圆中的重要模型之四点共圆模型（原卷版）

专题31圆中的重要模型之四点共圆模型

四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共

圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点

共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点

共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）

【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于

定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点。、4、B、C、D,使得O4=0B=0C=0D,

结论：/、B、C、。四点共圆（其中圆心为O）。

例1.（2023春•广东梅州•九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板N5C的斜边42重合

（AB=6）,其中量角器0刻度线的端点N与点/重合，射线CP从C4处出发沿顺时针方向以每秒3度的

速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点£,第20秒时点E在量角器上运动路径长是—.

例2.（2021,浙江嘉兴•统考中考真题）如图，在A43c中，/BAC=90。,4B=/C=5,点。在4C上，且

4。=2,点E是上的动点，连结。E,点尸，G分别是3C,的中点，连接/G,FG,SAG=FG

时，线段。E长为（）

AEB

例3.（2023•江苏淮安•统考三模）如图，将矩形/BCD的边48绕点/逆时针旋转得到"，连接8尸，过点

。作B尸的垂线，垂足E在线段8尸上，连接CE.若4D=3,AF=C，则/DEC的度数为°.

例4.2021•湖北随州•统考中考真题）如图，在RtA/8C中，ZACB=90。,。为的中点，0。平分//OC

交/C于点G,OD=OA,AD分别与/C,OC交于点E,F,连接4D,CD,则g=的值为；若

模型2、定边对双直角共圆模型

同侧型异侧型

1）定边对双直角模型（同侧型）

条件：若平面上B、C、。四个点满足/48。=44。=90。,

结论：/、B、C、。四点共圆，其中AD为直径。

2）定边对双直角模型（异侧型）

条件：若平面上/、B、C、。四个点满足NABC=N4DC=90。,

结论：4、B、C、。四点共圆，其中NC为直径。

例1.（2021,湖北鄂州,统考中考真题）如图，四边形/ADC中，AC=BC,乙4c2=90。，AD工BD于点、

D.若BD=2,CD=4A/2.则线段的长为

例2.（2022春•山东•九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线

相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,NE是―白？中乙4的遥望角.①若乙4=40。，直接写出NE的度数是；

②求乙E与乙4的数量关系，并说明理由.（2）如图2,四边形/5CD中，UBC=UDC=90。，点、E在BD

的延长线上，连CE,若N8EC是―台。中NH4C的遥望角，求证：DA=DE.

例3.（2022•湖北武汉•校考二模）如图，等腰RQABC中，ZACB=90°,D为BC边上一点，连接AD.

（1）如图1,作BE_LAD延长线于E,连接CE,求证：NAEC=45。；

（2）如图2,P为AD上一点，且NBPD=45。，连接CP.若AP=2,求aAPC的面积；

例4.（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AABC=AADC=90°,E是

AC的中点，F是BD的中点，若ZBAC=15°,ZDAC=45°,CD=4,贝1|EF的长为()

C.2D.273

模型3、定边对定角共圆模型

条件：如图1,平面上aB、C、。四个点满足/〃）5=4C8,结论：4、B、C、。四点共圆.

条件：如图2,AC.BD交于H,AHCH=BHDH,结论：4B、C、。四点共圆.

例1.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在RS/8C中，乙BAC=90°,乙48c=40。，将绕N点顺时

针旋转得到“DE,使D点落在BC边上.

（1）求乙B4D的度数；（2）求证：/、D、B、E四点共圆.

例2.（2023・浙江绍兴•九年级校联考期中）如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如图2,在底

边BC上取一点D,连结AD,使得NDACNACD.如图3,将4ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点

E处，连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是（）

例3.（2022・江苏无锡・中考真题）A48C是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线

AD与直线/£交于点尸.如图，若点。在A42c内，3BC=20。,则42/尸=°；现将△£＞可绕点C

旋转1周，在这个旋转过程中，线段/斤长度的最小值是

例4.（2022・贵州遵义,统考中考真题）探究与实践："善思"小组开展"探究四点共圆的条件”活动，得出结论

对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：如图1,在线段/C同侧有两点3,D,连接40,AB,BC,CD,如果48=/。，那么A,

B,C,。四点在同一个圆上.

