苏科版七年级数学下册复习：探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）（解析版）

第02讲探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）

学习目标

1.认识并掌握平行线的性质；

2.运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达；

3.理解和掌握平行线的性质定理并灵活运用于求角的关系;

4.能够灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行证明.

思维导图

知识清单

知识点1：平行线的性质

1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。

2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。

3、性质3：两条平行直线被第二条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。

知识点2：平行线的性质和判定的区别与联系

平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相

等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相

等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。

同位角相等

二者的因果关系如下：内错角相等＞学定两直线平行。

同旁内角互补（性质

题型精讲

题型一：两直线平行同位角相等

【例1】.（2023下•江苏镇江•七年级校考期末）请把下列证明过程补充完整.

己知：如图，3P平分/ABC,点。、E分别在54、BP上,且Z）石〃BC.

求证：Nl=N3.

证明：回3尸平分/ABC（已知），

0Z1=（）.

aDE〃BC（已知），

回/2=（）.

回（）.

【答案】Z2；角平分线的定义；Z3；两直线平行，同位角相等；Z1=Z3；等量代换

【分析】根据角的平分线的定义，平行线的性质，推理证明即可.

【详解】证明：回3P平分/ABC（已知）

0Z1=Z2（角平分线的定义）

QDE//BC（己知），

回/2=/3（两直线平行，同位角相等）

回N1=N3（等量代换），

故答案为：Z2；角平分线的定义；Z3；两直线平行，同位角相等；Z1=Z3;等量代换.

【点睛】本题考查了角的平分线的定义，平行线的性质，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

【变式1].（2023下•江苏扬州•七年级校考阶段练习）如图，8。平分/A3C,尸在A3上，G在AC上,

FC与相交于点X,Z3+Z4=180°,试说明N1=N2.（请通过填空完善下列推理过程）

解：0Z3+Z4=18O°（已知），ZFHD=Z4（）.

EIZ3+=180°（）.

^FG//BD（）.

0Z1=（）.

03。平分/ABC（）,

0ZABD=（）.

回/1=/2（）.

【答案】对顶角相等，ZFHD,等量代换，同旁内角互补两直线平行，NABD,两直线平行同位角相等，

已知，Z2,角平分线的定义，等量代换

【分析】根据题干的思路作答即可.

【详解】EIN3+N4=180。（已知），ZFHD=Z4（对顶角相等）.

回/3+/77〃）=180。（等量代换）.

B1FG//BD（同旁内角互补，两直线平行）.

BSZl^ZABD（两直线平行，同位角相等）.

团3D平分/'ABC（己知），

0ZABD=Z2（角平分线的定义）.

0Z1=Z2（等量代换）；

故答案为：对顶角相等，ZFHD,等量代换，同旁内角互补两直线平行，ZABD,两直线平行同位角相

等，已知，Z2,角平分线的定义，等量代换.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，对顶角相等等知识，掌握是平行线的判

定与性质解答本题的关键.

【变式2】.（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，直线ab,且直线以。被直线c、d所截.

cd

/1/

--------------------/----a

b

23

⑴求证：Z1=Z2；

（2）若/1+/3=180。，试判断直线c与直线d的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）c//d（同位角相等，两直线平行）

【分析】（1）两直线平行，同位角相等，得到Nl=/4,对顶角相等，得到-2=/4,即可得证;

（2）邻补角，得到N3+/5=180。，推出/2=/5,即可得到。〃d.

【详解】（1）解：ab,

.-.Z1=Z4（两直线平行，同位角相等）

Z2=Z4

.-.Z1=Z2；

（2）结论：直线c〃d

理由：.■Zl+Z3=180°,Z5+Z3=180°

.-.Z1=Z5,

-Z1=Z2,

r.N2=N5,

：.c//d（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，邻补角.熟练掌握对顶角相等，邻补角的定义，是解题

的关键.

【变式3].（2023•江苏•七年级假期作业）如图，ZEDA=a,ZABC=£（P>a）,解答下列问题.

⑴如图①，当a=60。，/?=100。时，过点B在ED、8c的内部作8/则/FBC=度;

⑵如图②，点G在BC上，过点G作MVDE.

①当a=60。，夕=100。时，求NNGC的度数；

②用含有a和夕的式子表示NMGB；

③当a=70。，夕=100。时，过点G作GHL3C,直接写出NHGM的度数.

