四川省巴中市某中学2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

四川省巴中市高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线4的倾斜角为60。，直线4经过点A(-l,-6),8(0,0)，则直线44的位置关系是

()

A.平行或重合B.平行C.垂直D.重合

2.已知圆C|：(^-1)2+/=1,圆C2：(X-4)2+/=16,则圆C1与圆G的位置关系为()

A.相离B.相交C.外切D.内切

3.在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为()

A.-B.-C.1D.-

4323

4.已知点4(s5),3(3,〃)，若AB的中点坐标为(2,1),则直线48的方程为()

A.x+4y-9=0B.x+4y+9=0

C.4x+y+9=0D.4x+y-9=0

5.若一=(-1,2,1),5=(1,3,2),则(商+B).(2万-5)=()

A.2B.5C.21D.26

6.已知点4(2,2,3),*1,2,2),C(0,0,-l),。(2,2,-1),则异面直线AB与CD的夹角为

()

2兀c5兀一兀C兀

A.—B.—C.—D.一

3636

7.VABC中A(l,3),5(3,1),C(-l-l),则VABC的面积()

A.4B.5C.6D.7

二、未知

8.已知点P(2,r),2(2,T)(f>0),若圆c：(x+2)2+(y—3)2=l上存在点M,使得/PMQ=90。,

则实数f的取值范围是()

A.[4,6]B.（4,6）

C.（0,4]u[6,+co）D.（0,4）＜-＞（6,+oo）

三、多选题

22

9.若+^^=2为椭圆的方程，则加的值可以为（）

10-mm-2

A.3B.6C.8D.1

10.己知实数X、y满足方程尤2+/一4工一2丫+4=0,则下列说法正确的是（）

A.2的最大值为之B.）的最小值为0

x3x

C.f+的最大值为石+10D.x+y的最大值为3+0

11.在长方体ABCO-ABCR中，AB=AD=lcm,例=2cm,动点p在体对角线8,上（含

端点），则下列结论正确的有（）

A.长方体ABCD-A4CQ1的表面积为10cm?

B.^BP=-BDX,则AP+PC的值为Jdcm

6

C.当尸为82中点时，ZAPC为锐角

D.不存在点P,使得BD—平面APC

四、填空题

12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7,乙

投中的概率为0.8,则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.

13.线段A2,其中A（2,5）,5（5,1）,过定点尸。,2）作直线/与线段相交，则直线/的斜率

的取值范围是.

14.在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=6,BC=1,为等边三角形，

若四棱锥P-ABCD的体积为1,则此四棱锥的外接球表面积为.

五、解答题

试卷第2页，共4页

15.已知直线4：入一2y-2%+4=。，直线4：左?x+4y-4k2-8=0.

⑴若4〃心求左;

(2)若…,求4与4的交点尸的坐标.

16.(1)已知VABC顶点的坐标为A(4,3),3(5,2),C(l,0),求VA5C外接圆的方程；

(2)求直线x+2y-3=0被圆(x-2『+(y+l)2=4截得的弦长.

17.2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共

91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.

为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能

力测试.根据测试成绩,将所得数据按照140,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分成6组，其频率分布直方图如图所示.

频率

组距

0.025

0.015

0.010

0.005

O405060708090100成绩/分数

(1)求a值和该样本的第75百分位数；

(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用按比例分配的

分层随机抽样方法抽出5名同学,再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解,

求这2名同学分数在[40,50),[50,60)各一人的概率.

18.已知在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是边长为4的正方形，ABI。是正三角形，平

面平面E、F、G分别是阴、PB、BC的中点.

⑴求证：E/U平面B4D；

(2)求平面EFG与平面A8CQ所成二面角的夹角的余弦值；

(3)线段尸。上是否存在一个动点M,使得直线GM与平面EFG所成角为若存在，求线

段RW的长度，若不存在，说明理由.

19.已知点M为线段48的中点，5(6,4),点“为圆(x-4y+(y-2)2=l上动点.

⑴求A点的轨迹曲线C的方程；

⑵过点尸(TO)的直线/与(1)中曲线C交于不同的两点E，F(异于坐标原点。)，直线OE,

的斜率分别为a、k2,判断左曲2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号123456791011

答案ADCDBCCACABDAC

1.A

【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.

【详解】依题意，直线4的斜率匕=tan60。=6，直线4的斜率e=卫心=6，

-1_0

即人=心,所以“〃2或4,4重合.

故选：A

2.D

【分析】根据|1=弓r即可判断两圆的位置关系.

