湘教版七年级数学下册解题技巧之平行线中拐点问题 压轴题五种模型（解析版）

专题10解题技巧专题：平行线中拐点问题压轴题五种模型全攻略

.【考点导航】

目录

1

修【典型例题】.............................................................................1

【考点一平行线中含一个拐点问题】.........................................................1

【考点二平行线中含两个拐点问题】........................................................8

【考点三平行线中含多个拐点问题】.......................................................13

【考点四平行线中在生活上含拐点问题】....................................................19

【考点五平行线与平移综合拐点问题】......................................................24

尸

莘【典型例题】

【考点一平行线中含一个拐点问题】

例题：（2024上•甘肃白银,八年级统考期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图

形，我们就把这个图形的形象称为"猪蹄模型"，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系.

【问题探究】（1）如图1,AB//CD,E为AB、CO之间一点，连接AE、CE.可以得到—AEC与/A、

NC之间有怎样的数量关系，并说明理由.

【灵活应用】（2）如图2,直线AB〃CD,若NE=ZB=60。，N尸=85。，求—D的度数.

【答案】（1）ZAEC=ZA+Z.C,理由见解析；（2）25°

【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定

定理，并能熟练应用.

（1）过点E作EP〃AB,利用平行线的性质即可解答；

（2）先利用三角形的内角和定理可得/3HF=35。，从而利用对顶角相等可得NAHE=N3HF=35。，然后

利用"猪蹄模型"可得ZE=ZAHE+ND,最后进行计算即可解答.

【详解】(1)ZAEC=ZA+ZC,

理由：如图，过点E作砂〃AB,

ZA=ZAEP,

AB//CD,

EP//CD,

ZC=ZCEP,

ZAEC=ZAEP+ZCEP,

ZAEC=ZA+ZC；

（2）;ZB=6QP,N尸=85°,

ZBHF=180°-ZB-ZF=35°,

ZAHE=NBHF=35°,

AB//CD,

..・由（1）可得：ZE=ZAHE+ZD,

ZD=ZE-ZAHE=60°-35°=25°,

ZD=25。.

【变式训练】

1.（2024上•山西长治•七年级统考期末）如图，ABCD,ZPAB=,/PCD=120。，则/APC的度数

C.120°.110°

【答案】D

【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键.过P作直线

MN//AB,根据两直线平行，同旁内角互补即可求出/APN,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可

得MN〃CD,进而可求出Z2VpC,从而求出，APC.

【详解】解：过尸作直线肱V〃Afi,如下图所示，

SMN//AB,ZPAB=130°,

BZPAB+ZAPN=180°（两直线平行，同旁内角互补），

0ZAPN=180°-ZPAB=50°,

^MN//AB,ABCD,ZPCD=120°,

0MN〃CD,

0ZPCD+ZNPC=l80°,

SZNPC=60°,

EZAPC=ZNPC+ZAPN=60°+50°=110°,

故选：D.

AB

M--------------------------------N

C---------------D

2.（2023上•吉林长春•七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，己知，AB〃CD,点M在A3上，点N

在8上.求证：ZMEN=ZBME+Z.DNE.

【类比迁移】（2）如图②，NF、NBMF、/DNF的数量关系为（不需要证明）

【结论应用】（3）如图③，已知A3〃OE,ZBAC=120°,ZD=80°,则NACE>=_。.

图①图②图③

【答案】（1）见解析；（2）ZF=ZBMF-ZDNF-（3）20

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键.

（1）过点£作印〃四，根据平行线的性质可求解；

（2）如图②，过F作FH〃AB,根据平行线的性质即可得到结论；

（3）如图③，过C作CG〃AB,根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图①，过点E作EF〃AB,

又回AB〃CD,

^\EF//CD,

:.ZNEF=ZDNE,

ZMEN=ZMEF+ZNEF,

即ZMEN=NBME+/DNE；

(2)解：ZBMF=ZMFN+AFND.

证明：如图②，过尸作bKAB,

图②

:.ZBMF=ZMFK,

团AB〃CD,

国FKCD,

.\ZFND=ZKFN,

ZMFN=ZMFK-ZKFN=ZBMF-ZFND,

即：ZBMF=ZMFN+AFND.