【答案】（1）40。

（2）①40。②a-p（3）ZHGM=120°^；ZHGM=60°

【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结果；

（2）①过点2作8尸DE,根据平行公理得到MNDEBF,再根据两直线平行，同位角相等得到结

果；②过点B作8尸DE,根据平行公理得到MNDEBF,再根据两直线平行，同位角相等得到结

果；③过点B作3尸DE,根据平行公理得到MNDE\BF,再根据两直线平行，同位角相等分两种情

况分别解题即可.

【详解】（1）解：DE,

^ZADE=ZABF=60°,

又El/ABC=100°,

0NFBC=ZABC-ZABF=100°-60°=40°,

故答案为：40°.

（2）①如图，过点2作8尸DE,

0ZADE=ZABF=60°,

XmZABC=100°,

0NFBC=ZABC-ZABF=100°-60°=40°,

0MNDE,BFDE,

^MNBF,

国NNGC=/FBC=40°,

②如上图，过点2作①7DE,

团Z.ADE=AABF=cc,

又回NABC=77,

@NFBC=NABC—NABF=a—B，

团MNDE,BFDE,

^MNBF,

团NNGC=NFBC=a—B，

③如图，过点2作8尸DE,

0ZADE=ZABF=7O°,

X0ZABC=100°,

ElZFBC=ZABC-ZABF=100°-70°=30°,

0MNDE,BFDE,

国MNBF,

0z2VGC=ZFBC=30°,

SGHIBCBi,

SZHGB=90°,

若点H在BC的上方时，

ZHGM=/HGB+ZNGC=90°+30°=120°,

若点〃在8c的下方时，

ZHGM=NHGB-ZNGC=90°-30°=60°,

综上所述,NHGM=120。或ZHGM=60°.

【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质，垂直的定义，作辅助线转化角是解题的关键.

题型二：两直线平行内错角相等

【例2】.（2023下•江苏泰州•七年级校考周测）如图，已知ABCD,BC平分ZABE,ZC=35°,求

/C跖的度数.

【答案】70。

【分析】先根据平行线的性质得NABC=/C=35。，再根据角平分线定义得NABb=2NABC=70。，然后

根据两直线平行，同位角相等可得NCEF=N/M=70。.

【详解】AB//CD,

.•.ZC=ZABC=35°,

BC平分ZABE,

:.ZABE=2ZABC=10°,

AAB//CD,

;.Z.CEF=ZABE=70°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角

互补；两直线平行，内错角相等.

【变式1】.（2023下•江苏盐城•七年级校考期末）如图：在一中，AD平分外角/E4C,且

AD//BC.求证：ZB=ZC.

【分析】先由平行线得到440=4,ZDAC^ZC,再利用角平分线证得/E4D="AC,等量代换解

题即可.

【详解】证明：^\AD//BC,

^ZEAD=ZB,ZDAC=ZC,

团AD平分外角NE4C,

0ZEAD=ZZ）AC,

iazB=zc.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，运用以上性质进行推理是解题的关键.

【变式2】.（2023下•江苏南京•七年级校考期中）完成下面的推理说明：

已知：如图，BE//CF,BE、CF分别平分/ABC和N3C£>.

求证：AB//CD.

证明：回BE、CF分别平分/ABC和/BCD(已知),

0Z1=-ZABC,Z2=-ZBCD(①).

22---------

^BE//CF（已知），

回/1=/2（②）.

S-ZABC=-ZBCD（等量代换）.

22

0ZABC=ZBCD（③）.

^AB//CD（④）.

【答案】①角平分线的定义；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④内错角相等，两直线平行

【分析】根据题意按照步骤进行求解作答即可.

【详解】证明：团BE、CF分别平分/ABC和/BCD（已知），

0Z1=1ZABC,Z2=|ZBCD（①角平分线的定义）.

SBE//CF（已知），

0Z1=Z2（②两直线平行，内错角相等）.

Q-ZABC=-ZBCD（等量代换）.

22

SZABC=ZBCD（③等式的性质）.

SAB//CD（④内错角相等，两直线平行），

故答案为：①角平分线的定义；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④内错角相等，两直线平

行.

【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，等式的性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与

灵活运用.

【变式3].（2023下•江苏无锡•七年级校联考期中）如图，AB〃CD,点E在AB上，点G在C。上.

（1）如图1,在A3、8上分别取点A/、N,连接MN,点厂在上，已知出平分NMFE,平分

ZMFG,若NA£F=30。，ZCGF=42°,求/EFG,NHFK的度数.

⑵如图2,EK平分/FEB,GH平分NCGF,反向延长GH交EK于K,设NEFG=x,请通过计算，用

含x的代数式表示NEKG.

