易错易混集训：一次函数（解析版）（重点突围）

专题20易错易混集训：一次函数

聚焦考点

易错点一忽略一次函数中“静0”或正比例函数是特殊的一次函数致错

易错点二忽略自变量的取值范围致错

易错点三一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论

:典型例题:

易错点一忽略一次函数中“静0”或正比例函数是特殊的一次函数致错

例题：（2022•安徽・淮北一中八年级阶段练习）当机为何值时，函数了=（加-3）/H+3加是一次函数？求该

一次函数的表达式.

【答案】加=-3时是一次函数，y=-6x-9

【分析】根据一次函数的定义得到何卜2=1,求出心，舍去不符合的结果，即可得到函数解析式.

【详解】解：由题意得：网-2=1.解得〃尸3或-3,

当m=3口寸，k=m-3=0,

所以加=3应舍去，

所以机=一3,

这个一次函数表达式为歹=-6%-9.

【点睛】此题考查了一次函数的定义，求一次函数的解析式，正确掌握一次函数的定义是解题的关键.

【变式训练】

一、选择题

1.（2022•四川成都•二模）若函数＞=（刃-1）”「2是一次函数，则小的值为（）

A.-1B.±1C.1D.2

【答案】A

【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1,可得答案.

【详解】解：由题意可得H=i，*1力，

故选/

【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键.

2.（2022・全国•八年级课前预习）已知》=（加+i是一次函数，则加的值是（）

A.-3B.3C.±3D.±2

【答案】A

【解析】略

3.（2022•云南昭通•八年级期末）若丁=（左-2）表示一次函数，则左等于（）

A.0B.2C.0或2D-2或0

【答案】A

【分析】依据一次函数的定义可知依-11=1且左-2x0,从而可求得左的值.

【详解】解：•.・函数尸（后-2）x心"+3是一次函数，

后-1|=1且（左-2）30,

解得：k=0.

故选：A.

【点睛】此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般.

4.（2021•湖南•衡阳市船山实验中学八年级阶段练习）若了=（4-2）/=+5是一次函数，则a的值是（）

A.-2B.2C.±2D.±V3

【答案】A

【分析】根据形如方fcv+b（卮0,k、6是常数）的函数，叫做一次函数可得/一3=1,且a-2刈，再解即可.

【详解】解：由题意得：「2-3=1，且0-230,

解得：a=-2,

故选：A.

【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如方依+6（上0,k、6是常数），一次函数

解析式的结构特征：心0;自变量的次数为1;常数项6可以为任意实数.

二、填空题

5.（2022•安徽•凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）若函数了=（仅-1）龙阿-5是一次函数，则加的值为

【答案】-1

【分析】由一次函数的定义得出网=1且加-1*0,由此求解即可.

【详解】解：•.•函数＞=（加-1）杷-5是一次函数，

.•.同=1且加-1片0,

m=±1且aw1,

m=-1

故答案为：-L

【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如y=h+b（七0,k、6为常数）的式子，叫做一次函数.正确理

解一次函数定义是解答此题的关键.

6.（2022•四川省成都市石室联合中学八年级期末）若函数y=Ot-2）xW一+1是关于x的一次函数，则发=

【答案】-2

【分析】由一次函数定义得到附-1=1,左-2w0,即可求出答案.

【详解】解：•.•函数y=（后-2）是关于x的一次函数，

:.k=-2,

故答案为：-2.

【点睛】此题考查了一次函数的定义：形如：y=kx+b（k片0）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关

键.

7.（2022•四川省遂宁市第二中学校八年级期中）已知函数了=（加-2）/甸+5是关于x的一次函数，则加=

【答案】4

【分析】由一次函数的定义可知x的次数为1,即|3-加=1,x的系数不为0,即（加-2）/0,然后对

|3-司=1,（冽-2）片0计算求解即可.

【详解】解:由题意知|3-加|=1,（加-2）/0

解得加=2（舍去），m=4

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一次函数，绝对值方程，解不等式.解题的关键根据一次函数的定义求解参数.

8.Q022•湖南常德•八年级期末）已知函数昨（加-1.怎+”也、〃为常数）.当〃八〃分别为、

时，y是x的正比例函数.

【答案】-10

【分析】根据正比例函数的定义，可得答案.

【详解】解：由题意得：加2=1,旦〃7—1w0,72=0.

解得"2=-1,"=0,

当用、〃分别为-1、0时，了是X的正比例函数.

故答案为：-1,0.

【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如>=h+6（左-0,k、6是常数）的函数,

叫做一次函数；形如夕=右（左是常数，"N0）的函数叫做正比例函数.

三、解答题

9.（2021•全国•八年级）已知函数^=I）0母+启-4是关于x的一次函数，求（34+2）2。口的值.