故答案为：ZBMF=ZMFN+ZFND；

(3)如图③，过C作CG〃A3,

ZGCA=1SO°-ZBAC=60°f

^\AB//DE,

团CG〃OE,

/.ZGCD=Z.CDE=80°,

ZACD=20°,

图③

故答案为：20.

3.（2024下•全国•七年级假期作业）如图①，已知直线:〃乙，且4和24分别交于两点,乙和44分别

交于CO两点，点尸在线段A3上，设ZACP=Nl,NBDP=N2,NCPD=N3.

⑴试找出行，2,?3之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，点A在点8的北偏东40°的方向上，在点C的北偏西45。的方向上.应用（1）中的结论求NBAC

的度数；

（3）如果点尸在直线4上且在线段AB外侧运动（点尸和A2两点不重合），其他条件不变，试探究Nl,Z2,

N3之间的关系.

【答案】⑴N1+N2=N3.理由见解析

(2)ZBAC=85°

⑶Nl,Z2,N3之间的关系为/3=/1-/2或N3=N1-N2

【详解】(1)Z1+Z2=Z3.理由如下：

.".Zl+ZPCD+ZPDC+Z2=180°.

在三角形尸CD中，Z3+ZPCD+ZPDC=180°,.-.Z1+Z2=Z3.

(2)由(1)可知，ABAC=ZDBA+ZACE=40°+45°=85°.

(3)①当点P在54的延长线上时，如图①所示.过点P作P尸〃乙，交乙于点/，则4=NEPC.

1//l2,:.PF//l2,:.Z2=ZFPD.

Z3=/FPD-/FPC,.-.Z3=Z2-Z1；

②当点尸在AB的延长线上时，如图②所示.过点尸作PG〃/2,交乙于点G,则N2=NGP”

lx//l2,:.PG//l{,Z1=ZCPG.

Z3=NCPG-ZGPD,Z3=Z1-Z2.

综上所述，Zl,Z2,N3之间的关系为N3=N1-N2或N3=N1-N2

4.（2024上•安徽安庆•八年级统考期末）问题情境:如图1,AB//CD,ZPAB^130°,NPCD=120。，求，APC

的度数.

问题迁移：

图1图2图3

⑴如图2,AD〃台C,点P在射线OA/上运动，当点尸在A,B两点之间运动时，ZADP=Za,NBCP=2/3,

求/CPD,Za,4之间有何数量关系？请说明理由.

⑵在（1）的条件下，如果点尸在A,2两点外侧运动时（点P与点48,。三点不重合），请直接写出/CPD,

"”之间的数量关系.

【答案】（1）NCPO=NC+N/7,理由见解析

（2）NCPD=N/7—N（z或ZCPD=Za-Z/?

【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用；

（1）过尸作交CD于E,推出&£>〃尸E〃台C,根据平行线的性质得出Nc=4>PE,N0=NCPE,

即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点尸在&L的延长线上，②点P在A3的延长线上），根据平行线的性质

得出=N/3=NCPE,即可得出答案.

【详解】（1）ZCPD=Za+Z^,理由如下：

如图3,过P作尸E〃AD交C£＞于E,

^\AD//BC,

^AD//PE//BC,

田Na=/DPE,Zj3=ZCPE,

图3

(2)当P在AB延长线时，ZCPD=Z/3-Za；

理由：如图4,过尸作PE〃AT＞交于E,

BAD//BC,

SAD//PE//BC,

BZa=ZDPE,ZJ3=ZCPE,

fflZCPD=ZCPE-NDPE=—Na；

图4

当P在30之间时，ZCPD=Za-Z/3.

理由：如图5,过户作PE77AD交8于E,

SAD//BC,

SAD//PE//BC,

SZa^ZDPE,N0=NCPE,

0ZCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N0.

M

/A

N~pICE

图5

;.4CPD=4a-40

综上所述，ZCPD,Za,4之间的数量关系为NCP£)=N/?—Nc或NCPr>=N(z—N6.

【考点二平行线中含两个拐点问题】

例题：(2024上•重庆•七年级重庆八中校考期末)如图，直线ABC。，点E,尸分别在直线A3和直线8上,

点尸在两条平行线之间，NA£P和NCFP的角平分线交于点H,已知ZP=78°,则NH的度数为.