⑶如图3,已知NFHG=90。，ZFGH=60°,FK平分NEFH,GK平分NCGH,请直接写出2EF与

ZFKG的数量关系_________________

【答案】（1）72。；36°

（2）90。-夫

⑶NFKG=135°(或ZAEF+2NFKG=270。)

【分析】(1)作k//AB,可得NGFE=72。,再利用角平分线求出结果；

⑵设NFGH=/CGH=y,求出/尸EB=180。-x+2y,再利用角平分线及平行的性质求得

Y

NEMG=90。--+y,最后根据N£KG=NEMG—NA/GK即可求解；

2

(3)过点尸作严〃四，由角平分线求得NKm=1N£FG—15。、NCGK==NCG/+30。，最后利用

22

ZFKG=180。-ZKFG-ZFGK整理式子即可得到答案.

【详解】(1)解：如图，作用〃AB,

.\ZEFP=ZAEF=30°,

AB//CD,

:.CD//FP,

:"GFP=NCGF=42。,

Z.GFE=Z.GFP+ZEFP=30°+42°=72°,

FH平分ZMFE,

/MFHJ/MFE,

2

FK平分ZMFG,

/.ZMFK=-ZMFG,

2

ZHFK=ZMFK-ZMFH=-ZMFG--/MFE=-ZGFE=36°；

222

(2)如图，设£K交。。于点M,

GH平分NCGF,

设4FGH=/CGH=y,贝|NCG尸=2y,

由(1)得，ZAEF=ZEFG-ZCGF=x-2y,

/FEB=180。—(％—2y)=180。—％+2y,

EK平分ZFEB,

1Y

ZKEB=-ZFEB=90。——+y,

22

AB//CD,

Y

ZEMG=ZKEB=90。——+y,

2

ZMGK=ZCGH=y,

YX

在AGMK中，NEKG=ZEMG-ZMGK=90°--+y-y=90°--；

AB//CD,

AB//FP//CD,

:.ZAEF=ZEFP,ZPFG=ZCGF,

/FHG=9Q。,ZFGH=60°,

:.ZHFG=30°,

FK平分NEFH,KG平分/CGH,

ZKFH=|NEFH=1(Z£FG-30°)=|ZEFG-15°,

ZCGK=|ZCGH=1(ZCGF+60°)=|ZCGF+30°,

ZFGK=NCGK-ZCGF=-NCGF+30°-ZCGF=30°--ZCGF,

22

ZKFG=ZKFH+ZHFG=-ZEFG-15°+30°=-ZEFG+15°,

22

ZFKG=180°-ZKFG-ZFGK

=1800-QZEFG+15°J-^30°-1ZCGFJ

=180°--ZEFG-15°-30°+-ZCGF

22

=135。-；(ZEFG一ZCGF)

=135°--ZAEF,

2

ZFKG=135°--ZAEF.

2

AEB

KH

C------------------------------口

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的

关键.

题型三：两直线平行同旁内角互补

【例3】.（2023下•江苏盐城•七年级统考期中）如图，AD//BC,ZB=95°,ZC=70°.求N1和—A的

度数.

【答案】Z1=70°,ZA=85°

【分析】根据AD〃3C，可得4=NC,ZA=180°-ZB,再代入数据可得答案.

【详解】解：^\AD//BC,ZC=70°,ZB=95°,

.-.Zl=ZC=70o,ZA=180°-ZB=85°.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本

题的关键.

【变式（2023下•江苏苏州•七年级统考期末）如图，AD//EF,ZAEF+ZGDC=180°.NGDC与

N54。相等吗？为什么？

【答案】相等，理由见解析.

【分析】由平行线的性质，ZAEF+ZBAD^180°,结合NA£F+NGDC=180。，知两角相等.

【详解】解：相等，理由如下：

^AD//EF,

SZAEF+ZBAD=180°.

0ZAEF+ZGDC=180°,

BAD?GDC.

【点睛】本题考查平行线的性质；掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

【变式2】.(2023下•江苏连云港•七年级校考阶段练习)为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋

转激光灯.如图，灯A射线自AM开始顺时针旋转至4V便立即回转，灯8射线自3尸顺时针旋转至BQ便

立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是相/秒，灯B转动的速度是//秒，且。、。满足

|a-3|+(<7+Z?-4)2=0.假定主道路是平行的，即PQ〃MV,且尸=1:3.

图1图2

图1图2(备用图)

⑴填空：a=,b=,ZBAN=。；

(2)若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达8。之前，灯A射线转动几秒，两灯

的光束互相平行？

⑶如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C,过C作CDLAC交尸。于点

D,则在转动过程中，/BAC与ZBC。的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，

请求出其取值范围.