图4

探究展示如图2,作经过点A,C,。的。。，在劣弧/C上取一点E（不与A,C重合），连接NE,CE

则N/EC+ND=180。（依据1）

•.­/B=NDNAEC+Z5=180°

.,.点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

:•点、B,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

二点A,B,C,E四点在同一个圆上

⑴反思归纳：上述探究过程中的“依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）图3,在四边形/BCD中，/1=/2,N3=45。，则N4的度数为.

⑶拓展探究：如图4,已知。8C是等腰三角形，A8=/C,点。在2c上（不与BC的中点重合），连接

4D.作点C关于4D的对称点E,连接班并延长交4D的延长线于尸，连接NE,DE.①求证：A,

D,B,E四点共圆；②若AB=2亚,/D2尸的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请

说明理由.

模型4、对角互补共圆模型

条件：如图1,平面上aB、C、。四个点满足//8C+乙4DC=180。，结论：A.B、C、。四点共圆.

条件：如图2,BA、CD的延长线交于P,PA-PB=PDPC,结论：A.B、C、D四点共圆.

1.（2023・浙江•统考中考真题）如图，在四边形N3CD中，AD//BC,ZC=45°,以N8为腰作等腰直角三角

形A4E,顶点E恰好落在边上，若40=1,则CE的长是（）

BC

A.V2B.—C.2D.1

2

例2.（2023•河南周口•校考三模）在中，CA=CB,M是“8C外一动点，满足

DCAM+E）CBM=180°,若NCK4=60。，MA=4,MB=2,则MD的长度为

例3.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，AB1BC,AB=5,点E、尸分别是线段48、射线BC上的动

点，以EF为斜边向上作等腰RtADEF,E）D=90。，连接AD,则4D的最小值为

例4.（2023•山东日照•统考中考真题）在探究"四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出:

在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,“8C中，AB=AC,ABAC=a（60。<a<180。）.点。是8c边上的一动点（点。不与8,C重

合），将线段绕点N顺时针旋转a到线段/E,连接BE.

图2备用图

（1）求证：A,E,B,。四点共圆；（2）如图2,当时，。。是四边形NEAD的外接圆，求证：/C是

。。的切线；（3）已知a=120。，BC=6,点M是边5c的中点，此时。P是四边形NEAD的外接圆，直接写

出圆心P与点M距离的最小值.

课后专项训练

1.（2023秋•河北张家口•九年级校考期末）如图①，若8c是RtA48c和RtADBC的公共斜边，则/、B、

C、。在以2C为直径的圆上，则叫它们“四点共圆如图②，的三条高40、BE、C/相交于点

则图②中“四点共圆，，的组数为（）

2.（2023・安徽合肥•校考一模）如图，。是AB的中点，点8,C,。到点。的距离相等，连接NC,BD.下

列结论不一定成立的是（）

A./1=/2B./3=/4C.ZABC+ZADC=D.AC平分NB4D

3.（2023•江苏宿迁•九年级校考期末）如图，在RtA4BC中，44c8=90。，BC=3,/C=4,点P为平面

内一点，S.ZCPB=ZA,过C作C0LCP交PB的延长线于点Q,则CQ的最大值为（）

r4指D.还

55

4.（2023•北京海淀•九年级校考期中）如图，点。为线段42的中点，点8,C,。到点O的距离相等，连

接/C,&X请写出图中任意一组互补的角为和（不添加辅助线，不添加数字角标和

字母）

5.（2023•广东•二模）如图，点。为线段3c的中点，点4C、。到点。的距离相等，若乙12C=50。,则

的度数是0

6.（2023•浙江金华•统考二模）如图，在。8C中，=75°,/C=45°,BC=6-2日P是上一动

点，PELAB于点、E,POL/C于点。，则线段DE的最小值为（）

A.y/3B.1C.3>/3-3D.473-6

7.（2023,浙江•模拟预测）如图，RtZk/BC中，AB=AC=12亚,RtZk4DE中，4D=AE=6也，直线BD

与CE交于尸，当NE/Z）绕点A任意旋转的过程中，尸到直线距离的最大值是.

8.（2023春・湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，在“BC中，点。为3c上一点，/4DC=60。，点E

在线段40上，/BEC=120°,若BC=36,AE=25则/C的最大值为

9.（2023•广东惠州•九年级校考阶段练习）如图，将。BC绕点/逆时针旋转90°,得至IJV4DE,其中点8与

点。对应，点C与点£对应.（1）画出VADE.（2）直线2C与直线相交于点尸，证明：A,C,F,E四

点共圆.