【答案】141。/141度

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点尸作P0〃AB,过点“作"G|AB.根据平行线的性质

得至1]NEPF=NBEP+NDFP=78°,结合角平分线的定义得到/AEH+NCNH,同理可得

ZEHF=ZAEH+ZCFH.

【详解】解：如图所示，过点尸作PQ〃A8,过点H作8GAB,

0ABCD,

^\PQ//CD,HG//CD,

田NBEP=/QPE,NDFP=NQPF,

0ZEPF=ZQPE+ZQPF=78°,

团/BEP+ZDFP=78°,

0ZAEP+ZBEP=180°,NCFP+/DFP=180。,

0ZAEP+ZCFP=360°—78°=282°,

回神平分Z4EP,HF平分NCFP,

0ZAEH+ZCFH=282°+2=141°.

0HG〃CD〃AB,

0NEHG=/AEH,ZFHG=ZCFH,

0ZEHF=ZEHG+ZFHG=ZAEH+ZCFH=141°

故答案为：141。.

【变式训练】

1.(2024上•陕西咸阳•八年级统考期末)如图，已知ABCDS，尸分别为AB,CD之间的点.

图I图2图3

⑴如图1,若ZE=100°,求Z3+N7)的度数；

(2)若/8=36°,40=108°.

①如图2,请探索々-NE的度数是否为定值，请说明理由；

②如图3,已知EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延长尸G交EP于点尸，求一尸的度数.

【答案］⑴100。

(2)@ZEFD-ZBEF=36°,是定值②/尸=18。

【分析】(1)：过点E作EMAB,则EMABCD,然后根据平行线的性质得到="=,

即可解题；

(2)①如图，过E作ENAB,过F作五尸AB,证明ABEN\FPCD,可得Nl=/3=36。，

Z4=180°-ZD=72°,Z3=Z2,再利用角的和差运算可得结论；

②如图，EP平分NBEF,FG平分NEFD,可得N2=N1=：/3EF,Z3=Z4=1z£FD,由三角形的内角

和定理可得NP=280。-(N2+NPFE)=N3?Z,结合①得：ZEFD-ZBEF=36°,从而可得/尸=18。.

【详解】(1)解：过点后作近度AB,

^ABCD,

团EMABCD,

©ZB=NBEM,ZD=ZDEM,

团N5+NO=/BE+/DEM=ABED=100。；

(2)①/EFD—/BEF=36。,是定值，理由如下:

0ABENFPCD,而N3=36°,/D=108°,

0Z1=ZB=36°,Z4=180°-ZD=72°,Z3=Z2,

ENEFD—NBEF=Z3+Z4-Z1-Z2=Z4-Z1=72°-36O=36°；

②如图,ElEP平分NBEF,FG平分ZEFD,

.-.ZP=180o-(Z2+ZPFE)=180°-(Z2+180°-Z3)=Z3-Z2,

回由①得：NEFD—NBEF=36°,

Z3-Z2=1(ZEFr)-ZBEF)=1x36°=18°,

二/尸=18°.

【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用,

熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键.

2.(2023下•海南省直辖县级单位•七年级统考期末)如图1,AB〃CD,点尸为直线AB,CD间一点，点E,

尸分别是直线AB,CD上的点，连接EP,FP.

Ad----7E-B.4刀£------------8A----------E[B

CFDC~-FDCFD

图1图2图3

(1)【证明推断】求证：ZEPF=ZAEP+ZCFP,请完善下面的证明过程，并在()内填写依据.

证明：过点P作直线〃钻，

MN//AB(已作)，

:.ZAEP=/EPN(),

又-MN//AB,AB//CD(已知)

,()

:.ZCFP=ZFPN,

ZAEP+ZCFP=ZEPN+ZFPN=.

(2)如图2,若NA£P的平分线与NPPC的平分线交于点Q.

①【类比探究】试猜想NEPF与/EQF之间的关系，并说明理由；

②【结论运用】若NBEP+ZDFP=240°,求NE。尸的度数.

⑶【拓展认知】如图3,直线AB〃CE>,点P,H为直线AB、CD间的点，请直接写出Z4£P,ZPHF,ZEPH,

NHFD的数量关系：.