【答案】⑴3145

(2)15秒或82.5秒

3

⑶不发生改变ZBAC=-ZBCD

【分析】(1)根据绝对值与平方数的非负性即可求解；根据同旁内角互补并结合已知条件可求得/A4N的

度数.

(2)根据题意，当两灯的光束互相平行时，内错角相等即可列出方程求解.

(3)设灯B射线转动的角度/尸3C=x,则灯A射线转动的角度NM4c=3x

设法把与N3CD用含x的代数式表示出来即可获得两角的关系式.

【详解】(1)El|tz-3|+(a+fo-4)2=0,

团〃—3=0,〃+/?—4—0

回。=31=1.

0PQ〃MN,

国/BAN+NABP=180°.

由Z^ATV:ZA5P=1:3得ZABP=3NBA2V

团4/3AN=180。,

^ZBAN=45°.

(2)如图.

3：/沙/[

-/--------N

//

设在灯B射线赶到达BQ之前，灯A射线转动f秒，两灯的光束平行,

①在灯射线到达AN之前，由题意得，

/+30=3,，

解得：％=15（秒）

②在灯A射线到达AN之后，由题意得：

（3r-180o）+（r+30°）=180°（同旁内角互补，两直线平行）

解得：t=82.5（秒）

回灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

（3）NB4C与N38的数量关系不发生变化.理由如下：

由回知N54N=45°,

0ZABP=ZMAB=180°-45°=135°.

设灯8射线转动的角度NPBC=x,则灯A射线转动的角度ZM4C=3%

0Z.BAC=ZMAC-ZMAB=3x-135°,①

ZABC=ZABP-ZPBC=135°-X,

0ZBCA=180°-ABAC-ZABC=180°-(3%-135°)-(135°-x)=180°-2x

0CD1AC,

0ZBCD=90°-ZBCA=90°-(l80°-2x)=2x—90°②

由①②得，2NBAC=3NBCD

3

SZBAC=-ZBCD

2

【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的判定、三角形内角和、用含字母的代数式表示角

度等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【变式3].(2023下•江苏•七年级专题练习)如图1,已知两条直线AB,8被直线E尸所截，分别交于点

E,点、F,平分交C£>于点且NFEM=NFME.

⑴判断直线A8与直线8是否平行，并说明理由；

⑵如图2,点G是射线V。上一动点(不与点M,尸重合)，EH平分NFEG交CD于点H,过点”作

HN1EM于点、N,设乙EHN=a,NEGF=0.

①当点G在点尸的右侧时，若£=50。，求a的度数；

②当点G在运动过程中，a和B之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

【答案】⑴平行，见解析

(2)①25度；②当点G在点尸的右侧时，a=；£；当点G在点尸的左侧时，«=90°-1/7

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用：

(1)依据角平分线，可得ZAEM=NFEM,根据=可得/4EM=Z™E,进而得出

AB//CD-,

(2)①依据平行线的性质可得ZAEG=130。，再根据EH平分NFEG,EM平分/AEF,即可得到

ZMEH=|ZAEG=65°,再根据HV_LME,即可得到Rt^EHV中，ZEHV=90°-65°=25°；

②分两种情况进行讨论：当点G在点尸的右侧时，a=9.当点G在点尸的左侧时，a=90。-；尸.

【详解】(1)回平分尸

^\ZAEM=ZFEM,

X^ZFEM=ZFME,

^\ZAEM=ZFME,

回AB〃CD；

(2)①如图2,

B

CMFrHGD

/图2

^\AB//CD,夕=50°

0ZAEG=180o-50°=130°,

又⑦EH平分NFEG,EM平分/4£F

团NHEF=-ZFEG,NMEF=-NAEF,

22

fflZMEH=-ZAEG--xl30°=65°,

22

又0HNLME,

回RtAEHN中.Z£7£V=90o-65°=25°,

即C=25°;

②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论:

如图2,当点G在点厂的右侧时，

证明：^AB//CD,

[SZAEG=180°-夕，

又团EH平分NFEG,EM平分NAEF

0ZHEF=-NFEG,ZMEF=-ZAEF,

22

HNMEH=|NAEG=g(180°—£),

^HN-LME,

团RtAEfflV中，ZEHN=90°-ZMEH=90。—g(180。—4)=；尸,

即a=“；

如图3,当点G在点尸的左侧时，。=90。-；4.

