数列知识点与题型总结（原卷版）

数列知识清单

序号知识点内容

考点一等差数列的定义与特征值的计算

考点二等比数列的定义与特征值的计算

考点三等差数列的性质

考点四等比数列的性质

考点五数列通项公式一一累加法

考点六数列通项公式一一累乘法

考点七数列通项公式一一法

考点八数列通项公式一一构造法

考点九数列通项公式一一倒数法

考点十数列求和——裂项相消法

考点十一数列求和——错位相减法

考点十二数列求和——分组求和法

考点十三数列求和----倒叙相加法

考点十四奇偶数列

考点十五数列插项问题

考点十六数列最值问题

考点十七数列新定义

考点一等差数列的定义与特征值的计算

1.等差数列的定义：=------------;%i+a“+i=------------------------

2.等差数列的通项：4=______________.

3.等差数列前“项和S==________________=_____________________

1.（2024•广东佛山•一模）记S,为等差数列｛%｝的前凡项和，已知$4=0,%=-5,贝IJ（）

2

A.a„=-2n+5B.an-3n-10C.Sn=-2n+SnD.S“=-g"2+2”

2.（2024•湖北武汉•模拟预测）设等差数列｛%｝的前九项和为S“，若品,-53=35,%+6。=7,则｛%｝的公

差为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024•内蒙古包头•三模）设S“为等差数列｛%｝的前〃项和，若醺=44，«,>0,若”>1时，Sn=an,

则，等于（）

A.11B.12C.20D.22

4.（2024•江西新余•模拟预测）我国数学著作《九章算术》中很早就有有关数列问题的记载：“今有五人

分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”，译文为：“现有5人分5钱（一种单位），要使分得钱

数最多的两人所得的钱数和与其他三人所得的钱数和相等，且五人分得的钱数的某种排列成等差数列，

问各得多少钱.”在上述问题中随机取一人，这个人得到的钱数可能为：.（写出一种可能即可）.

5.（2024•浙江金华•一模）已知数列｛%｝为等差数列，4=1,%+%=8,则4=.

6.（2024•吉林长春•一模）已知公差不为。的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若Sg=3（%+%+m），贝U

m=

考点二等比数列的定义与特征值的计算

1.等比数列的证明：⑴a“+a“_]=d(2)an+x^an=d(3)a^-a,^=a1.

2.等比数列的通项公式：an=_____________=________________.

3.等比数列的前〃项和公式：S,,=_____________=________________.

1.(2024•湖南益阳•一模)己知等比数列｛%｝中，q+%=2,a4+a6=16,贝lJ%o+/=()

A.26B.32C.512D.1024

2.(2024•江苏•三模)设等比数列｛%｝的前"项和为S”,%+4=16,S6=21,则S?=()

A.1B.4C.8D.25

3.(2024•贵州贵阳•二模)记等比数歹!)｛%｝的前〃项和为5“,卬%生=27,%=81,则$$=()

A.121B.63C.40D.31

4.(2024•湖南邵阳•三模)已知｛&,｝是等比数列，且4。2。3=3,生。4。5=6,则()

A.12B.24C.36D.48

5.(23-24高二下•安徽池州•期中)已知等比数列｛4｝为递增数列，且的+%=3,%q=2,则

—

%,

8

6.(2024•上海浦东新•三模)已知数列｛叫为等比数列，%=8,3,则、＞=.

i=l

考点三等差数列的性质

1.等差数列通项公式的性质

(1)若加+〃=〃+〃，则_________________________.

(2)若m+n=2p,贝"_________________________.

(3)若a、b、c为等差数列，则_________________________,b为a、c的_____________________.

(4)若｛%｝为等差数列，则氏+°、4+2？、/+3。…依旧是等差数列.

(5)当d>0时，数列｛4｝单调___________;当1<0时，数列｛4｝单调___________

2.等差数列前〃项和的性质

(1)S"二九(」左左=1,2,,n且S20T=(2"-1)%；

(2)S"=An2+且为等差数列;

(3)等差数列的前〃项和S"是一个二次函数，当d>0时，S,有最_____值，当d<0时，S“有最值;

其中：

①若已知％和d,则当且仅当〃取最接近对称轴的正整数时，S“有最值;

②若未知%和d,则需找出4的正负交界值；

(4)S心s2m-sm.S3“—s2M依旧是一个等差数列

3.含有绝对值的求和方法：

(1)找到4•4+140的临界值

(2)右“<p,+|阂+|蜀++|a,J=|S,J

若”>p,同+闷+|%|+……+同=闻+国—sj.

