高中数学《本章综合》教学设计

《本章综合》教学设计一知识结构图内容考点关注点第三章函数的定义域式子有意义求函数的解析式函数的定义域函数的奇偶性定义域关于原点对称、定义函数的单调性单调性相对于区间而言函数的应用转化为函数问题二.学法指导1.已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．3．巧用奇偶性及单调性解不等式1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1<fx2或fx1>fx2的形式.2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.4.对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．5．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．三.知识点贯通知识点1求函数的定义域求函数定义域的常用方法：1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.例1.(1)求函数y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9)的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．【解析】(1)解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)a)))).知识点二求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.2已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数），使用待定系数法.3含fx与f－x或fx与eqf\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程组法.4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.例题2：(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则f(x)的解析式为______．(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))（2）f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【解析】(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq\r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝eq\r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq\r(－x)－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))(2)令t＝eq\f(1＋x,x)＝eq\f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq\f(1,t－1)代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，得f(t)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2)＋eq\f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．知识点三函数的性质及应用1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.2.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。3.函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x);函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)。例题3.已知函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．【解析】(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))故f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)任取－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋xeq\o\al(2,1)>0,1＋xeq\o\al(2,2)>0.又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．知识点四函数的应用例题4．某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？【解析】由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x>60，))fB(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq\f(3,10)(n＋1)＋18－eq\f(3,10)n－18＝0.3，(n>500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)<fB(x)．当x>500时，fA(x)>fB(x)．当60<x≤500时，168＝eq\f(3,10)x＋80，解得x＝eq\f(880,3).当60<x<eq\f(880,3)时，fB(x)>fA(x)；当eq\f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．即当通话时间在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．五易错点分析易错一函数的定义域例题5.函数f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) 【答案】D【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq\f(1,3)，故选D.误区警示

求函数的定义域，应使得式子有意义。实际问题要注意实际意义。易错二集合中元素的互异性例题6.函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是增函数，解不等式：f(t－1)＋f(t)<0【解析】由f(t－1