⑦ZAEG=NEGF=0,

又回EH平分NFEG,EM平分NAEF,

⑦/HEF=L/FEG,ZMEF=-ZAEFf

22

团ZMEH=ZMEF-ZHEF

=g(/AEF—/FEG)

=-ZAEG

2

\p

y^\HN.LME,

团RtZkEHN中，NEHN=90。一ZMEH,

即1=90。一；尸.

题型四：根据平行线的性质探究角的关系

【例4】.（2023下•江苏•七年级专题练习）如图，已知ZABC.NCED的平分线交于点?探究

4EE与NBCE之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】NBCE=2ZBFE,见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C作直线"ZV〃AB,然后证明MV〃DE,根据平行线

的性质可得4>EC=NECN，ZABC=ZBCN,进而可得NBCEuNABC+NDEC,同理可得

ZBFE=ZABF+ZDEF,再根据角平分线的性质可得NABC=2NAB尸，ZDEC=2ZDEF,等量代换可得

答案.

【详解】解：过点C作直线肱V〃AB,

^AB//DE,MN//AB,

0MN〃DE,

0NDEC=/ECN,

ABMN,

^ZABC=ZBCN,

0NBCE=ZABC+NDEC,

同理NBEE=NAB尸+NDEF,

fflZABGNCED的平分线交于点尸，

0ZABC=2ZABF,ZDEC=2ZDEF,

0ZBCE=2ZABF+2ZDEF=2ZBFE.

【变式1].（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，在一MC中，ZACB=ZBAC.过点A作

MN〃BC.

图1图2备用图

⑴判断AC是否平分NBAN,并说明理由；

（2）如图2,点。是射线CB上一动点（不与点8,C重合），AE平分/血＞交射线BC于E,过点E作

EFJ.AC于F.

①当点。在点2左侧时，若ZAEF=20。,求NAD3的度数；

②点。在运动过程中，NAEF和N4汨之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.

【答案】（1）AC平分NA4N,理由见解析

⑵①40。；②/钮汨=2NAEF或NADB=180。—2NAEF,理由见解析

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可解答;

(2)①根据角平分线的定义可得NDA石=NA4E,NR4C=NaW,从而得到NZMN=140。，再由平行线的

性质，即可解答；②分两种情况讨论：当点。在点3左侧时；当点。在点3右侧时，即可解答.

【详解】(1)解：AC平分NB4N,理由如下：

⑦MN〃BC,

团NACB=NGW,

中ZACB=/BAC,

0ZBAC=ZGW,

团AC平分NBAN；

(2)解：①回防1AC,

0ZEAF=9Q°-ZEAF=70°,

团AC是角平分线，

回ZDAE=/BAE,ABAC=ZCAN,

团ZEAF=ZBAC+ZBAE=70°=ZDAE+/CAN=-ADAN,

2

回NZMN=140。，

BMN/7BC,

^ZADB=1800-ZDAN=40°；

②设=

团EF1AC,

国NEAF=90°—a,

当点。在点3左侧时，

由(1)得：ZNAC=ABAC=-ZBAN,

2

团A石平分44。，

团ZDAE=ZBAE=-ZBAD,

2

又团ZEAF=NBAE+ABAC=1ABAD+1/BAN=1(ZBAD+NBAN)=；ZDAN=90°-a,

团NDAN=1800—2a,

BMN^BC,

团NAZ阳+mw=18。。，

团ZADB=180°-/DAN=180°-(180°-2a)=la,

^\ZADB=2ZAEF；

如图，当点。在点3右侧时，

MAN

团AC,AE分别平分/BAN,ABAD,

11

I?]ZDAE=ZBAE=-ZBAD,ABAC=ZCAN=-ZBAN,

22

0ZEAF=ZBAC-ZBA£=lz^4zBAP=l(Z^-Z^)aZ^=9OO-«

0ZZMA^=18O°-2a,

0MN〃BC,

ElZAD3=NZM/V=180°—2。，

0ZADB=180°-2ZAEF；

综上所述，/403=2/心或乙4。3=180。一244£尸.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平

行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证.

【变式2】.（2023下•江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现

规律，探索问题的解.

⑴如图1,AB〃CD,同E为AB、C。之间的一点.求证：Zl+ZMEV+Z2=360°.

