【圆锥曲线】25定比点差法(含经典题型+答案)

定比点差法及其应用秒杀秘籍：定比点差法原理定比分点：若则称点为的入定比分点，若则若且,则称调和分割,根据定义，那么也调和分割.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P,Q两点，满足，，一定有证明：若，，则则，有①—②得：即例1:已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可重合），求的取值范围.解：设，则即①—②得：即注意：根据两个调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式。两个分点式子齐上场才能解决问题，这是定比点差法的核心。例2：过异于原点的点作椭圆的割线在椭圆上一点，是异于的一点，且满足,求证：点在直线上.解：设则则有由于在椭圆上，故①②①—②得：同除以得例3:（2008安徽）设椭圆，过点,左焦点为求椭圆的方程.当过点的有直线与椭圆相交于.在线段上取点满足.证明：点在某定直线上.解：（1）.，故令；故，由于在椭圆上，故①—②得：即即秒杀秘籍：有心曲线角平分线定理三角形的内角平分线定理：在中，若是的平分线，则有证明;作交于，交于，设边上的高为，易知，定理：已知交椭圆长轴（短轴）于点，是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点，直线交长轴（短轴）于，则。证明：连接，根据几何性质可得：为的角平分线，根据三角形内角平分线定理可知,令,则，，则则，有①—②得：即例4：（2018全国一卷19）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解：（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设，点关于轴对称的点,根据几何性质可得：令为的角平分线，与轴交点为，下面通过证明与重合来证明，根据角平分线定理有：,令,则则,，如图①—②得：即即与重合，所以.综上，.例5：（2018北京文20压轴）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．(1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值；(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．解：(1)由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．(2)设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．设，，，，设有①—②得：即，同理，故同时，由于过定点,故结合⑤⑥可得，即．1．已知椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于两点，且求直线的方程．1.（1）；（2）设，，,①—②得：即．2.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆、，是上一点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线的方程．2.（1）；（2），故令；故，由于在椭圆上，①—②得：即即，总在直线上．3．已知椭圆的上下两个焦点分别为、，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的离心率为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．（Ⅰ）．（Ⅱ）当时，，显然成立；当时，，三点共线，；,设，，①—②得：，即，如图，由于更加靠近椭圆边界，故取其作为参照点，解得综上，m的取值范围为。4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且．（1）求椭圆方程；（2）对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？（1）（2）（3）5.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．（Ⅰ）（Ⅱ）R在定直线x=﹣1上．6.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．（1）；（II）（i）参考例4题18年新课标讲解；（ii）设，根据焦长公式可得，，，7．若椭圆E1：与椭圆E2：满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比．若椭圆M1与椭圆相似且过点．（I）求椭圆M1的标准方程；（II）过点P（﹣2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B，F为椭圆M1的右焦点，直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H，设，，求的取值范围．7.（I）．（II）设，，，，设有①—②得：即，同理，故。8.已知、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，，并且满足，（Ⅰ）求此椭圆的方程；（II）若过点的直线与椭圆交于不同的两点、在之间，，试求实数λ的取值范围．（Ⅰ）；（II）λ的取值范围是．9．已知双曲线的左右两个顶点是，曲线上的动点，关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围．（1）；（2）．10．如图，已知椭圆的上顶点为，左右顶点为，右焦点为，，且的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆相交于不同两点，点在线段上，设，试判断点是否在一条定直线上，并求实数的取值范