S3九+4

1.(2024•广东深圳•模拟预测)已知等差数列｛4｝和色｝的前〃项和分别为S八T„,若亍=了75,则

()

瓦+%

2.（2024•河北石家庄•模拟预测）若数列｛%｝为等差数列，S“为数列｛4｝的前〃项和，a4+ag>0,

S“<。，则3的最小值为（）

S

A.5B.S6C.s7D.S8

3.（24-25高三上•安徽•开学考试）设公差dwO的等差数列｛风｝中，4，生，名成等比数列，则:曹爱

)

A.史B

-巳D

11-I-?

（•新疆•二模）已知等差数列｛%｝的前几项和为，若生则（）

4.2024S“=T,4=

〃8

A.S4B.S5C.s$D.S]

5.（2024•辽宁葫芦岛•二模）等差数列｛4｝中，q>0,Sf,则使得前〃项的和最大的〃值为（）

A.7B.8C.9D.10

6.（2024•河北衡水•三模）已知数列也卜也｝均为等差数列，其前〃项和分别为S,，T“,满足

（2〃+3电=（3〃-1）7；,则7-9=（）

A.2B.3C.5D.6

7.（2024•福建莆田•三模）设数列｛4｝的前w项和为加贝产｛4｝是等差数歹旷是“配=11*'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点四等比数列的性质

1.等比数列通项公式的性质

①若m+n=p+q,则_________________________.

②若m+n=2p,则_________________________.

③若a、b、c为等比数列,则_________________________,b为a、c的_____________________.

④若｛4｝为等比数列，则4+p、J、4+3。…依旧是等比数列.

⑤当q>l且4>0时，数列｛叫单调___________；当0<“<1且。］>0时，数列｛4｝单调___________

2.等比数列前〃项和的性质

①黑、S2nl-s“,、S3,”一星〃依旧是一个等比数列

1.（2024•山东淄博•二模）己知等比数列｛%｝,。2=4，颊=16，则/=（）

A.8B.±8C.10D.±10

2.（22-23高二下•湖南•期末）“>=丽”是“a,b,c成等比数列”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

3.（2024•江苏扬州•模拟预测）记等比数列｛%｝的前“项之积为（，则是“0>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•河北张家口•三模）已知数列｛叫为等比数列，q=1,°2%4=27,则log3（o143a5回7）=（）

A.28B.32C.36D.40

5.（2024•四川内江•三模）在等比数列｛。“｝中，S,为其前〃项和，若品,=5,Sa=15,则邑。的值为（）

A.25B.30C.35D.40

6.（2024•山西晋中•模拟预测）设等比数列｛%｝的前〃项和为%若5“=八3片-1,贝旷=（）

A.-3B.3C.1D.-1

7.（2024•宁夏石嘴山•三模）已知数列｛%｝是等比数列，且a2a34=64,则log?4的值为（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024•福建漳州•三模）已知数列｛4｝是公比不为1的正项等比数列，则r=2是％•%（）=%•%成立的

）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

考点五数列通项公式一一累加法

1.累加法：已知见_4_1=/⑺或an+l-an=/(w)

⑴若已知4—4T=/(〃)，则赋值从—到_____,得到______个式子，累加得____________________.

(2)若已知a,-1—%=/(〃)，则赋值从—到_____,得到______个式子，累加得____________________.

⑶/(〃)可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列.

⑷如论是a“-4T=/(")或%+i-%=/(〃)，均需注意最后求和的项数.

1.(2024•河北唐山•二模)已知数列｛4｝满足4”i=a,+4+2〃，颔=130,则q=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024•陕西咸阳•三模)在数列｛(｝中，％=1,a„+l=an+2n-l,则%=()

A.43B.46C.37D.36

3.(2024•河北保定•三模)设也｝是公差为3的等差数列，且2=。用+%,若4=1,则%=()

A.21B.25C.27D.31

4.(2024•广东•二模)数列也｝满足q=1,an+1=an+n+l.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足6“=—,求数列也｝的前n项和.

5.(2024•福建福州•模拟预测)已知数列｛%｝满足4=2,an=an_x+2n(«>2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记数列的前〃项和为S",证明：Sn<l.