⑵如图2,AB〃CD,点E、F、G、H为AB、CO之间的四点.贝U/l+N2+N3+N4+/5+N6=

⑶如图3,AB//CD,则4+N2+/3++/〃=

【答案】⑴证明见详解；

(2)900°；

⑶180。(〃-1)；

【分析】（1）过点E作OE〃四，可得OE〃钻〃CD,根据平行线的性质可得/1+NMEO=180。,

Z（9£W+Z2=180°,再计算角度和即可证明；

（2）分别过点E、F、G、”作AB的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度

和后，再将所有角度相加即可解答；

（3）由（2）解答可知在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和，结合图3找出〃和线段条

数的关系便可解答；

【详解】（1）证明：如下图，过点E作

回AB〃CD,OE〃AB,

S\OECD,

根据两直线平行同旁内角互补可得：

Zl+ZME，O=180°,ZOSV+Z2=180°,

BIZ1+ZMEO+ZOEN+Z2=360°,

0ZI+ZMEN+Z2=360°；

(2)解:如下图，分别过点E、F、G、H作0或〃48,O2F//AB,Ofi//AB,O.H//AB,

AMB

结合（1）解答在两相邻平行线间可得：

ZAME+NMEO[=180°,

ZOtEF+ZEFO2=180°,

ZO2FG+ZFGO3=180°,

O

ZO3GW+ZGHO4=180,

NORN+/HVC=180。，

将所有角度相加可得：

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180ox5=900o；

（3）解:由（2）解答可知在A8、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和,

由图3可知：

当A8、8之间有2条线段时，n=3,

当AB、CO之间有3条线段时，〃=4,

当A3、CD之间有4条线段时，〃=5,

当AB、CD之间有5条线段时，n=6,

当A3、CO之间有（"T）条线段时，«=«,

0Z1+Z2+Z3++4=180。（"-1）；

【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组

计算是解题关键.

【变式3】.（2023下•江苏南京•七年级校考阶段练习）如图所示的格线彼此平行（4〃/2〃/3〃4〃/5〃/6）.小

N2是角的两边与格线所成的角）

（2）如图2,他又在两条格线之间取一点。，作出/AO3,请探究/I、N2与NAO3之间的数量关系，并

证明；（注：Nl、N2是角的两边与格线所成的角）

⑶如图3,点A、B、C、。在格线上，点。在格线之间，AD平分NPAO,PB平分NOBC,若

ZPBC=35°,则ZAOB+ZAPB=°.

【答案】（1）43

（2）ZAOB=Z1+180°-Z2,理由见解析

（3）105

【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得出答案；

（2）根据两直线平行，内错角相等（即猪蹄模型）即可得出结论；

（3）根据角平分线的性质，平行线的性质，得出猪蹄模型是解本题的关键.

【详解】（1）解：如图所示：

A

回，2//l3//l5,

团N1=N3,N2=N4,

IEZAOB=Z3+Z4=80°,Zl=37°,

回？2?AOB?180?37?43?,

故答案为：43；

(2)NAO5=Nl+180。—N2理由如下:

过点。作/7〃，2，如图2,

图1图2

7，

•・N1=N3,

，•/2〃，7且，5〃，2,

•.N4=N5,

,Z5=180°-Z2,

•,Z4=Z5=180°-Z2,

ZAQB=N3+N4,

,.NAQ5=Nl+180。—N2；

(3)过点尸作PE〃/2,如图3,

2,

团PE〃/l2//ls,

团PE〃/5，

S1ZEPB=ZPBC,

团AD平分/PA。，PB平分/OBC,

0?PADWAO,PBO=?PBC,

0?APB?EPB1EPA1PBCIPAD,

根据猪蹄模型可得：?AOB1DAO?OBC,

^ZAOB+ZAPB

=ZDAO+ZOBC+NPBC-Z.PAD

=2?PBC?PBC

=3?PBC

=3第5

=105°,

故答案为：105.

【点睛】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出猪蹄模型是解本题的关键.

题型五：根据平行线的性质求角的度数

【例5】.（2023下•江苏南通•七年级如东县实验中学校考期中）如图，点C,。在直线上，CE//DF,

EF//AB,/DEE的角平分线尸G交AB于点G,过点尸作9G交CE的延长线于点若

/CMF=55°,求NCD厂的度数.

A

DF

B

【答案】110°

【分析】根据平行线的性质得出NOWF+"R0=18O。，求出NDRW=125。，根据垂线定义得出

ZGFM=90°,求出“2=/。自似一/67^=125。-90。=35。，根据角平分线定义得出

ZDFE=2ZDFG=70a,根据平行线的性质得出NCD尸+NOPE=180。，求出NCD尸=110。即可.