【答案】⑴两直线平行，内错角相等；MN//CD-.平行于同一直线的两直线平行；ZEPF

⑵①NEPF=2NEQF,理由见解析；@60°

⑶ZAEP+NFHP=ZEPH+NDFH

【分析】(1)过点P作直线"N〃回，根据平行线的性质即可得到答案；

(2)①分别过点P,Q作PHAB,QGAB,由平行线的性质和角平分线的定义得

ZAEQ+ZQFC=^ZAEP+ZPFC)=^ZEPF,进而即可求解；②结合平角的定义和

ZEPF=ZAEP+NCFP即可得到答案；

(3)过点P、H作加、“SAB,可得=Z2=Z3,ZDFH=Z4,进而即可得到结论.

【详解】(1)证明：过点P作直线”NAB,

MNAB(己作)，

:.ZAEP=NEPN(两直线平行，内错角相等)

又.MNAB,ABCD(已知)，

:.MNCD,(平行于同一直线的两直线平行)，

:.NCFP=NFPN,

ZAEP+ZCFP=ZEPN+ZFPN=ZEPF；

(2)解：①NEPF=2NEQF.

理由：如图1,分别过点P,。作耽AB,QGAB.

ZAEP的平分线与NPFC的平分线交于点Q,

ZAEQ=-ZAEP,ZCFQ=-NPFC.

22

ZAEQ+ZQFC=1(ZAEP+ZPFC)=|ZEPF.

同(1)^EQF=ZAEQ+ZCFQ,

NEPF=2ZEQF.

②ZAEP+NBEP=180°,Z.PFC+Z.DFP=180°,

ZAEP+ZBEP+ZPFC+ZDFP=360°

ZAEP+ZPFC=360°-ZBEP-ZDFP=360°-240°=120°.

又NEPF=ZAEP+ZCFP,

ZEQF=|ZEPF=1(ZAEP+ZPFC)=60°

(3)过点P、H作八ZAB,

I3AB//CD,

团机、〃、AB、CD,

团NA石尸=N1,N2=N3,ZDFH=Z4,

团ZAEP+Z3+Z4=Z1+Z2+ZDFH,即ZAEP^ZFHP=NEPH+ZDFH

故答案为：ZAEP+ZFHP=ZEPH+ZDFH

B

【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键.

【考点三平行线中含多个拐点问题】

例题：（2023下•湖北武汉■七年级校考阶段练习）如图，AB//CD,ZB=ZD=12O°,则/尸、NG之

间满足的数量关系为.

【答案】ZEFG=ZBEF+ZDGF-120°

【分析】如图，过E作过P作7W〃AB,过G作GK4AB,再证明

再结合平行线的性质可得结论.

【详解】解：如图，过E作EQ〃AB,过产作过G作GK〃钻，

^\AB//CD,

&AB〃EQ〃FN〃GK〃CD,

0ZB=ZD=12O°,

ENQEB=180°-ZB=60°,ZDGK=180°—ZD=60°,

0QE〃FN〃GK,

RNQEF=NEFN,ZKFG=ZGFN,

0NEFG=NEFN+NGFN=NQEF+ZKGF,

0ZQEF+NKGF=ZBEF-60°+ZDGF-60°=ZBEF+ZDGF-120°,

0ZEFG=ZBEF+ZZX;F-120°；

故答案为：NEFG=NBEF+NDGF—120。

【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2023上•黑龙江哈尔滨♦八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，AB//CD,ZABG的平分

线与NCDE■的平分线交于点NM=45。，ZF=64°,NE=66。，则NG=°.

【答案】88。/88度

【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过"拐点"作平行

线），一般而言，有几个"拐点"就需要作几条平行线，从而利用"拐点"模型的基本结论解决问题；过点G,R、

E、M分别作G//〃AB,尸。〃尸〃AS,跖V〃AB,根据平行线的传递性得出

AB//CD//GH//FQ//EP//MN,再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；

【详解】过点G、b、E、M分别作G8〃AB,尸。〃

^\AB//CD

AB//CD//GH//FQ//EP//MN,

ZBNN=Zl,NNMD=Z4,

平分ZABG,MD平分NCDE,

Z1=Z2=-ZBMN,Z3=Z4=-ZNMD,

22

QZBA®=45°,

,24+2/3=90°,

Z5=2Z1,Z10=2N3,Z6=Z7,Z8=Z9,

ZGFE=N7+N8=N6+N9=64°,

Z.FED=Z9+ZD=Z9+2Z3=66°,

2Z3-Z6=2°,

，2N1+N6=9O。—2。=88。,

ZBGF=Z5+Z6=2Z1+Z6=88°.

