第6章平面图形的初步认识数学探究鸡蛋饼的分割教案2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学上册

苏科版七上第六章平面图形的初步认识数学探究《鸡蛋饼的分割》

一、教学目标1.进一步巩固本章所学的基本概念;2.经历从生活中发现问题，将生活问题转化为几何问题的过程，培养抽象能力.

二、学习目标经历直线分平面的过程，将数学复杂问题简单化；学会将生活问题抽象成数学问题.

三、教学重点从实际情境中抽象出数学问题，从具体情境中探究一般规律.

四、教学难点通过具体操作，从简单的情形入手，建立数学模型.

五、教学过程情境导入早晨，小明帮妈妈将鸡蛋饼切成6块，分给弟弟和妹妹吃.爱动脑的小明思考：如果每次都沿直线切割，而且切块大小不要求相同，那么切3刀最多可以将鸡蛋饼分成多少块呢？数学问题：鸡蛋饼可以看成一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题实际上是直线分平面区域问题.师生活动：学生代表讲，其他同学倾听．设计意图：引导学生自主将实际问题进行抽象，从实际情境中发现问题、提出问题.新知探究探究1.一条直线上有n个点可以将这条直线分成多少段？线段上点的个数12345...n直线被分成段数23456...n+1答：一条直线上有n个点可以将这条直线分成(n+1)段.师生活动：师生互动，交流讨论.设计意图：探究点分直线问题为学习直线分平面问题做铺垫.探究2.平面上三条直线有哪几种不同的位置关系？分别画出相应的图形.答：平面上三条直线的位置关系有：平行和相交.交点个数分别为：0,1,2,3.师生活动：师生互动，交流讨论.设计意图：探究直线的位置关系为学习直线分平面做铺垫.探究3.一个平面上的若干条直线最多可以将这个平面分成多少个区域？分割线条数12345…区域个数24711？…n条直线呢？图形直线(条)1条2条3条4条5条交点(个)0个1个(1+2)个(1+2+3)个(1+2+3+4)个平面分成区域数(块)1+11+1+21+1+2+31+1+2+3+41+1+2+3+4+5一个平面上的n条直线最多可以将这个平面分成[1+n(n+1)思考：切3刀鸡蛋饼最多被分成多少块呢？4刀呢？答：7块；11块.通过探究过程，探究一般规律的方法:(1)每多出一条直线，需要分析这条直线被它与之前所在直线的交点分成了多少段，每一段对应多出一块区域.由此，直线分平面区域的问题就转化成了点分直线的问题.(2)探究的是切n刀将鸡蛋饼分成的块数最多的问题，所以要保证每多出一条直线，就要与前面的直线都相交，且交于不同的点，因此要理清直线之间的位置，思考如何保证分割的块数最多.师生活动：师生互动，交流讨论.设计意图：运用类比法将直线分平面问题转化为点分直线问题，教师引导学生从简单的情形入手，探究一般的规律，培养学生的推理能力.三、应用举例：例12条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；…n条直线相交，交点最多有1+2+3+4+…+(n−1)=n(n−1)2变式：在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？解：将n＝16代入n(n−1)2得16×152=120，师生活动：老师提问，学生举手回答问题．设计意图：培养学生的应用意识.四、课堂练习1.a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有(

)个．A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为()A．18 B．20 C．22 D．243.观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成部分．4.(1)如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成个部分．(2)如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有条．5.(1)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成个部分;(2)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分(用m、n的代数式表示)．1.B解析：C解析：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1；平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21(个)，即n＝21，所以m+n＝22.所以选C7、11、37、1+(1)73;(2)31条.解析：(1)根据10条直线将平面分成了50个部分，少了6个部分，再按12条直线，计算出平面的个数减去6，即可得出结论；(2)根据公式1+n(n5.(1)26;(2)m2解析：(1)一条直线和一个圆最多将平面分成2+2×1＝4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2＝8部分......五条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5＝26个部分；(2)当m＝0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2n+2)个部分；当m≠0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(m2+m师生活动：学生独立完成，教师批阅.设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.五、课堂小结设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.六、课后作业完成课本上的相关练习题；

六、教学反思1.实例引入：使用生活中的实例来引入，使抽象的分割问题更易于理解.例如，将鸡蛋饼看成是一个圆面.2.活动式学习：设计一些实践活动，让学生在操作中学习数学，鼓励学生动手分平面区域，这样既能提高学生的动手能力，也能加深他们对知识的理解.3.鼓励提问：鼓励学生运用类比点分直线法探究线分平面的规律，类比所学将平面拓展到空间，培