【答案】1

【分析】先根据一次函数的定义求出后的值，然后代入（3左+2严12计算即可

【详解】解：由题意得

|k|=1,且左-1x0,

解得

k=-\,

・•.（3狂2严12=（-3+2）2012=1.

【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如方依+6,1为常数，七0）的函数叫做一次函数.

10.（2022•广东・深圳市龙岗区宏扬学校八年级期中）已知函数了=（加-2），-3+4+”.

（1）当外〃为何值时，了是x的一次函数，并写出关系式；

（2）当私"为何值时，V是x的正比例函数，并写出关系式.

【答案】（1）当加=-2,〃为任意实数时，了是X的一次函数，关系式为丁=-4x+4+"；（2）当机=-2,"=-4

时，了是x的正比例函数，关系式为>=-4x

【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；

（2）根据正比例函数的定义即可求出结论.

加2—3=1

【详解】解：⑴由题意可得『21。,〃可以取任意实数

解得：m=-2

y=-4x+4+7?

.,.当m=-2,"为任意实数时，了是x的一次函数，关系式为y=-4x+4+〃；

刃2-3=1

（2）由题意可得〈机一2*0,

4+77=0

（m=-2

解得：,

[n=-4

y=-4x

二当加=-2,〃=-4时,了是x的正比例函数，关系式为y=-4x.

【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定

义是解题关键.

11.（2022,全国•八年级）已知函数《=（加一2）力帆+小+7.

（1）当加为何值时，y是x的一次函数？

（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3?

【答案】（1）加=-2时，y=（m-2）%3-网+心+7是一次函数；（2）x=g时，y的值为3.

【分析】（1）根据一次函数的定义即可列出关于用的方程和不等式，从而求出机的值；

（2）将y=3代入一次函数中，即可求出x的值.

（3」嗣=1

【详解】（1）由＞=（加一2）/时+机+7是一次函数得1।,

[加一2W0

解得m=-2.

故当机=-2时，y=（加一2）X3-|W|+加+7是一次函数.

（2）由（1）可知＞=-41+5.

当天=3时，3=-4x+5,解得％=

故当x时，y的值为3.

【点睛】此题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定

义是解决此题的关键.

12.（2022•全国■八年级专题练习）已知函数产（心+1）N-血1+〃+4.

（1）当加，〃为何值时，此函数是一次函数？

（2）当加，〃为何值时，此函数是正比例函数？

【答案】（1）当％=1,〃为任意实数时，这个函数是一次函数（2）当a=1,"=-4时，这个函数是正比例函

数.

【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；

（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.

【详解】⑴根据一次函数的定义，得：

2-|加|=1,

解得:m=±l.

又T/M+IHO即"2H-1,

当”=1,〃为任意实数时，这个函数是一次函数；

⑵根据正比例函数的定义，得：

2-|m|=l,n+4=0,

解得：m-±l,”=-4,

X'■,»?+1*0即,

二当%=1,〃=-4时，这个函数是正比例函数.

【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.

易错点二忽略自变量的取值范围致错

例题Q022•北京•前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm

设蜡烛点燃x分钟后的长度为Km,

⑴请列出V与X的函数关系式，指出自变量取值范围；

⑵利用描点法画出此函数的图象；

⑶由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕.

【答案】⑴y与x之间的关系式是y=24-0.6x,0W40；

⑵见解析；

⑶此蜡烛40分钟燃烧完毕.

【分析】(1)根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度x时间，建立函数关系式用待定系数法求解,

并求出自变量的取值范围；

(2)用描点法画出函数图像；

(3)从图像直接可以得出结论.

(1)

由题意可得，

3.6

y=24-x=24-0.6x,

■■y与x之间的关系式是y=24-0.6x,

令产0,则24-0&=0,

解得：x=40,

•••自变量x的取值范围是：0/40；

(2)

图象是一条线段.描点并连线为:

(3)

由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕.

【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特

别注意自变量的取值范围.

【变式训练】

1.（2021・安徽•合肥市第四十五中学八年级期末）一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5c加燃烧时剩下的

【分析】先根据题意求出访与f的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得.

【详解】由题意得：h=2Q-5t,

■：0</z<20,

.•.0<20-5z<20,

解得0W4,

即〃与才的关系式为为=20-5《04/44）,是一次函数图象的一部分，且〃随f的增大而减小,

观察四个选项可知，只有选项C符合,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键.

2.（2021•河北保定•八年级期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油24L若每小时耗油4L则油箱中的剩油

量〉（Z）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（）

【答案】D

【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式.

【详解】解：由题意，得

y=24-4x(0<x<6).