故答案为：88。.

2.（2023上•七年级课时练习）观察图形:

。ijQQa•尸a

LF仁2仁b'

、b

图1图2图3图4

已知。人，在图1中，可得Nl+N2=_______________度，在图2中，可得N1+N2+N4

度……按照以上规律，贝|/1+/2+/勺++今=_______________度.

【答案】180,360,180（n+l）.

【分析】作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补解题即可.

【详解】解：如图1,

团ab,

团Nl+N2=180;

如图2,过《作

团ab,

团PQab,

团N1+ZA[Q]=180。，Z2+ZB/^Q=18（）。，

团Nl+N2+NA《B=360；

B图2

同理可得：/1+N2+NQ++NQ=180(几+1);

故答案为：180,360,180(n+1).

【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

3.（2022下,江苏连云港•七年级统考期中）已知"CD.

ffl!用2用3HH4

［知识回顾］（1）如图1,点E在两平行线之间，试说明：NBED=ZABE+NEDC.

［知识应用］（2）如图2,BP、D尸分别平分/ABE、NEDC,利用⑴中的结论，试说明：NBPD=；NBED；

（3）如图2,直接写出/即＞£＞、NBED、NPBE、ZPDE四个角之间的数量关系.

［知识拓展］（4）如图3,若NBEF=145°,ZEFD=135°,BP、DP分别平分/4BE、ZCDF,那么4PD=

。；（只要直接填上正确结论即可）

（5）如图4,若ZBEF、/EFG、/FGD三个角的和是〃，BP、DP分别平分—ABE、NCDG,那么=

.（用含〃的式子表示）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）50；（4）|-180°

【分析】（1）过点石作出〃45,利用猪脚模型进行计算，即可解答；

⑵利用⑴的结论可得得：NBED=ZABE+NCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,再利用角平分线的定义可得

ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,然后进行计算即可解答；

22

（3）根据角平分线的定义可得=ZEDP=^ZCDE,再利用⑴的结论，从而进行计算可得

ZPBE+ZPDE=g/BED,再利用（2）的结论可得NBPD=；NBED,然后进行计算即可解答；

（4）过点E作EM//AB,过点b作FNAB,从而可得ABEM\FN\CD,然后利用平行线的性质可得

ZMEF+ZNFE=180°,从而可得/3£取+/。叱=100。，再利用平行线的性质可得=做，

NCDF=NDFN,从而可得/ABE+NCD尸=100。，最后利用角平分线的定义可得=1/ABE,

2

ZCDP=-ZCDE,从而利用（1）的结论可得=+=+进行计算即可解

答；

（5）过点E作过点e作RV过点G作利用（4）的解题思路进行计算即可解答.

【详解】解：（1）过点石作£似〃A5,

:.ZABE=ZBEM,

AB//CD,

CDEM,

:.ZCDE=ZDEMf

ZBED=ZBEM+ZDEM,

ABED=ZABE+NCDE；

(2)由⑴得：Z.BED=ZABE+ZCDE,

ZBPD=ZABP+ZCDP,

BP、£＞尸分别平分ZABE、ZEDC,

ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

:./BPD=ZABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDE

22

=g(NABE+NCDE)

=-ZBED,

2

即ZBPD=-ZBED；

2

(3)ZBPD+ZPBE+NPDE=ZBED,

理由：BP、DP分别平分4BE、NEDC,

ZEBP=-ZABE,ZEDP=-ZCDE,

22

ZPBE+ZPDE=-ZABE+-ZCDE

22

=g(NABE+NCDE)