【详解】由题意知，G(l,0),「l，G(4,0),g=4,

所以26|=3,弓-4=3,则Cc?|=马一小

所以两圆内切.

故选：D

3.C

【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率.

【详解】不超过9的质数有2,3,5,7共4个，任取两个求和有：2+3,2+5,2+7,3+5,

3+7,5+7共6个，

其中和为偶数的有3个：3+5,3+7,5+7,

和为偶数的概率为尸==3=;1,

62

故选：C.

4.D

【分析】由A8的中点为(2,1)列方程组解以〃，然后根据两点式方程计算即可.

必=2

2

【详解】由题可得,,解得根=1,〃=-3,

5+n1

------=1

I2

即4(1,5),8(3,—3).

将点AB坐标代入两点式方程可得与三=，

—3—53—1

答案第1页，共12页

即4x+y-9=0.

故选：D.

5.B

【分析】先得到4+瓦2万-5的坐标，再利用数量积运算求解.

【详解】因为a=(-l,2,l),B=(l,3,2),

所以益+5=(0,5,3),2万一5=(-3,1,0),

则(商+B>(24-5)=0x(-3)+5xl+3x0=5.

故选：B

6.C

【分析】由题意可得异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，结合特殊角的余弦值，可得

答案.

【详解】由题意得荏=(-1,0,-1),CD=(2,2,0).

jr

设异面直线AB与CD的夹角为a,0,-,

则s'"辰(丽丽h第=石岛京《得"小

故选：C.

7.C

【分析】求直线的方程和|钻|,以及点C(-1,-1)到直线的距离，即可得面积.

22

【详解】由题意可知：kAB=^-=-1]AB\=7(1-3)+(3-1)=272,

可知直线覆：y-3=-(x—l),即尤+y-4=0,

可得点C(-l,-l)到直线AB的距离d==3后,

所以VABC的面积$谀=1/|A同=gx30x2夜=6.

故选：C.

8.A

【分析】求得以p。为直径的圆的方程为。-2)2+丁=产，把圆c：(x+2>+(y-3)2=1上

存在点使得NPMQ=90。，转化为两圆存在公共点，结合圆与圆的位置关系，列出不等

答案第2页，共12页

式组，即可求解

【详解】由题意，点尸（2J）,G（2,-z）（r>0）,

可得以P。为直径的圆的方程为（尤-2）2+丁=产，则圆心G（2,0）,半径R=r,

又由圆C：（尤+2）2+（y-3）2=1,可得圆心C（-2,3）,半径厂=1,

两圆的圆心距为|CCj=7（2+2）2+（0-3）2=5,

要使得圆C：（x+2）?+（y-3）2=1上存在点使得/PMQ=90。,

\R+r>5r+l>5

即两圆存在公共点,则满足即TV5,解得4M6,

所以实数f的取值范围是[4,6].

故选：A.

9.AC

2（10-m）>0

【分析】将方程化为标准式，依题意可得，2（加-2）>。，即可求出机的取值范围,

2（10-m）w2（m一2）

即可判断.

2222

【详解】方程上一+^^=2,

BP—-r+—~~7=1,

10-mm-22(10-777)2(777-2)

2（10-?71）>0

依题意可得，2（m-2）>0,解得2<〃z<10且加力6,

200-m）x2（优-2）

即机的取值范围为（2,6）u（6,10）,结合选项可知A、C符合题意.

故选：AC

10.ABD

【分析】设）=左，可得丫=丘，利用直线丁="与圆（x-2）2+（y-l）Jl有公共点，求出％的

取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出Y+y2的最大值，可判断C选项；

设x+y=r,利用直线x+y—=o与圆a-2『+（yT2=i有公共点，求出烟取值范围，可判

断D选项.

答案第3页，共12页

【详解】将方程/-4x-2y+4=0化为标准方程可得(x-2)2+(y-l)2=1,

圆(X-2)2+(y-1)2=1的圆心为C(2,1),半径为r=1,

对于A选项，设可得y=履，

尤

则直线工质与圆(x-2)2+(y-l)2=l有公共点，

|2左一4

所以，)*41，整理可得3左2_4左V0,解得0W左Vw，AB者B对;

止+13

对于C选项，代数式x2+y2的几何意义为圆(x-2丫+(y-丁=1上的点尸(％j)到原点的距离

的平方，如下图所示：

由图可知，当点尸为射线OC与圆C的交点时，10H取最大值，即

2

|OP|maK=|OC|+r=A/2+l+l=V5+l,

故Y+V的最大值为（括+1『=6+26,C错;

对于D选项,设x+y=f,则直线x+yT=0与圆(x-2y+(y_l)2=l有公共点,

|2+1一|

所以,~irVI,解得3-+

所以，x+y的最大值为3+夜，D对.

