4【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】

1.（2021春•福建南平・九年级统考阶段练习）如图，A/CD是。。的内接三角形，AC=CD,连接/。并延

长交。。于点8,连接8C,若/R4C=32。，则N/CD等于（）

c

B

A.64°B.62°C.60°D.58°

2.（2022•北京西城•校考模拟预测）如图，△ZOC内接于OO,是OO的直径，若乙4=66。，则N5CD

等于（）

B.34°C.24°D.14°

3.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，05c内接于OO,是的直径，点。是OO上一点,

/CDB=55。,则—°,

D

4.（2023•云南德宏・统考一模）已知：如图，43是OO的直径，43垂直弦于点£,则在不添加辅助线

的情况下，图中与相等的角是—（写出一个即可）.

5.（2023秋•九年级课时练习）如图所示，四边形43CD内接于OO,

/B=50°,ZACD=25。,NBAD=65°.

/)

求证:

⑴4D=CD；

（2）4B是。。的直径.

6.（2022秋•甘肃定西•九年级统考期末）已知：。。的两条弦4B,相交于点“，且48=。.

（1）如图1,连接ND.求证：AM=DM.

（2）如图2.若/3LCD.在而上取一点E,使防=前，NE交CD于点尸，连接DE.判断/E与/DFE

是否相等，并说明理由.

_，3【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】

1.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，在中，AC=BC,OO是△4BC的外接圆，45是O。的

直径，点。在上，连接CD交4B于点E,连接8,若/5。。=120。，则N3瓦）的度数为（）

A.60°B.75°C.100°D.105°

2.（2022•河北衡水•校考模拟预测）如图，点/,B,。在。。上，BC//OA,连接30并延长，交。。于点

D,连接/C,DC.若ND=40。,下列结论不正确的是（）

A.4=50。B.直线/。垂直平分C.ZA=-ZBD.ZACB-30°

2

3.（2023•江苏•统考中考真题）如图，是。。的直径,08c是。。的内接三角形.若NDAC=NABC,

AC=4,则的直径40=

4.（2022秋•江苏泰州•九年级校考阶段练习）如图，已知。。的直径。为。。上一点（不与A、3重

合），连接40、BD.弦DC平分/4D8,交48于点E,过点A作/尸，CD于点厂，交。。于点G,连

接。G,若DG=AE,则NG的度数为。.

5.（2023春・浙江杭州•九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形/BCD中48边上一点

（不与/、8重合），以CE为直径的。。分别交。£和（7。于点尸、M,DHLCE于点、H.

D

(1)求证：BE=CM

⑵猜想ZE与/龙的大小关系，并说明理由.

(3)当。尸=。"时，求的面积.

6.(2023秋•全国•九年级专题练习)如图，点8,C为OO上两定点，点N为。。上一动点，过点8作

BE//AC,交。。于点£,点。为射线2C上一动点，且NC平分/A4。，连接CE.

(2)连接瓦4,若BC=CD,试判断四边形EBC4的形状，并说明理由.

A【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】

1.(2023秋•江苏•九年级专题练习)如图，“8C是等边三角形，AB=2,点P是内一点，且

NBAP—NCBP=30°,连接“，则CP的最小值为()

A

2.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，正方形48CD中，/8=12,点尸为边ZM上一个动点，连接

CP,点E为上一点，且。£=4,在48上截取点。使尸，交CP于点连接则8M的最

小值为（）

A.8B.12C.4710-4D.V83-5

3.（2023・重庆・九年级统考学业考试）如图，四边形N3C。是矩形，N8=4,=6,点£是平面内的一个

动点，连接/£、DE,在运动的过程中，/E始终垂直于。E,将/E绕点A顺时针旋转90。得到的，连接

4.（2023・山东•统考中考真题）如图，在四边形/BCD中，ZABC=ABAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

点£在线段3c上运动，点厂在线段/£上，ZADF=ZBAE,则线段B尸的最小值为.

5.(2022秋・福建福州•九年级统考期中)正方形/BCD边长为4,点£为平面内一点，以CE为腰作等腰直

角ACEF,其中NE(卞=90。，可绕点C旋转.

(1)如图1,连接BE,DF.

①求证：ABCE”ADCF；

②判断BE与。尸的位置关系，并说明理由；

(2)设直线BE,。尸交于点尸，连接近，求/尸的最大值.