10.（2023・湖北九年级课时练习）如图1,“8C中，AC=BC=4,A4C5=90°,过点C任作一条直线CD,

将线段8c沿直线8翻折得线段CE,直线/E交直线CD于点尸.直线5E交直线CD于6点.

（1）小智同学通过思考推得当点E在N8上方时，UEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下

推理过程：

•：AC=BC=EC,；.A、B、£三点在以C为圆心以NC为半径的圆上，

：.^AEB=—^ACB,（填写数量关系）

：.Z-AEB=°.

⑵如图2,连接8尸，求证/、B、F、C四点共圆；

⑶线段/E最大值为一，若取3c的中点〃，则线段的最小值为一.

11.（2023春・重庆南岸•八年级校考期末）已知：菱形/BCD的对角线/C、8。交于点。，以/。为斜边构

造等腰放△/£〃，连接BE.

B

图2

⑴如图1,若/。48=60。，40=4,求AAED的面积.（2）如图2,延长DE交48于点尸，过点。作。G_LCD

于点G,过点C作。〃，。尸于点〃，CH与OG交于点、M,且。河=3尸.求证：AO=142BE.

12.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）问题提出如图1,点£为等腰A/8C内一点，AB=AC,

ABAC=a,将/E绕着点N逆时针旋转a得到4D,求证：AABE为ACD.

尝试应用如图2,点D为等腰RtA/BC外一点，AB=AC,BD^CD,过点/的直线分别交的延长

线和的延长线于点N,M,求证：S^ABN+S^ACM=^AN-AM.

问题拓展如图3,AABC中，4B=AC,点D,E分别在边AC,2c上，NBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于点若CE=a,AH=b,直接写出BE的长度（用含a,6的式子）.

13.（2023•江苏•九年级假期作业）综合与实践

“善思"小组开展"探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：如图1,在线段NC同侧有两点3,D,连接4D,AB,BC,CD,如果乙8=〃>,那么B,C,

D四点在同一个圆上.

探究展示：如图2,作经过点/,C,。的O。，在劣弧NC上取一点E（不与4,C重合），连接/瓦CE,

则ZAEC+AD=180。（依据1）

,:乙B=幺D山£C+N8=180°

・•.点/,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•点B,。在点N,C,E所确定的。。上（依据2）

.•.点/,B,C,。四点在同一个圆上

⑴上述探究过程中的“依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：—;依据2：.

（2）如图3,在四边形/BCD中，Z1=Z2,43=45。，贝比4的度数为.

拓展探究：⑶如图4,已知A48C是等腰三角形，/8=NC,点。在8C上（不与8C的中点重合），连接

ND.作点C关于AD的对称点£,连接£8并延长交/。的延长线于尸，连接/£,DE.①求证：A,D,

B,E四点共圆；②若AB=2母,/D•/尸的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理

由

14.（2022•江苏扬州•模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中

4D4B=45。,^CAB=30°,点。为斜边48的中点，连接CD交N8于点£.设N8=l.

（1）求证：/、B、C、。四个点在以点。为圆心的同一个圆上；

（2）分别求ZU8C和A48。的面积；（3）过点。作。尸|山。交48于点尸，求。£：O尸的比值.

C

D

15.（2023•重庆九年级课时练习）如图，四边形/BCD内接于。。，对角线/C/AD,垂足为E,CF1AB

于点尸，直线CF与直线8。于点G.

（1）若点G在。。内，如图1,求证：G和。关于直线4C对称；

（2）连接/G,若AG=BC,且NG与。。相切，如图2,求/A8C的度数.

16.（2023•江苏•九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形/BCD中，NB=ND=90。，求证：/、B、

C、D四点共圆.

小吉同学的作法如下：连结/C,取NC的中点。，连结08、0D,请你帮助小吉补全余下的证明过程;

【问题解决】如图②，在正方形48CD中，AB=2,点E是边CD的中点，点尸是边8C上的一个动点,

连结AF,作尸于点尸.

（1）如图②，当点尸恰好落在正方形/BCD对角线2。上时，线段/尸的长度为

（2）如图③，过点尸分别作于点PNLBC于HN,连结则MN的最小值为

图①

17.（2023春•江苏南京•九年级校联考阶段练习）在和Rt△。所中，ZC=ZF=90°,

NB=NE=30°,AC=AF=6,用这两个直角三角形研究图形的变换.

图1图2图3

【翻