湘教版七年级数学下册解题技巧之与二元一次方程组解法有关的问题 压轴题五种模型（原卷版）

专题01解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻

略

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目录

尸;I

事【典型例题】.............................................................................1

【考点一求二元一次方程的正整数解】.......................................................1

【考点二解二元一次方程组】...............................................................1

【考点三二元一次方程组的错解复原问题】...................................................2

【考点四二元一次方程组的特殊解法】.......................................................4

【考点五新定义型二元一次方程组问题1..........................................................................5

—【过关检测】..........................................................................6

I*【典型例题】

【考点一求二元一次方程的正整数解】

例题：二元一次方程2x+3y=ll的正整数解有（）

A.1组8.2组C.3组D4组

【变式训练】

1.二元一次方程2x+y=8的正整数解有（）

A.1组8.2组C.3组D4组

2.方程4x+3〉=20的所有正整数解为.

【考点二解二元一次方程组】

例题：解二元一次方程组

y=x-l2尤+y=7

⑵

5元+2>=127x-3y=5

【变式训练】

1.解方程组:

x+1

3x—y=12

r

2x+y=13

2（%+l）-y=22

2.解方程组:

【考点三二元一次方程组的错解复原问题】

例题：(2023下•七年级课时练习)下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的

问题：

3x—y=4①

解方程组:

6九—3y=10②

解：①x2,得6x—2y=8.③...第一步

②—③,得一尸2,...第二步

解得y=-2....第三步

把y=-2代入①，得3尤一(-2)=4....第四步

解得尤=2....第五步

x=2

）=2

⑴这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学从第步开始出

现错误；

⑵请写出此题正确的解答过程.

【变式训练】

fx+2y=8

1.（2023下•浙江台州•七年级统考期末）小明解二元一次方程组L'，的过程如下：

[2x-y=l

卜+2y=8①

*：[2x-y=l®

第1步：①两边同乘以2,得2x+4y=16,③（）

第2步：③一②，得3y=15,（）

第3步：y=5.

第4步：把y=5代入①，得x+10=8,x=-2.

[x=-2

第5步：所以原方程组的解是,」

⑴请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据.

⑵小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解

题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解.

2.（2023・山西忻州•校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.

x-2y=1①

解方程组:

3x+y=-2②

解：①x3,得3x-6y=3.③…第一步

②-③，得-5,=-5.…第二步

y=l.…第三步

'=1代入①，得尤=3.…第四步

（x=3

所以，原方程组的解为.……第五步

填空:

①以上求解步骤中，第一步的依据是

②第二步的基本思想是"消元"，即把"二元"变为"一元"，在此过程中体现的数学思想是（填序号）;

A.数形结合B.类比思想C.转化思想D.分类讨论

③小彬同学的解题过程从第步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：

【考点四二元一次方程组的特殊解法】

例题：（2023下•山东济宁•七年级统考期末）阅读下列材料，解答问题：

5（x+v）-3（x-y）=2一一f5，w-3〃=2

材料：解方程组.A，若设龙+y=7/，x-y=n,则原方程组可变形为.，/，用

2（x+y）+4（.x-y）=612机+4〃=6

\m=l（x+y=1[x=1

加减消元法得,,所以•,,在解这个方程组得C，由此可以看出，上述解方程组过程中，

[n=11x-y=l[y=O

把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法.

x+yx-y

问题：请你用上述方法解方程组F=F.

2（x+y）—3尤+3y=25

【变式训练】

1.（2023上•陕西咸阳•八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组

「3（根+5）-2（〃+3）=-1

JO°r时，采用了一种"整体换元"的解法，把加+5,W+3分别看成一个整体，设m+5=x,

[3（/77+5）+2+=7

3x—2y=-1X=1m+5=1m=-4

n+3=y,则原方程组可化为3-，解得"2,即〃+3=2,解得

n=-1

请你模仿乐乐同学的"整体换元”的方法，解下列方程组：

3(x+y)-2(6x-y)=1

(1)

(x+y)+(6x-y)=7'

"+3=7

23

(2)

x+yx-y

----------------=—i1

34

2.(2023上•全国•八年级专题练习)阅读题：解方程组+

[(x+5)-(y-4)=4

m+n-8

解：设x+5=〃z,y-4=n,则原方程组可化为

m-n=4

m=6x+5=6x-\

解得即一，所以

y=6

这种解方程组的方法叫换元法.

⑴运用上述方法解方程组[匕-1)：2,+

[2(x—l)+(y+2)=o

⑵已知关于尤，y的方程组=G的解是[=请你直接写出关于x,y的方程组

[a2x+b2y=c2[y=3

5q(%+2)+34(y-3)=cx

的解.

5a2(x+2)+3%(y-3)=c2

【考点五新定义型二元一次方程组问题】

例题：(2023下•福建厦门•七年级厦门市湖滨中学校考期中)我们定义：若整式M与N满足：M+N=k(k为

整数)，我们称“与N为关于左的平衡整式.例如，若2x+3y=4,我们称2x与3y为关于4的平衡整式.