考点六数列通项公式一一累乘法

1.累乘法：已知'=/(〃)或&旦=/(〃)

an-lan

(1)若已知a=/(〃)，则赋值从—到_____,得到______个式子，累加得_____________________.

an-\

⑵若已知%L=/(〃)，则赋值从_到_____,得到______个式子，累加得_____________________.

an

(3)如论是&=/(〃)或嗅=/(〃)，均需注意最后求和的项数.

an-\an

1.(2024•四川泸州•三模)已知S”是数列｛%｝的前〃项和，4=1,加M=(〃+2)S“，则〃”=.

2.(23-24高二上•广东河源•期末)已知正项数列｛叫满足％包=乌4，则%=_____.

〃+14

3.(23-24高二下•浙江•期中)设等差数列｛风｝的前〃项和为S“(〃eN*),S9=45,出+%=5

(1)求数列｛0｝的通项公式；

b,,2024—a*

(2)已知数列｛%｝满足〃=1,-7—=------------(77<2024,MeN),记”的前”项和为求心(侬，

%an+i

4.(2024•陕西西安•模拟预测)设数列｛an｝的前〃项和为S,,q=1,且S,=")％.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若4=4;丁,数列圾｝的前〃项和为〈根恒成立，求实数机的最小值.

an,an+\

考点七数列通项公式-----S“-S“_1法

1.S“-S“_1法：已知数列的前几项和求｛4｝

⑴S「S“T=_________，S„+1-5„=__________.

⑵若直接得出｛«„｝的解析式，需检验_____________是否成立

⑶若求S”的解析式，应反向把｛%｝化为____________.

⑷/（1）%+/（2）/+/（3）/++/（〃）4表示数列________的前几项和.

1.（2024•山东济南•三模）若数列｛%｝的前〃项和S“="（及+1）,则应等于（）

A.10B.HC.12D.13

2.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）数列也｝的前〃项和为S.=3-2%,weN*,则》=（）

16„211-65

A.—B.-----C.—D.—

81812727

3.（2024•江苏盐城•模拟预测）若数列｛见｝满足2〃4+23%+・・・+24=4〃，｛%｝的前〃项和为S“，则

()

2,〃=1

4n-1+5

A.S=<!4〃一4B.S“=---------

n-------,n>23

3

2〃+44〃+2

C.S0=-—D.=

33

4.（2024•安徽•三模）已知数歹的前〃项和S“满足S“=/+〃,贝|4=（)

A.272B.152C.68D.38

5.（2024•海南海口•模拟预测）记S“为数列｛4｝的前几项和，已知2y=3。0-1.

（1）求｛q｝的通项公式;

（2）设bn=an+log3an,求数列｛2｝的前〃项和队.

6.(2024•四川雅安一模)已知数列｛%｝的前八项和为S“，且E+自+V+L+&-+4”，其中

23n

〃£N*.

(1)求｛qj的通项公式；

⑵若数列也｝满足为q+i=4,证明：£%＜口

k=T3

7.(2024•湖北•一模)己知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=；,S“=(2"-l”,.

(1)求｛qj的通项公式;

(2)证明：S2S4S2„>1.

考点八数列通项公式一一构造法

1.构造法

⑴若已知a“=qa“_i+相，则构造数列｛4+%｝为公比为q的等比数列，则旦旦=丝旦土"4=q,解方

°„-1+2an-\+几

程得力

⑵若已知4=44］+也+6，则构造数列｛4+2〃+//｝为公比为q的等比数列，则一%+'”+〃—

=qj+k：+b+2〃+jq,解方程得彳和〃.

nn

(3)若已知an=qani+kp,则构造数列［an+Ap］为公比为“的等比数列，则人十』，；

a„-x+^P"

nn

=qan_x+kp+Ap=解方程得力.

“4p〃T

⑷若己知。“=敦"i+如"，则构造数列为公差为左的等比数列.

(5)若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明.

1.(2024•内蒙古包头•三模)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=3,Sn=l+an+1.

⑴证明：数列将卬-1｝是等比数列，并求S“；

⑵求数列的前〃项和r..

2.（2024高三下•四川成都•专题练习）已知数列｛”“｝的前〃项和为S“，且满足S“=2a,+2〃一1.

⑴求证：数歹U｛4-2｝为等比数列；

（2）已知6“=畸：）,求数列｛%｝的前〃项和.

3.（2024•云南曲靖•一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=2a“-77

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列他，,、｝满足27=」4」+1，其前〃项和为T”，求使得看＞202黑3成立的”的最小值.

anan+\2024

4.(2024•陕西西安•一模)已知数列｛%｝的前"项和为S"，4=1,且满足("+l)S“=g,+1-g"(“+l).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设么=+34)•cosmi,求数列｛b｝的前〃项和(.