【详解】解：SCE//DF,

即CM〃。尸，

0ZCMF+ZE>™=180°,

0ZCMF=55°,

0ZE>™=125°,

SFM1FG,

团/GEM=90。，

0ZDFG=ZDFM-ZGFM=125°-90°=35°,

回FG是ZDFE的角平分线，

0ZDFE=2ZDFG=70°,

^EF//AB,

0Z.CDF+ZDFE=180°,

0ZCDF=11O°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行

同旁内角互补.

【变式1】.（2023下•江苏盐城•七年级校考阶段练习）如图，在ABC中，点。，E分别在A3和AC上，

CD平分/ACB,过点。作。E〃BC.已知/EDC=40。，求NAED的度数是多少？

【答案】80。

【分析】根据平行线的性质得到/£1X：=/3口）=40。,4£0=/4。8,根据。。平分/48,得到

ZACB=2NBCD,即可得解.

【详解】解：SDE//BC,

0ZEDC=ZBCD=40°,ZAED=ZACB,

EIC£>平分/ACB,

0ZACB=2ZBCD=2x40°=80°,

0ZA£D=8O°.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质和角平分线平分角是解题的关

键.

【变式2】.（2023下•江苏镇江•七年级校联考阶段练习）如图，AB//CD,直线E尸分别交A3、CO于点

E、F,EG平分NAEF,4=40。，求N2的度数.

【答案】100°

【分析】根据平行线的性质"两直线平行，内错角相等"，再利用角平分线的性质推出/2=180。-2/1,这

样就可求出N2的度数.

【详解】解：AB//CD,

Zl=ZAEG.

EG平分,AEF,

;.N1=NGEF,ZAEF=2/1.

又1ZAEF+Z2=180°,

Z2=180°-2/1=180。一80°=100°.

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的

基本图形，从而利用性质和已知条件计算.

【变式3】.（2023下•江苏淮安•七年级统考期末）如图，直线尸Q〃沟V,一副三角板

（ZABC=ZCDE=90°,NACB=30。，Zfl4C=60°,ZDCE=ZDEC=45。）按如图①放置，其中点E在

直线尸。上，点3,C均在直线MN上，且CE1平分ZACN.

⑴求ZDEQ的度数；

⑵如图②，若将_ASC绕8点以每秒10。的速度按逆时针方向旋转（A,C的对应点分别为凡G）.设旋

转时间为t秒（0VY36）；

①在旋转过程中，若边3G〃cr）,求f的值；

②若在ABC绕8点旋转的同时，CDE绕E点以每秒5。的速度按顺时针方向旋转（C、。的对应点分别

为K、T）,请直接写出EK与3G平行时r的值.

【答案】⑴60。

(2)①3或21；②5或17或29

【分析】(1)首先求出/ACN,根据角平分线的定义求出NEQV,再根据平行线的性质求出NQEC,继而

可得结果；

(2)①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于f的方程，解之即可；②表示

出NCEK=5f,ZCBG=Wt,分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可.

【详解】(1)解：ZACB=30°,

ZACN=1800-ZACB=150°,

CE平分ZACN,

ZECN=-ZACN=75°,

2

PQ//MN,

ZQEC+ZECN=180°,

ZQEC=180°-75°=105°,

ZDEQ=ZQEC-ZCED=105°-45°=60°.

(2)①如图，BG//CD,

ZGBC=ZDCN,

ZDCN=ZECN-ZJECD=75°-45°=30°,

.-.ZGBC=30°,

「.10)=309

.,.t=3.

:.ZGBC=ZBCD,

04DCN=30°,

0ZGBC=ZBCD=150°,

此时ABC旋转了360。-150。=210。，

回10/=210,

Z=21.

在旋转过程中，若边3G〃CD,f的值为3或21.

②如图，延长3G,与PQ交于H,

ZCEK=5t,ZCBG=10t,

BBG〃EK,

田NGHE=NKEQ,

团尸Q〃MN,

团Z.CBG+Z.GHE=180°,

国NCBG+NKEQ=180。，

即10/+5/+105。=180。，

解得：t=5；

如图，过点C作CH〃6K,

国BG〃EK,

QCH〃BG,

^ZGBM=ZHCM=lS00-10t,ZKEC+ZECH=1SO°,

团ZECH=ZECM-ZHCM=105°-(180°—10。=102—75°,ZCEK=5t,

团5r+10-75。=180。，

JF

如图，延长G3,与PQ交于H,

团尸。〃MN,

团ZCBG=ZBHQ=360°-10t,

⑦BG〃EK,

团ZBHQ=ZHEK=360°-10r,

⑦ZHEC=NCEK—ZHEK=75。,

即5r-（360°-10r）=75°,

解得：t=29；

综上：t的值为5或17或29.