⑴若2a-5与痴+9为关于1的平衡整式，求。的值；

⑵若3尤-10与＞为关于2的平衡整式，2x与5y+10为关于5的平衡整式，求x+y的值.

【变式训练】

1.(2023下•江苏苏州•七年级统考期末)对于有理数无、y定义一种新运算啕J规定x国＞=◎-勿+2,等式

右边是通常的四则运算.例如：2m=2a-b+2.

(1)若1EI(T)=T,302=4,求服b的值；

⑵若运算"因’满足交换律，即对于任意有理数小y且工片儿都满足了回＞=y回x,求服人之间的数量关系.

2.（2023下•湖北十堰,七年级校考阶段练习）对于有理数x,»定义新运算：x*y=2x-y,x（8）y=2尤+y,

其中a,6是常数.例如1*1=1,302=8.

I*尤*y=4一

⑴若关于x,y的方程组丁c的解也满足方程尤+V=5,求根的值；

[x^9y=Dm

（2）若关于x,y的方程组]“二?二G的解为[=求关于x,y的方程组[的解.

[a2x0b2y=c2[y=5[a2（x-y）=c2

一、单选题

1.（2023下•浙江温州•七年级校联考阶段练习）二元一次方程3%+y=15的正整数解共有（）组

A.3B.4C.5D.6

2.（2023下•浙江•七年级校联考阶段练习）对于任意实数。，b,定义关于“③〃的一种运算如下：

〃区/?=2〃一力.例如3应4=2x3-4=2.若xoy=2,且y（8）x=4,则％+>的值为（）

A.6B.7C.8D.9

I-2几=3。

3.（2023下•黑龙江牡丹江•七年级统考期末）已知根，〃满足方程组。Z则m+n-a的值是（）

[2机+5〃=9

A.4B.-4C.3D.-3

二、填空题

4.（2021下•上海浦东新•六年级上海中学东校校考期中）二元一次方程2无+5y=15的正整数解是

5.（2023下•四川•七年级统考期末）对于实数久b,定义关于"③"的一种运算：a®b=2a+b,例如：

304=2x3+4=10.若x®(-y)=2,(2y)0x=l,则％+>的值是

6.（2023上•安徽安庆•七年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）已知关于％,y的二元一次方程组

[a.x+hy=c,[x=3f3a,x-b,y=c

1'•।的解为〃则关于X,y的方程组।的解为

[a2x+b2y-c21>=4\3a2x-b2y=c2

三、解答题

7.(2024下•全国•七年级假期作业)解方程组：

-4(x-2y)=5①

⑴[x-2y=1②

士工2(尤+1)=-3①

(2)2

2元+y=3②

8.（2023上•山东青岛•八年级校考阶段练习）解方程组:

3m-2n=7

(1)

m+2n=5'

x-y=l

⑵

4元=3•

一,(限用代入法)

(3)

3x+2y=2

fq=6

(4)=23

2(x+y)-3%+3y=24

3x+2y=1①

9.（2023上•河南郑州•八年级校考期末）下面是小华同学解方组的过程，请你观察计算过程,

Ax-y--6(2)

回答下面问题.

解得：②x2得:8x-2y=-6③..................................(1)

①+③得：llx=-7.................(2)

7qg

将X=—(代入②得：y=^(3)

7

x=---

11

所以该方程的解是(4)

38

y=一

11

⑴以上过程有两处关键性错误，第一次出错在步（填序号），第二次出错在步（填序号）;

⑵请你帮小华同学写出正确的解题.

10.（2023下•贵州遵义•七年级校联考期中）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成

相应的任务：

乙f3x-y=4①

解万程组：3二。②,

解：①x2,得6元-2y=8③…第一步；

②-③，得6x-3y-（6x-2y）=2；

将y=2代入①，得x=2…第二步；

fx=2

所以，原方程组的解为〜..第三步；

⑴这种求解二元一次方程组的方法叫做—法，以上求解步骤中，第一步的依据是—；

（2）第一步开始出现错误，具体错误是一；

（3）直接写出该方程组的正确解：—.

11.（2024下•全国•七年级假期作业）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目:

x+3y-5

=3①

小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下:

x+3y-5

=一1②

F3-

%+3・=〃，则原方程组可化为m+n=3

解：设〒…

m-n=—\

x+3

=1Ox=

解方程组，得二即<解得[=

[n=2y-5

⑴请你把小华的做法填写完整;

3x-2，+3x+2y1

⑵请你根据小华的做法，解方程组：°63

3x-2y3x+2y

~~63-

12.（2023下,广西南宁•七年级南宁市第四十七中学校考期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组

3(m+5)-2(n+3)=-l

。二c二r时，采用了一种"整体换元"的解法.把加+5,〃+3看成一个整体，设m+5=x,

3(m+5)+2(n+3)=7

3x-2y=-1x=l"2+5=1m=-4

〃+3=y,则原方程组可化为3-，解得即〃+3=2,解得

j=2'n=-l

尤+y产二_，1