22

5.(23-24高三上•山东枣庄•期末)已知数列中，ai=l,na„+l=(n+l)a„.

⑴求巴；

7〃+1.5

(2)设么=，求证：伪+为++b<――.

〃屋4+216

6.(2024•广东•模拟预测)已知数列｛见｝的前〃项和为%且｛%+S.｝是以2为公差的等差数歹!J.

(1)若q片2,求证：｛凡一2｝是等比数列；

(2)对任意〃，机都有，——^>1成立，求外的取值范围.

n-m

考点九数列通项公式一一倒数法

1.倒数法：已知4二自

枇_1+〃

(1)取倒数得—=久T+〃=+4

an4-1«„-1

⑵若〃=1,则数列］工（是以__________为首项，__________为公差的等差数歹U.

（3）若〃/1,则进行二次构造等比数列.

,、72a

1.（2024高三•广东•模拟预测）已知数列｛4｝的首项且满足4+1=三力

a

2.（23-24高二上•甘肃庆阳•期中）已知数列｛q｝满足。用=

,、b

⑴证明：存在等比数列也｝,使％=武p

1111

⑵右一+—+—+…+—<2023,求满足条件的最大整数〃.

考点十数列求和——裂项相消法

1.裂项相消法

mml1

----------------------(---------------

(kn+A)(kn+4)X—〃kn+A妨+〃

mm

⑵a-(Jkn+九一[kn+〃)

ndkn+为+J切+〃A-//

2〃11

(2n+1+A)(2n+2)2〃+42n+1+2

(4)常见裂项：一1—1

n(n+l)(2〃+1)(21)

11

y/n+l+y/n^2n+1+^2n—1

1.(24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习)己知数列｛%｝的首项为1,且a.M=2a"("eN*).

⑴求数列｛叫的通项公式;

2”T

(2)若么=求数列面｝的前〃项和4.

(。"+1)(。用+1)'

2.(2024•四川遂宁•模拟预测)已知数列｛%｝满足。用=。“+3,且g=4.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设K,求数列｛2｝的前〃项和S”.

an'an+l

3.(2024•四川泸州•二模)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“,%+%=12足=16.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)数列出｝满足2=，T为数列也｝的前”项和,求T”的值.

一】n

4.(2024•陕西榆林•模拟预测)已知等差数列｛为｝的公差不为0,其前w项和为S“，且的%=4%，

5=-49.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列(:,、的前n项和T„.

5.(2024•广东•二模)数列｛4｝满足q=1,an+l=a„+n+l.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足么=—，求数列｛bn｝的前n项和.

6.(2024•新疆•三模)若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则

称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1,3,27,729,……已知数列｛%｝是一个二阶等比数列，

—1,a2=4,=64.

⑴求｛4｝的通项公式；

,〃+2

(2)设2=—，求数列也｝的前〃项和

(〃J」Og24+l

考点十一数列求和——错位相减法

1.错位相减法：q,=a”4且对为等差数列，公差为d,2为等比数列，公比为q.

(1)Sn=01bl+a2b2+a3b3+...+4T4T+。也①

⑵qSn=地+a力3+a3b4+...++anbn+1②

⑶①-②得(1—q)S“=—。屹“+1+db2+db3+db4+...+dbn

⑷求和得(1-=a占—anbn+l+

i-q

⑸化简得最终答案.

Z7bA

(6)的=(由2+切4,，则3〃=04〃+3)/—3,其中A=——，B=——.(不建议直接用)

q-1q-1

1.(24-25高二上•福建•期中)在递增的等差数列｛%｝中，/网=250,a5+a6=35.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛分2/，｝的前〃项和Tn.

2.(2024•广东肇庆•一模)已知等比数列｛%｝的各项均为正数，且％=%/，%=%+2%.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)右么=—+—+—++—,求数列｛2｝的通项公式.

d?^^3

3iQ

3.(2024•四川雅安•一模)已知数列｛q｝满足%=］凡7+?(”eN*，>n>2).

3248

⑴证明：数列3-g｝是等比数列；

(2)求数列｛"•%｝的前n项和Hn-

⑶令勿=护、，数列也｝的前〃项和为I,证明：“一1+!<(<”.

一D4

4.(24-25高二上•甘肃庆阳•阶段练习)已知数列｛%｝的满足q=lM用=2怎+l(〃eN+).

(1)求数列｛%｝的通项公式.

2〃

⑵设数列一；前〃项和为S.，求s”.