=-ZBED,

2

由（2）得：/BPD=g/BED,

/BPD+ZPBE+ZPDE=-/BED+-/BED=ZBED,

22

即ZBPD+ZPBE+ZPDE=ZBED；

（4）过点E作过点方作FNAB,

AB//CD,

ABEM\FNCD,

EM//FN,

:"MEF+/NFE=180。,

.ZBEF=145°fZEFD=135°,

:./BEM+ZDFN=ZBEF+ZEfD-（ZMEF+ANFE）=100°,

ABEM,FNCD,

.\ZABE=ZBEM,/CDF=4DFN,

.•.NABE+NCD尸=100。，

BP、DP分别平分/ABE、ZCDF,

/.ZABP=-NABE,ZCDP=-ZCDE,

22

/.NBPD=ZABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDE

22

=1（ZABE+ZCDE）

=-xl00°

2

=50°,

故答案为：50；

（5）过点£作石过点尸作FNAB,过点G作

图4

AB//CD,

:.ABEM\\FN\\GH\CD,

EM//FN,FN//GH,

，NMEF+NNFE=180。,/NFG+NHGF=180。,

ZBEF+ZEFG+ZFGD=n,

/BEM+ZDGH=ZBEF+ZEFG+ZFGD—(/MEF+ZNFE+NNFG+NHGF)=n-360°,

BP、。尸分别平分/ABE、/CDG,

:.ZABP=-ZABEZCDP=-ZCDG,

2f2

/BPD=NABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDG

22

=；(NABE+NCDG)

=一360。)

=-77-180°,

2

故答案为：1»-180°.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

【考点四平行线中在生活上含拐点问题】

例题：（2024上•广东深圳•八年级统考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线

有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线。3,OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中

ZABO=44°,Z5OC=133°,则/OC£>的度数为（）

A.88°B.89°C.90°D.91°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等.由平行线的性质即可得出々8=44。,

ZCOP=Z.BOC-Z.BOPZCOP=89°,再根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：由题意知AB〃尸O〃CD,

^ZBOP=ZABO=44°,

回Z.COP=ZBOC-ZBOP=133°-44°=89°,

0ZOCD=ZCOP=89°,

故选：B.

【变式训练】

1.（2023•山西吕梁•校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行•若

4=32。，Z2=62°,则N3的度数为（

C.150°D.162°

【答案】C

【分析】过点8作54〃工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.

【详解】解：如图，过点B作BA〃工作篮底部，

.-.Z3+ZA/BA=180°,

工作篮底部与支撑平台平行，朋〃工作篮底部

.•.54〃支撑平台，

:.ZABN=Z1=32°,

Z2=ZABN+ZMBA,Z2=62°,

二/MBA=30。，

.-.Z3=150o,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记"两直线平行，内错角相等"、"两直线平行，同旁内角互补"是解题

的关键.

2.（2024下•全国•七年级假期作业）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，

支架A3,8C为固定支撑杆，当灯体8与底座OE平行时，ZBAO=138°,NBCD=154。,则23的度数

为______

【答案】74

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点8作BG〃8,过点A作AF〃OE,先

由垂线的定义得到/AOE=90。，则由两直线平行内错角相等得到NO4F=90。，证明3G〃A厂得到

NABG=NBAF=48。，再根据两直线平行同旁内角互补得到NCBG=26。，则NABC=NABG+NCBG=74。.

【详解】解：如图所示，过点8作BG〃CD,过点A作AF〃OE,

EAO±OE,

回NAOE=90°,

S1AF//OE,

回NOAF=NAOE=90。，

0ZBAO=138°,

团ZBAF=138°-90°=48°,

由BG〃CD,AF//OE,CD//OE,

^\BG//AF9

BZABG=ZBAF=48°.

0ZBCD=154°,BG//CD,

0ZGBC+ZBCD=18O°,

团ZCBG=180°-154°=26°,

0ZABC=ZABG+ZCBG=480+26°=74°.

故答案为：74.

3.（2023下•福建宁德•七年级校联考期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面

的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有N1=N2.

图3图4

⑴如图2,已知镜子MO与镜子QN的夹角NMON=90。，请判断入射光线A5与反射光线的位置关系,

并说明理由；

⑵如图3,有一口井，已知入射光线49与水平线。。的夹角为40。，问如何放置平面镜MN,可使反射光

线。5正好垂直照射到井底？(即求与水平线OC的夹角)

(3)如图4,直线所上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.NBAb=120。，ZDCF=40°,射线AB、CD

分别绕A点，。点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为/秒，在射线转动一周的时间

内，是否存在某时刻，使得。。与A3平行？若存在，求出所有满足条件的时间九

【答案】⑴AB〃CD,理由见解析；

⑵当平面镜MN与水平线0C的夹角为65。或115。时,可使反射光线OB正好垂直照射到井底；

⑶存在，r=10s或T=100s

【分析】(1)计算NABC+4CD的值即可求解；

(2)先计算/AO5,进一步得NAOM+NBON的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹

角相等即可求解；

(3)分类讨论0＜，＜20,20＜，＜40,40〈，〈80,80〈，＜120即可求解.