.■­k=-4<0,

.•・函数是降函数，函数图象是线段.

当x=0时,y=24,当y=0时,x=6.

.•・函数图象是经过(0,24)和(6,0)的线段.

故选D.

【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运用，

解答时求出函数的解析式是关键.

3.(2022•河南新乡•八年级期中)春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食

为一体的民俗大节.人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新.已知一根蜡烛的长为30cm,点燃后蜡烛

每小时燃烧4cm,设蜡烛燃烧的时间为xh,蜡烛燃烧时剩下的长度为Km.

⑴直接写出了与龙之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

(2)求当》=6时，x的值.

⑶在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可.

【答案】⑴>=30-4X(0"与

(2)6

⑶见解析

【分析】(1)根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；

(2)将>=6代入求出的解析式即可求解.

(3)根据(1)中求出的解析式，令x=0得出图像与v轴的交点，令方0得出图像与x轴的交点，再连接并

延长即可，再根据图像作答即可.

(1)

由题意得，y与x之间的函数关系式为了=30-4不

•••30—4x20,

/5

xs—,

2

•••自变量X的取值范围是04x4?；

2

(2)

当>=6时，30-4x=6,

解得x=6；

（3）

当x=0时，y=30,

当尸。时，30-4x=0,

解得x=?=7.5,

•••画出的大致函数图像如图所示,

由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完.

【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图

像与坐标轴的交点是关键.

4.（2021•吉林・长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50

升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽

车行驶时每小时的耗油量一定.油箱中剩余油量0（升）与汽车行驶时间/（时）之间的函数图象如图所

⑴张师傅开车行驶一小时后开始加油，本次加油—升.

（2）求加油前Q与f之间的函数关系式.

⑶如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否

够用？请通过计算说明理由.

【答案】⑴3,31

(2)Q=-12)+50(0</<3)

⑶不够用，理由见解析

【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；

(2)根据函数图象中的数据，可以计算出加油前0与，之间的函数关系式；

(3)根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算

出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可.

(1)

解：由图象可得，

张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油45-14=31(升)，

故答案为：3,31.

(2)

解：设加油前。与f之间的函数关系式是。=公+6,

•:点(0,50),(3,14)在该函数图象上，

b=50

3左+6=14

即加油前。与f之间的函数关系式是Q=-12Z+50(0<?<3).

(3)

解：张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，

理由：由图象可得，

汽车的耗油量为：(50-14)+3=12(升/时)，

454-12x80

15

=—x80

4

=300(千米)，

v300<320,

・•・张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合

的思想解答.

5.(2022•湖南常德•八年级期末)某部队加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输飞机进行空中加

油.在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为必吨，加油飞机的加油油箱的余油量为％吨，加油时间

为/分钟，必、力与t之间的函数关系如图.回答问题:

⑴加油飞机的加油油箱中装载了吨油；

⑵求加油过程中，运输飞机的余油量必(吨)与时间f(分钟)的函数关系式；

⑶运输飞机加完油后，以原来的速度继续飞行，需10小时达到目的地，油料是否够用？请通过计算说明理

由.

【答案】⑴30

⑵必=2.9/+40(0<^<10)

⑶油料够用，理由见解析

【分析】(1)根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到.

(2)可以用待定系数法求解；

(3)加进30吨而油箱增加29吨，说明加油过程耗油量为1吨，依此耗油量便可计算是否够用.

(1)解：由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油.故答案为：30：

Cb=0[k=29

(2)解设乂=公+6,把(0,40)和(10,69)代入得“，解得L=2.9?+40(0</<10)；

4+匕=69[匕=40

(3)解：油料够用.理由如下：根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟01吨，.•.：!()小时耗油量为：

10x60x0,1=60(吨)•.•60<69,.•.油料够用.

【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标

系中的读图能力.准确读出图中信息，加入30吨油而油箱只增加29吨对解好本题很关键.

易错点三一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论

例题：(2022•浙江金华•八年级期末)如图，直线y=2x+4与x轴交于点/,与/轴交于点反

⑴求力,2两点的坐标.

⑵过8点作直线8尸与x轴交于点P,且使。尸=2。/,求直线8尸的函数关系式.

【答案】⑴/(-2,0),8(0,4)

(2)y=x+4或者y--x+4

【分析】(1)分别当x=0时和当产0时，即可求出8、/的坐标；

(2)设尸点坐标为(a,0),即。尸=同，根据0P=204可得OP=|&=4,即。=±4,分。=4和a=-4两种情况

讨论，用待定系数法求解即可.