6.(2023・北京•统考中考真题)如图，圆内接四边形/BCD的对角线/C,BD交于点、E,BD平分N4BC,

I

(1)求证。8平分N/OC,并求2氏4。的大小；

(2)过点C作CR〃/。交48的延长线于点尸.若/C=4。，BF=2,求此圆半径的长.

J【经典例题六已知圆内接四边形求角度】

【例6】（2023•湖北黄冈•校考二模）如图，四边形N8CD内接于。。，连接08,OD,BD,若

NBCD=120°,则（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

W【变式训练】

1.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）如图，内接于0O,48=/C,点。是荔上一点，连接

AD,BD,若/。1C=1O。，则/。的度数为（）

A.110°B.140°C.120°D.130°

2.（2023・江苏•九年级假期作业）如图，E为正方形的边CD上一点（不与C、。重合），将ABCE沿

直线BE翻折到△AFE,延长E尸交4D于点G,点。是过5、E、G三点的圆劣弧EG上一点，贝U

3.（2023•江苏南京•校考三模）如图，四边形48co内接于。。，它的3个外角NE4B,NFBC,/GCD的度

数之比为1：2：4,贝！］/£>=

G

D

4.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在O3C中，点。为8C边上的一个动点，以为直径的。。交4D

于点£,过点C作CF〃4B,交。。于点尸.连接CE、EF,若/C是。。的切线.

(1)求证：NB4C=NCEF；

(2)若48=10,AC=6,CE=EF,求直径CD的长.

5.（2023•浙江杭州•统考二模）如图，四边形"BCD内接于。。，点C是弧AD的中点，延长4B到点E,使

得BE=AD,连结/C,CE.

⑴求证：AC-CE.

(2)若/。=46，48=6百，Z5CD=120°,求8c的长

【经典例题七求四边形外接圆的直径】

【例7】.（2021•广西贺州•统考二模）如图，四边形/2C。内接于。。，NABC:NADC=2:1,AB=2,点C

为筋的中点，延长/8、0c交于点E,且NE=60°,则。。的面积是（）

A.兀B.2»C.3乃D.47r

【变式训练】

1.（2023・四川德阳・统考一模）如图，。。半径为百，正方形/8CZ）内接于。。，点E在封上运动，连

接8瓦作/尸，8E,垂足为尸，连接CF.则CF长的最小值为（）

D,也

C.V2-1

2

2.（2023•陕西西安・陕西师大附中校考三模）在菱形Z3CD中，AD=2ND=60。，/胡厂的两边分别交

边DC、CB于点、E、F,且N&4尸=60。，记△/所的外心为点尸，则尸、C两点间的最小距离

3.（2022秋・广东广州•九年级校考期末）如图，线段3C的两个端点分别在x轴和直线/上滑动（均不与原

点。重合），/a=60。，BC=2,作轴，CP11,交点为尸，设P的坐标为（P，4）,则

2,2

p+q

4.（2023•福建龙岩・统考一模）已知菱形/BCD中，NBAD=120°,点£、尸分别在N8,2C上,

BE=CF,AF与CE交于点、P.

⑴求证：NAPE=60°；

（2）当PC=1,P/=5时，求PD的长?

⑶当N8=2仃时，求尸。的最大值？

5.（2023秋・江苏连云港•九年级统考期中）定义能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆

盖圆.

⑴如图①，线段/3=3,则线段的最小覆盖圆的半径为；

（2）如图②，Rt/X/BC中，ZA=90°,AB=y/l,AC=3日请用尺规作图，作出的最小覆盖圆

（保留作图痕迹，不写作法）.此最小覆盖圆的半径为

（3）如图③，矩形N5CD中，AB=3,BC=5,则矩形23CD的最小覆盖圆的半径为；若用两个等

圆完全覆盖该矩形/BCD，那么这两个等圆的最小半径为

4【经典例题八圆周角综合问题】

【例8】（2023春•重庆开州•八年级统考期末）如图，以直角三角形/8C的斜边为边在三角形43C的同

侧作正方形正方形的对角线BE相交于点O,连接C。，如果/C=l,CO=2®，则正方形

C.24D.26

【变式训练】

1.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，正方形N8CD中，AB=\2,点尸为边1上一个动点，连接

CP,点、E为CD_L一点、,且。£=4,在48上截取点。使