湘教版八年级数学下册压轴题：直角三角形的性质和判定八种模型（原卷版）

专题01直角三角形的性质和判定压轴题八种模型全攻略

丁:匚【考点导航】

目录

成

【典型例题】.............................................................................1

【考点一直角三角形的两个锐角互余】.......................................................1

【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】..........................................2

【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】..............................................3

【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】.................................................4

【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】...................................................4

【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】......................................5

【考点七用乩证全等】....................................................................6

【考点八全等的性质和乩综合】...........................................................7

a1------1【过关检测】.........................................................................9

【典型例题】

【考点一直角三角形的两个锐角互余】

例题：（2023上•辽宁大连•八年级校联考期中）如图，等腰三角形A3C中，AB=AC,ZA=46°,CDLAB

于。，则/DCS等于.

【变式训练】

1.（2023上•湖南株洲•八年级校联考期中）如图，在"LBC中，ZACB=60°,ABAC=15°,ADI3C于。,

郎，47于£,AD与BE交于H,则

2.（2023上•新疆喀什•八年级统考期中）如图，已知“BC的两条高A。、CE相交于点。,

ZACE=45°,ZDAC=20°,求一3的度数.

【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】

例题：（2023上•陕西榆林•九年级校考期末）如图，8是的中线，ZACB=90°,ZCDA=120°,

则ZB的度数为.

【变式训练】

1.（2023上•浙江杭州•八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）如图，在RtAABC中,ZACB=90°,ZA=30°,

CD±AB,E为AB中点,若3£>=1,则CE=.

c

2.（2023上•陕西安康•八年级统考期中）如图，在RtA4C3中，ZAC3=90。,ZA=30。,£＞为斜边A3的中点,

连接CD.若AB=12,求cr＞的长.

【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】

例题：（2023上•甘肃陇南•八年级校考阶段练习）如图，在中，NC=90。，点。为A2边中点,

DEJ.AB,并与AC边交于点E,如果NA=15。，BC=6,那么AE等于.

【变式训练】

1.（2023下•广东茂名•八年级校考期中）如图，AABC中，ZACB=90°,CDLAB,ZA=30°,或＞=2,贝

的长为—.

2.（2023上•江苏盐城,八年级统考期中）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。为A3的中点，ZA=30°,BC=2,

⑴求8的长.

⑵请直接写出线段BC与线段A3之间的数量关系.

【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】

例题：（2022上•河南南阳•八年级期末）如图，在中，ZC=90°,BC=3,AC=1,AB的垂直平分

线。E交8C于点，连接AD,则以＞的长为.

【变式训练】

1.（2023上广东湛江•八年级校考期中）在AABC中，ZC=9O°,ZA=60°,若AC=7,则AB=

BC=.

2.(2023上•河南周口•八年级统考阶段练习)在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

⑴若a=12,6=16,求c；

(2)若a:b=3:4,c=25,求b.

【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】

例题：（2023上•安徽六安•八年级六安市第九中学校考期中）具备下列条件的AABC中，不是直角三角形的

是（）

A.ZA=ZB=3ZCB.ZA-/3=/C

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=1:2:3

【变式训练】

1.（2022上•山东德州•八年级校考阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（）

A.ZA=90°-ZCB.ZA=ZB-ZC

C.ZA=2ZB=3ZCD.ZA=ZB=-ZC

2

2.（2023上•重庆铜梁•八年级重庆市巴川中学校校考期中）下列对AABC的判断，错误的是（）

A.若AB=AC,-3=60。，则AABC是等边三角形

B.若NA:/B:NC=1:2:3,贝隈ABC是直角三角形

C.若/A=20。，—3=80。，则AABC是等腰三角形

D.若AB=3C,/C=40°,则/3=40°

【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】

例题：（2023上•江苏苏州•八年级校联考阶段练习）如图，在"RC中，AB=\3,AC=12,AC13C,点

。为AABC内一点，且CD=3,BD=4.

⑴求BC的长；

⑵求图中阴影部分（四边形ABOC）的面积.

【变式训练】

1.（2023上•新疆喀什•九年级校联考期中）如图，已知等腰AABC的底边30=13。%。是腰4B上一点，且

⑴求证：ABDC是直角三角形;

（2）求44BC的周长

2.（2023上•广东佛山•八年级校联考期中）已知：在四边形ABCD中，NACB=90。，AB=15,AD=5,CD=13.

⑴求4c的长.

（2）AACD是直角三角形吗？如果是，请说明理由.

⑶求这块空地的面积.