故选：ABD.

11.AC

【分析】对于A：直接求长方体表面积即可；建系标点，设丽=兄西'，可得巨5，定.对

于B：代入直接求模长即可；对于C：利用空间向量求夹角即可；对于D：根据垂直关系列

式求解即可.

【详解】对于选项A：长方体的表面积为2xlxl+4xlx2=10(cm2),故A正确；

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

答案第4页，共12页

则A（l,0,0）,B（l,1,0）,C（0,1,0）,Dx（0,0,2）,

可得西=（-丽=（0,-1,0）,BC=（-1,0,0）,

ULIUUU

设3尸=43〃=（-A,-2,2A）,0<2<l,

____1,____»____»ULUULUUUL

贝|」丛=34_3Q=（；1,；1_1,_2/1）,PC=BC-BP=（2-l,A,-22）,

_.iuirfi5]\uuu（s]i

对于选项B：若丽=：函,则以=£，-之，一：，PC=-7'7'-o

6<oo5）1663

所以AP+PC的值为强cm,故B错误；

3

对于选项C：当尸为BR中点时，则2=；,丽=[»“’反=11-1

2'2’

uuruim1

/UirunuvPA-PC

可得cosZAPC=cos（PA,PCi=|UtT|山叫

、/PA-PC\/6V63

~TX^2

所以NAPC为锐角，故C正确;

对于选项D：当32_L平面APC,

因为AP,CPu平面APC,则BQ_LAP,BE）|_LC尸,

BDPA=-2+l-A-4A=0解得彳=),

可得西•定=Y+1-"44=0

6

故存在点P,使得平面APC,故D错误;

故选：AC.

答案第5页，共12页

12.0.38/—

50

【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.

【详解】记4=“甲投中"，3=“乙投中”，

贝UP（A）=0.7,P（A）=1-0.7=0.3,P（B）=0.8,P（B）=l-0.8=0.2

所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为P（AB^AB）=P（AB）+P（AB）

=P（A）P（B）+P（A）P（B）=0.7x0.2+0.3x0.8=0.38.

故答案为：0.38.

13.二,3

_4_

【分析】计算Kp=3,。=-；，得到范围―

【详解】A（2,5）,B（5,l）,P（l,2）,故配=手=3,kBP=^-=-\,

AB两点之间横坐标不包含1,故直线/的斜率的取值范围是，3.

故答案为：-：，3

..1616^-

14.—77-----

33

【分析】连接ACM交于0,先根据AR4C为等边三角形以及四棱锥尸一ABCD的体积为1

可得PO_L平面ABC。,进而可得球心在平面PAC中，进而求得外接球的半径与表面积即可.

【详解琏接AC,BD交于。，连接PO.因为底面ABCD为矩形，故AC=BD=y/AB2+BC2=2.

又APAC为等边三角形，故尸OLAC,PA=PC=2,AO=1,则POUJAP?-AO?=瓜

又四棱锥P—形CD的体积为1,设高为〃，则出xlx〃=l,

解得〃=A/3.

故尸。为四棱锥尸-ABCD的高，即PO_L平面ABCD,

又AC为底面ABC。外接圆的直径，故此四棱锥的外接球球心在平面PAC中，

即三角形FAC外接圆圆心.

cnPC24

设球半径为R,贝IsinZPAC1x/3,

答案第6页，共12页

、16

所以外接球的表面积为4兀&=TI(2R)-=不兀.

故答案为：—71

15.⑴左=一2；(2)尸(3,3).

【分析】(1)根据平行得到人4=-2az,计算得到答案.

(2)根据垂直得到％"+(-2>4=0,解得4=2,再计算交点得到答案.

【详解】(1)若则由H4=—2次2,即2左2+4左=0,解得左=0或左=一2.

当左=0时，直线八一2y+4=0,直线公4y—8=0,两直线重合，不符合乙〃/?，故舍去;

(2)若乙上*则由公左2+(_2>4=左3一8=0,得4=2.

所以两直线方程为4：x-y=0,12：尤+y-6=0,

fx-y=0[x=3/、

联立方程组jx+y[6=0，解得[=3'所以4与‘2的交点P的坐标为尸(3,3).

【点睛】本题考查了直线的垂直和平行，意在考查学生的计算能力.