11115/、、

(3)证明：—+—+—+■•+—<w，("eNT+).

qa2%"用3

5.(2024・贵州遵义•模拟预测)已知公差为2的等差数列｛凡｝和公比为2的等比数列也,｝满足:

4+%=。3，。2=.

⑴求和力;

(2)求数列｛4•〃｝的前〃项和S”.

6.(2024•湖北•一模)在公差不为。的等差数列｛4｝中，4=1,且%是4与知的等比中项.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若2=2°”，cn=a„b„,求数列｛c“｝的前〃项和S”.

考点十二数列求和——分组求和法

1.分组求和法：Cn=an+bn

⑴记c”的前〃项和为S“，记的前几项和为T.，记4的前几项和为Q.

⑵分别求北与

^S,^Tn+Qn.

1.(2024海南海口•模拟预测)记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知2S"=3a,,-l.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设bn=a,+log3an,求数列也｝的前〃项和(.

2.(2024•贵州铜仁•模拟预测)已知正项等差数列｛%｝满足：4=1且％,%，2%-1成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛.｝满足：2=2。”，weN*,求数歹!],“+£｝的前〃项和却

3.(2024•山东•二模)已知数列｛%｝,也｝中，6=4,々=-2,｛叫是公差为1的等差数歹1J,数列

｛。"+或｝是公比为2的等比数列.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)求数列｛2｝的前〃项和7；.

4.(2024•河北邯郸•二模)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，的=3,且标=病+后.

(1)求｛q｝的通项公式；

4s

(2)若勿=--,求数列｛.｝的前〃项和T..

anan+\

考点十三数列求和—倒序相加法

1.已知数列｛%｝与其前〃项和s”

（）第=----------------（）

由定义可知Sn—___________________---------------------1--------------------------2

⑴+（2）得2S〃=_______—

左右两边同时除以，可得s.。

2.使用前提:_______________________—

1.（23-24高二上•山东青岛•阶段练习）等比数列｛%｝的各项均为正数，且%&+%%=18,则

log3a1+log3a2+---+log3a10=（）

A.12B.10C.5D.21og35

2.（23-24高三上•云南曲靖•阶段练习）已知数列抄“｝是公比为q（4*1）的正项等比数列，且

+/（%23）=（）

21nZ>1012=0,若/（x）=£^,则〃6j+9（d）+

A.4069B.2023

C.2024D.4046

3.（2024•四川成都•模拟预测）已知=/-3Y,贝|］/［焉］+/［焉］++/（黑］=（）

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8094

4.（2024•浙江•一模）若/（无）=（无一2丫+2（尤一2）+2,已知数列｛0｝中，首项4=看，

79

%=q+g+g++&，nwN*,贝=.

23ni=i

考点十四奇偶数列

\h,n=2k-l

1.奇偶数列求和：已知q=<,,其中。〃的前〃项和为S”，21的前〃项和为】，c〃的前〃项和为

[cn,n=2k

Qn-

思路一：分类讨论

⑴+Q

(2)若〃为偶数，贝|S“=7；+Q“

22

⑶若〃为奇数，贝US“=%+QH

~r~r

思路二：并项求和

⑴记4=bn+cn

⑵邑〃=4+%+4+…+4?

(3)若“为偶数，则S,=4+d2+4+•••+"〃

2

(4)若〃为奇数，则=4+&+4+…"

2

2.常见奇偶数列模型

(1)若。〃十二dn,则________________,相减得_____________________.

当〃为奇数时，数列为以____为首项，_______为公差得等差数列，4=_______________.

当〃为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列，4=.

⑵若4=W,则——相除得_____________________.

当九为奇数时，数列为以为首项，

为公差得等比数列，an=.

当九为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列，a=.

b—2k—1

(3)若4=〃'",则直接按奇偶分开讨论.

[cn,n=2k

1.(2024•湖南湘西•模拟预测)记S“为等比数列｛为｝的前"项和，已知S"=a”+「1.

(1)求｛%｝的通项公式；

%,〃为奇数，

(2)设d=，]〃为偶数,求数列色，｝的前20项和凰•

^log2an-log2an+2''

2.(2024•辽宁•模拟预测)已知数列｛%｝的前附项和为%且4s“=5。”-2.

(1)证明：｛为｝是等比数列，并求其通项公式；

⑵设么=(-1)'.砥等,求数列间的前100项和九.