(1)

当x-0时,y=2x+4=4,

即B点坐标为(0,4),

当y-0时,0=2x+4,即x--2,

即/点坐标为(-2,0),

故答案为：8点坐标为(0,4),N点坐标为(-2,0)；

(2)

•.•尸点在x轴上，

•••设尸点坐标为即。p=|4，

"A点坐标为(-2,0),

••.CM=2,

•；OP=2OA,

尸=4,

OP=问=4,

即Q=±4,

当。=4时，尸点坐标为(4,0),

设3尸的函数关系式为y=h+3

••,8点坐标为(0,4),P点坐标为(4,0),

4左+b=0k=-l

I,解得

6=4

即此时8P的函数关系式为y=-x+4,

当°=一4时，尸点坐标为(-4,0),

同理可求：AP的函数关系式为＞=x+4,

综上：8P的函数关系式为N=-x+4或者y=x+4.

【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论

的思想，注意不要遗漏.

【变式训练】

1.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习)平面直角坐标系内一点过/点的直线

/与x轴相交所成的锐角等于45。，直线/与y轴交于点C,则C点坐标为.

【答案】(0,-1)或(0,3)

【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论即可.

【详解】解：••,过/点的直线/与x轴相交所成的锐角等于45。，如图：

当直线/在4的位置时，设4的解析式为：y=x+b,

将点4(2,1)代入得，1=2+6,解得6=-1,

.X的解析式为：y=x-i,

当x=0时，J，=T,

.X与〉轴的交点。(0,T),

当直线/在4的位置时，设4的解析式为：y=-x+\,

将点4(2,1)代入得，1=一2+6,解得6=3,

M的解析式为：y=f+3,

当x=0时，y=3,

••4与y轴的交点C(O,3),

综上：C点坐标为(0,-1)或(0,3),

故答案为：(0,-1)或(0,3).

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，运用分

类讨论的思想解题是关键.

4

2.(2022•广东・深圳市福田区外国语学校八年级期中)如图，直线y=-§x+8与x轴和y轴分别交于4B

两点，射线4PLA8于点力,若点C是射线/P上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以C、D、A

为顶点的三角形与AAOB全等，则OD的长为.

【答案】14或16##16或14

【分析】构造一线三直角模型全等一次，4D为斜边全等一次，得到两个答案.

4

【详解】因为直线＞=-于+8与x轴和y轴分别交于/、8两点，

所以3(0,8),4(6,0),

所以43=16?+82=10,

因为以C、。、/为顶点的三角形与全等，如图，

所以当AAOBmACD4时，

所以02=。4=8,

所以0。=。/+。/=6+8=14；

当A/02之AjC/时，

所以/3=2/=10,

所以0〃=。/+。4=6+10=16；

故答案为：14或16.

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是

解题的关键.

3.(2022•山东•宁津县大庄中学八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，。为原点，直线产船+6交x轴于/

(-3,0),交y轴于2,且三角形的面积为6,则".

4

【答案】±|

【分析】由直线歹=区+6过4点(-3,0),可得OA=3,-3k+b=0,即左=《，再由直线片区+方交歹轴于5点，

可得5点坐标为(0,6),即。8=同，结合*9=6,可得a网=6,即有6=±4,则左值可求.

【详解】•••直线=版+方过Z点(-3,0),

.•.04=3,—3左+6=0,

即上=?,

•.■直线y=h+b交y轴于3点，

・••当》=0,有y=6,

•••5点坐标为（0,b）,即。8=网,

11a

■■SVAOB=-xAOxBO^-X'iX\b\=-\b\，

••,SVAOB=6,

H=4,

Z?=±4,

4

故答案为：土§.

【点睛】本题主要一次函数与坐标轴交点的问题以及坐标系中三角形面积的问题，掌握一次函数的图像与

性质是解答本题的关键.

4.（2022・河南・清丰巩营乡二中八年级期末）已知一次函数丁=履+6（左中0）的图象经过点43,0）,与7轴交

于点8,。为坐标原点.若△NO8的面积为6,则该一次函数的解析式为.

44

【答案】y=-§x-4或y=§x+4

【分析】分两种情况：当点5在y轴正半轴时，当点8在〉轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即

可解答.

【详解】解一•点43,0）,

/.OA=3,

,・•^403的面积为6,

LOA-OB=6,

2

-x3OB=6,

2

OB=4,

，B（0,4）或（0,-4）,

将4（3,0）,8（0,4）代入y=丘+6（左W0）得：

4

，一次函数的解析式为：y=--x+4,

将4(3,0),8(0,-4)代入y=履+w0)得：

f4

3k+b=Qk=-

,“，解得：3,

1[b=-4

4

,一次函数的解析式为：＞=]X-4,

44

综上所述：一次函数的解析式为：y=-§x+4或

44

故答案为：y=-jx+4^y=-x-4.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分

两种情况讨论是解题的关键.