16.(1)(x-3)2+(y-l)2=5(2)

【分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个点的坐标，即可由方程组解得参数，求得圆的方

程.

(2)利用点到直线距离公式先求得弦心距，再根据勾股定理即可求得弦长一半，进而得弦

长.

【详解】(1)设所求圆的方程为/+/+瓜+4+尸=0.

4D+3E+F+25=0,[。=一6,

因为点A,B,C在所求的圆上，故有5。+2£+尸+29=0,解得E=-2,

D+F+l=0,[F=5.

答案第7页，共12页

2

故所求圆的方程为好+y-6x-2y+5=0f

化为标准方程可得(％-3)2+(y-=5.

(2)圆(工一2)2+(>+1)2=4,圆心(2,-1),半径r=2,

直线x+2y-3=0,

3

所以圆心(2,-1)至IJ直线x+2y—3=0的距离为4=忑，

故由勾股定理可得弦长的一半为77r才=小二|=孚，

所以截得的弦长为零.

【点睛】本题考查了由三个点的坐标求圆的一般方程的方法，直线与圆相交所得弦长的求法,

属于基础题.

17.(1)0.030,第75百分位数为82

⑵平均分为71

(3)1

【分析】(1)根据百分位数定义结合题意计算即可；

(2)根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可；

(3)利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解.

【详解】(1)由题意可得：(0.01+0.015+0.015+4+0.025+0.005)x10=1,

解得：a—0.030；

因为0.1+0.15+0.15+0.3<0.75,0.1+0.15+0.15+0.3+0.25>0.75,

所以该样本的第75百分位数在区间［80,90),

所以设该样本的第75百分位数为x,则可得方程：

0.1+0.15+0.15+0.3+(x-80)x0.025=0.75,

解得：x=82,

即该样本的第75百分位数为82.

(2)因为45*0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71.

(3)采用分层抽样从［40,50)和［50,60)抽取5名同学，

答案第8页，共12页

因为0.1:0.15=2:3,

则应在成绩为［40,50)的学生中抽取2人，记为a,b；

在成绩为［50,60)的学生中抽取3人，记为A,B,C；

再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下结果，

(a,6),(a,A),(a,B),(a,C),

(b,B),他,C),(A,B),(AC),(3,C)共10种可能结果;

其中在［40,50),［50,60)各一人的共6种；

所以所求概率P=［=|,

则这2名同学分数在［40,50),［50,60)各一人的概率为手

18.(1)证明见解析

*

(3)不存在，理由见解析

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理证明平面B4。，即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法

求出平面EFG的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(3)设丽'=/而利用向量的线性运算求出的■的坐标，然后利用向量的夹角公

式列出方程，求解即可得到答案.

【详解】(1)因为平面阴。，平面A8CD,平面外。n平面ABLAD,ABu平面

ABCD,

所以AB_L平面B4。，

又E、尸分别是RI、PB的中点，

则

故EF_L平面PAD-,

(2)取的中点O,连接P。，连接OG,则OG_LAO,

因为平面平面ABC。，POLAD,POu平面%D,

所以PO_L平面ABC。，

故以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

答案第9页，共12页

则0(0,0,0),A(0,-2,0),B(4,-2,0),C(4,2,0),

0(0,2,0),G(4,0,0),P(0,0,2病,£(0,-1,A/3),F(2,-1,回,

所以方=(2,0,0),EG=(4,1,-73),

设平面EFG的法相向量为fn=(x,y,z),

m-EF=Q[2x=0

则一，即r-

m-EG=Q[4x+y-yj3z=Q

令z=l,贝！=

故所=(0,q,1),

又平面ABCD的法向量为力=(0,0,1),

所以由低砌=制=显而=1

所以平面EFG与平面ABCD所成二面角的夹角的余弦值为1；

(3)设两=,而/40,1],

因为碗=/+而=/+而=(-4,0,2圾+f(0,2,-273),

故祠=(-42,2商7))，

衣“J/E7-\1\GM-m\2>/36

所以cos(GM,m)\=----；---=——/=/

1'"\GM\\m\^3+lxV16r2-24r+28^16^-24r+28

yr

因为直线GM与平面EFG所成角为

故，/。"，

,16/-24/+282

答案第10页，共12页

化简可得2产-3打3=0,故方程无解,

所以在线段尸。上不存在一个动点M,使得直线GM与平面斯G所成角为(.

(2)%凡是定值，定值为5

【分析】(1)设A(%y),〃(5,