3.（2024•陕西渭南•二模）已知等比数列｛%｝的各项均为正数，前〃项和为S“，且满足4+%=3,

S4=15.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足%=4+（-l）"（3n-l）,求数列也｝的前2n项和%

%+%，〃为奇数

4.（2024•四川成都•模拟预测）已知数列｛%｝满足%=1,%=1，当"23时，an=

2aLz+Ln为偶数

⑴求。4和。6,并证明当〃为偶数时｛%,+1｝是等比数列;

(2)求〃]+〃3+“5+....+〃29

5.（2024•山西•三模）已知等差数列｛%｝的公差d>0,前〃项和为S,,且%4=-5,S8=-16.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

fa,n=2k—l/*、<、

⑵若d=1”,（林N）,求数列也｝的前2"项和

考点十五数列插项问题

1.插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.

2.常见插项问题

(1)在区,和4用之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等差数列，

记这个等差数列的公差为dn,则an+l-an=(〃+1)•dn,整理的力=________________________.

(2)在乙和%+i之间插入几个数，使这”+2个数构成等比数列，

记这个等比数列的公比为纵，则旦旦=(q,S+i,整理的q,________________________.

an

(3)在以和W+1之间插入2"个加，组成新数列生，八%，九九〃3,九八九〃4，・・・，。〃

求这个数列的前几项和，需分清｛凡｝和加各有多少项，分组求和.

1.(2024•广东广州•二模)己知等差数列｛%｝的前〃项和为S.,电向=2%+2,且[今，为等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵在2号与2羊之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为dn(d“>0)的等差数列,记数歹1]]+卜勺前

〃项和为T”，求证:Tn<3.

2.(23-24高三下•黑龙江哈尔滨•开学考试)记数列｛为｝的前〃项和S“，对任意正整数"，有2sli=以"，

且々2=3.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)对所有正整数机，若则在&和4+1两项中插入4%由此得到一个新数列也｝,求也｝的

前91项和.

3.(2024•湖南•二模)已知数列｛%｝的前附项和为S,,满足2S“+%=3；数列｛与｝满足么+用包=2〃+1,

其中4=1.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)对于给定的正整数力。=1,2,,〃)，在为和q+i之间插入i个数。,“，“，念，使4,。，7，,，g，/i成等

差数列.

(i)求看=。1+°21+°22+―+%+%2++g.；

粼T+

(ii)是否存在正整数机，使得------黑彳恰好是数列｛%｝或出„｝中的项？若存在，求出所有满足条

b-1-------

2Tm-3

件的优的值；若不存在，说明理由.

4.(2024•河北沧州一模)在数列｛q｝中，已知q+1叁++券=2”.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)在数列｛%｝中的q和々之间插入1个数与，使I，/,4成等差数列；在电和角之间插入2个数

尤21，物，使外—，为成等差数列；…；在。"和。用之间插入〃个数/1，/2，，尤"“，使

»Xnn»an+l成等差数列，这样可以得到新数列｛々｝：%22,?,玉1,玉2'七3,。4'，，设数

列出｝的前〃项和为s“，求S55(用数字作答).

考点十六数列最值问题

1.求最值的常见方法：(1)__________;(2)_____________；(3)____________；(4)____________；

2.求数列单调性的方法：(1)作差法(与_____比较大小)(2)作商法(与_______比较大小)

注意：虽然数列可近似视为函数(定义域为正整数)，但是一般不会用导数讨论单调性，因为求导太复杂。

1.(2024•浙江•一模)已知数列｛%｝的首项是1,其前九项和是S“，且。用=4,+2〃+1,“eN*.

(1)求出，4的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)若存在实数4,使得关于〃的不等式九+25"，〃eN*有解，求实数X取到最大值时〃的值.

2.(2024•山东•模拟预测)已知数列｛%｝,抄“｝,｛c,J的首项均为1,；。用为%,%的等差中项，且

2+2。“+1-2g=0.

(1)若数列｛2｝为单调递增的等比数列，且4+4=1%，求｛%｝的通项公式；

2

(2)若数列也｝的前n项和Sn=n,数列匕｝的前n项和为T”，是否存在正整数机使(,>送对〃eN*恒

成立？若存在，求出机的最大值；若不存在，请说明理由.

3.(2024•四川自贡•三模)已知数列｛。,｝的前项和为S“，且S“-㈣

(1)证明：数列｛4｝为等差数列；

⑵若出，%，知成等比数列，求S,的最大值.

4.（2024•重庆九龙坡•三模）已知S,是等差数列｛为｝的前〃项和，S5=a11=20,数列｛%｝是公比大于1的

等比数列，且耳=4，瓦-瓦=12.

⑴求数列｛«„｝和