【考点七用证全等】

例题：（2023上帙西商洛•八年级统考期末）如图，在△ABb与△£><“中，点E,F在线段BC上，BE=CF,

【变式训练】

1.（2023上•天津静海•八年级校考期中）如图，已知NC=NF=9O。，AC=DF,AE=DB,BC与EF交

于点。，求证：Z\ABC会八DEF

Q

AEBD

2.（2023上•福建厦门,八年级厦门大学附属科技中学校考期中）已知：如图，AE，AB,BCVAB,EA^AB,

。为A3上一点，连接ED、AC相交于F,ED=AC,求证：Rt△皿）ZRtAABC.

E

【考点八全等的性质和双综合】

例题：（2023上•湖南长沙•九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）在AABC中,

A3=CB,NA3c=90。,尸为A2延长线上一点，点E在8C上，连接E产、CF,且AE=CF.

⑴求证：ZBEF=ZBFE；

(2)若8尸=5,AE=13,求CE的长.

【变式训练】

1.（2023上•河北承德•八年级校考期中）如图，在AABC中，NC=9O。，AD平分/。山，交CB于点。,

过点。作于点E.

C

AB

E

⑴求证：△AC。四△AED；

⑵若BE=3,BC=5,求ABDE的周长.

2.（2023上•甘肃兰州•八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在AABC中，AB=CB,/ABC=90。,

尸为A3延长线上一点，点E在3C上，且AE=CF.

⑴若ZC4E=30°,求/ACP度数;

⑵求证：AB=CE+BF；

⑶试判断EF与AC的位置关系.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023上•河北廊坊•八年级校考期末）如图，在AABC中，NA=90。，NC=60。，BC=4,则AC的长为

()

2.（2023上•江苏无锡•八年级校考阶段练习）满足下列条件的疑。不是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.BC=1,AC=2,AB=y[5

C.BC:AC:AB=3:4:5D.BC=5,AC=12,AB=13

3.（2023上•山东德州•八年级校考阶段练习）如图，在RtZXABC中，Z4BC=90。，ZC=30°,AC=4,BP1AC,

下列说法中，不正确的是（）

D

151

A.BD=-BCB.ZABD=30°C.AD=1D.=

2SACBD4

4.（2023上•河南南阳•九年级校考阶段练习）如图，在AABC中，ZABC=9Q°,。是边3C上的一点，P是

AD的中点，若AC的垂直平分线经过点O,DC=6,则3P=（）

A.6B.4C.3D.2

5.（2023上•山西大同•八年级统考期中）如图，在AABC中，/ACB=90。，把AABC绕点A旋转至△AEF的

位置，延长8c交E/于点O.若BD=10,BC=8.则DE的长为（）

E

C.8D.7

二、填空题

6.（2023上•江苏镇江•八年级统考期中）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,。是AC的中点.若

AB=12,BC=5,则3£>=_.

7.（2023上•辽宁大连•八年级统考期中）如图，在AABC和△DEE中，AC=DE,NA=NO=90。，若要用“斜

边、直角边（HL）"直接证明RSABC/RtADFE,则还需补充的条件是

8.（2023上•陕西西安•八年级校考阶段练习）已知“5C的三条边长。,b,c满足右4+忸-3|+（。-5）2=0,

则从1BC的面积为.

9.（2023上•江苏淮安,八年级统考期中）如图所示，在AABC中，NC=90。，A3的垂直平分线OE交A3,

AC于点。，E,且N1:N2=1:2,则2的度数为.

10.（2023上•河南许昌•八年级统考期中）如图，“RC是边长为5cm的等边三角形，动点尸、。分别同时从

点A、B两点出发，分别沿AB、3c方向匀速移动，它们的速度都为kro/s,当点尸到达点8时，P、。两

点停止运动，设点P的运动时间为f（s）,当1=时，APBQ是直角三角形.

A

三、解答题

11.（2023上•吉林长春•八年级校考期中）如图，5x5网格中每个小正方形的边长都为1,AABC的顶点均为

⑵^ABC的形状为三角形；

⑶求AABC中AC边上的高

12.（2023上•广东江门•八年级校考期中）如图，点在同一直线上，AC、。/相交于点G,AB±BE,

垂足为3,DE±BE,垂足为E,且AC=DP,BF=CE.

⑴求证：△ABC四△DEF；

（2）若/A=65。，求NAGF的度数.

13.（2023上•江苏镇江•八年级统考期中）如图，AABC中，ADJ.BC,CE是AABC的