【详解】(1)解：AB//CD,理由如下：

团N1=N2,N3=N4

团ZABC=18O°-Z1-Z2=18O°-2Z2

ZBCD=180°-Z3-Z4=180°-2Z3

团ZABC+NBCD=360°-2(Z2+Z3)

0ZBOC=90°

团N2+N3=90。

团NABC+NBCD=180。

^AB//CD

(2)解：0ZAOC=40°,ZBOC=90°

^ZAOM+ZBON=50°

.\ZAOM=ZBON=25°

/COM=25°+40°=65°,/CON=25°+90°=115°

团当平面镜MN与水平线0c的夹角为65。或115。时,可使反射光线OB正好垂直照射到井底；

(3)解：①04r420时，如图：

D

若AB〃8,则N8AC=ZAC£U20+3f=140+f

解得：Z=10s；

②20<f440时，如图：

ZBAE<90°<ZACD,不满足题意;

③40<r480时，如图：

NBAE<ZACD不满足题意;

④80<Y120时,如图：

E

A、

若AB〃CD,贝lJ/BAC=N£>CE3f—240=f-40

解得：t=100s；

综上所述：当t=10s或r=100s时，使得CO与A3平行

【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质.熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是

解题关键.

【考点五平行线与平移综合拐点问题】

例题：（2023下•河北邢台•七年级校考期末）如图1,AB,8C被直线AC所截，4=72。，过点A作AE〃3C,

。是线段AC上的点，过点。作DE/AB交AE于点E.

⑴求NE的度数；

⑵将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接.

①如图2,当ZEDQ=45。时，求NQ的度数；

②如图3,当乙£»。=90。时，求NQ的度数；

③在整个平移过程中，是否存在/即Q=3NQ?若存在，京撰写出此时/ED0的度数，若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴NE=72°

(2)①/。=27°；②NQ=18°；③存在，/矶＞。=54°或/矶＞(2=108°

【分析】⑴利用平行线的性质得/&归+4=180。，ZE+Zfi4E=180o,根据同角的补角相等可得答案；

(2)①如图1中，过点D作Z)?〃AE,则NEDF=/E=72°,再证明。尸〃尸Q,根据平行线的性质可得

答案；

②如图3中，过点。作D尸〃AE,则NEDP=/E=72。，再证明0P〃尸Q,根据平行线的性质可得答案

即可求解；

③分两种情形：图2,图3分别求解即可.

【详解】(1)B1AE//BC,

SZBAE+ZB=180°.

^DE/7AB,

0ZE,+ZBAE=18O°,

0ZE=ZB=72°；

(2)①如图2,过点。作

0Zfr＞F=ZE=72°,

0ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

^\PQ//AE,DF//AE,

^DF//PQ,

回NQ=NFDQ=27。；

②如图3,过点D作。?〃AE,

0Z£»F=ZE=72°,

0NFDQ=NEDQ-NEDF=90°-72°=18°.

^PQ//AE,

^DF//PQ,

0Z2=ZF£>2=18°；

③存在，/£»。=54。或/瓦>。=108°.

如图2,当/EDQ=3NQ时，

由①知，3NQ+NQ=72。，/。=18。，

0Z£D2=54°；

如图3,当/EDQ=3/Q时，

由②知，3NQ=NQ+72。，ZQ=36°,

0ZED2=108°

人户A^-——-，E

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题.

【变式训练】

1.（2023下•广东广州•七年级统考期末）如图①，直线A?〃CD,直线跖与AB,CD分别交于点G,H,

/£77。=研0。<1<90。）.将一个含30。角的直角三角板孙亚放置图中，使点N,/分别在直线旗，CD上，

NP=90°,ZPMN=60°.

£

⑴填空：ZPNB+ZPMD__