【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关

键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

题型六：平行线的性质在生活中的应用

【例6】.（2023下•七年级单元测试）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹

角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中,

图1图2图3

（1汝口图2,已知镜子与镜子ON的夹角0MON=9O。，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系,

并说明理由;

⑵如图3,有一口井，已知入射光线49与水平线OC的夹角为50。，当平面镜与水平线OC的夹角

为_。，能使反射光线08正好垂直照射到井底；

⑶如图4,直线上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.BBAF=120°,SDCF=40。，射线A8、CD

分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为/秒，在射线转动一周的时间

内，是否存在某时刻，使得C。与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间上

【答案】C。，理由见解析

(2)70

⑶在射线A8转动一周的时间内，存在时间3使得CQ与AB平行，其V10s或100s.

【分析】(])计算0A2C+aBC。的值便可得出结论；

(2)先计算出她。2,进而得fflAOM+SBON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角

相等，得出结果；

(3)分四种情况讨论：当0s夕420s时，当20s<f*0s时，当40s<K80s时，当80s<fSl20s时，根据角度

大小变化关系锁确AB//CD时的/值.

【详解】(1)解：AB//CD.理由如下：

001=02,回3=团4,

EBA8C=180°-Ell-EI2=180°-2EI2,fflBCD=18O°-03-04=18O°-2E3,

0EL4BC+EBCZ)=36O°-2(E2+EI3),

fflBOC=90°,

002+03=90°,

00ABC+EBC£)=18O°,

0AB0CD；

(2)解:EEAOC=50°,ELBOC=90°,

EBAOM+!32ON=180°-90°-50°=40°,

SS\AOM=^BON,

aa40M=I3BON=20°,

EBCOM=20°+50°=70°,回CON=20°+90°=110°,

团当平面镜MN与水平线OC的夹角为70。时，能使反射光线08正好垂直照射到井底，

故答案为：70；

(3)解：①当Os±W20s时，如下图，

^AB//CD,贝崛BAC=0ACD,

即120+3户140+r,

解得10,

回当f=10s时AB〃CD；

②当20s<区40s时，如下图,

B

有EIBAEV9（r<l3ACJ9,则AB与CD不平行;

③当40s<f480s时，如下图，

E

B

有回及ICCEACD,与CD不平行;

④当80s<Kl20s时，如下图，

E

F

若AB〃C。，贝腼BACWOCF,

即3Z-240=?-40,

解得f=100,

回当f=100s时，AB//CD-,

综上可知，在射线A2转动一周的时间内，存在时间3使得C。与平行，其UlOs或100s.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题.

【变式1】.（2023下•江苏•七年级期中）如图1,某段道路A3CD,两旁安装了两个探照灯M和N.灯

M光束从MB开始旋转至180。便立即回转，灯N光束从NC开始旋转至180。便立即回转.灯M转动的速度

是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为/秒.

«HR

⑴如图2,灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动.

①直接写出灯M光束和灯N光束，灯先回转；（填/或能

②在灯〃光束回转之前，当两灯的光束平行时，求f的值；

（2）如图3,两灯同时转动，且均不回转.连接MN,且ZBMN=2ZMND,若两灯光束交于点E,在转动

过程中，请探究与ZMEF的数量关系是否发生变化？并说明理由.

【答案】⑴①N；②当/的值为60或140时，两灯的光束互相平行

⑵不变，NBME=ZMEF.理由见解析

【分析】（1）①分别计算〃、N回转时间，然后比较即可；②根据M、N均未回转即30</<120和N回

转后即120々<180两种情况，进行求解即可；

（2）由ABCD,可得N3MN+NA1ZVD=18O。，则/3MN=120。，NMND=60。，由

ZBME=t°,ACNF=2t°,得4^£=120。一巴ZMVF=2/°-120°,求得/MEN=180。7。，则

ZMEF=t0,进而可得=

【详解】（1）①解：光束M回转时间为£=180+1=180（秒）；

光束N回转时间「=180+2+30=120（秒）；

0120<180,

回光束N先回转,

故答案为：N；

②解：当30</<120时，如图1,

0ABCD,

SZBMM'=ZMM'C,

0MM'〃NN',

SZN'NC=ZMM'C,

©/BMM'=ZNNC,

团，=2（t-30）,解得/=60：

当120＜，＜180时，如图2,

国ABCD,

团NBMM'+ZMMD=180°,

⑦M