上海市松江区2024-2025学年高三年级上册期末质量监控数学试题（含解析）

松江区2024学年度第一学期期末质量监控试卷

高二数学

（满分150分，完卷时间120分钟）

考生注意：

1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或

写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.

2.答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名.

3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合/=巴+8）,8={2,4,6,8},则/8=.

【答案】{4,6,8}

【解析】

【分析】找出集合N与集合8的公共元素，即可确定出交集.

【详解】因为集合/=[4,+8）,5={2,4,6,8）,

所以/。5={4,6,8}.

故答案为：{4,6,8}.

,.4

2.若sin0=—,则cos20=

5--------

7

【答案】--

25

【解析】

4

【详解】Vsind=~,

7

贝iJcos26=l—2sin2，=l—2

25

7

故答案为----.

25

3.函数y=lg（3x+l）+J匚1的定义域是.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【详解】要使函数了二年0^+9+足1有意义，则“_》〉0，解得一m<xWl，

即函数y=lg（3x+l）+J匚1的定义域为.

故答案为：［—；』.

4.在V48c中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若。=4,b=6，C=；兀，则。=

6

【答案】V31

【解析】

【分析】由余弦定理可得答案.

【详解】c2^a2+/>2-2a/）cosC=16+3-2x4x73x一方-=31,

c=VT1，

故答案为：V31.

5.若复数z满足i.z=2+3i（其中i是虚数单位），则复数z的共辗复数亍=

【答案】3+2i

【解析】

【分析】利用复数的除法运算得到z,根据共飘复数的定义即可得到结果.

♦HR、■+,日汽*/曰2+3i（2+3i）i—3+2i

【详解】由意思侍，z=----=-----—=------=3—21>

ii2-1

.'.Z=3+2i.

故答案为：3+2i.

6.已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15兀，则该圆锥的高为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高.

【详解】圆锥的底面半径r=3,设其母线长为/,则兀”=15兀，解得/=5,

所以该圆锥的高〃="了=752-32=4.

故答案为：4

7.已知（X+2）4=。0+。4%4，则%+%+。3+。4=-

【答案】65

【解析】

【分析】根据二项展开式，利用赋值法求解.

【详解】令x=0,则有4=24=16,

再令X=l,则有+%+。2+。3+。4=34=81,

所以%+%+%+%=81-16=65,

故答案为：65.

8.已知等比数列｛%｝中，1082%+1。82%=3,2"2.2%=64,则即）=.

【答案】512或工

64

【解析】

【分析】根据等比数列的性质可求见。的值.

【详解】因为log2%+log2a4=log2（%七4）=3，所以=8，

因为2%-2"3=2%+%=64,所以的+。3=6，解得。2=2,%=4或。2=4,%=2.

当。2=2,%=4时，q=2,所以a1。=2x2®=512；

当。2=4,%=2时,,所以%o=4x[g]=:.

故答案为：512或2.

64

3\x>0

9.已知函数y=/（x）的表达式为/（x）=1,则满足〃机）2/（阴+2）的实数加的最大值为

—,x<0

【答案】-1

【解析】

【分析】结合偶函数定义可得/（x）为偶函数，再利用指数函数对称性解出不等式即可得.

【详解】当x〉0时，有/（-x）=J=3x=/（x）,又/（x）定义域为R,故/（x）为偶函数，

又当尤＞0时,/（x）单调递增,故对/（加）2/（加+2）有加,加+2|,

即加22（加+2）~,即有4〃z+4V0,解得加V-1,

故〃?的最大值为-1.

故答案为：-1.

22

10.已知点尸为椭圆土+匕=1上任意一点，ER为圆N:（x-1）2+/=4的任意一条直径，则丽.而的

43-

取值范围是.

【答案】［-3,5］

【解析】

【分析】利用向量运算将丽.而转化为-4+|赤，通过求|NP|的取值范围来求得正确答案.

【详解】圆N的圆心为N（l,0）,半径为2.

因为而•而=（屉—而）•（而_而卜赤.而—而.（屉+标）+标2

=T砺H而］•COS7T—0+|祈『=-4+M.

22

又因为椭圆\+弓_=1的。=2,b=g,c=l,N（l,0）为椭圆的右焦点，

22/2A

设尸（%o，yo），寸+^=1/；=31-"~T=3-3%

43147-丁

X

|凹=J（x（）T『+3=^o-2x0+1+3-^

L±2i2_l,

七一2…第T16二==

22

-2XQV2,-1«—-XQV1，1V2—-XQV3,

所以|猫目1,3],式网,

APE-PFe[-3,5],

故答案为：[-3,5]

H.已知平面向量2,B的夹角为6,与商的夹角为3。，同=1,々和B-a在B上的投影为x,外则

x(v+sin^)的取值范围是.

/V3-1V2

【答案】

4F

【解析】

【分析】根据题意可知彼-方与书的夹角为28,从而根据正弦定理可得收-一，再根据投影的定

112cose

义表示出x，N,最后对x(y+sin。)化简变形通过正弦函数的性质即可求解.

【详解】因为平面向量1，B的夹角为，，与1的夹角为3。,

所以与3的夹角为26,

所以根据正弦定理可得归一“L同，同=i,

sin。sin2。

所以忸―N=同=_____J__，所以,一同=^^,

sin3sin202sin6cos82cos9

0<^<71

7T

因为<0<2，<兀，所以0W，<—,

3

0<3^<7t

所以1在3上的投影为X=同cos。=cos。，

GZD

不一3在3上的投影为y=W—Wcos26=鲁3,

所以x（y+sin0）=cos伏仝二+sin。）

2cos6

=-cos26>+—sin26*

22

=^^sin（2，+：）

因为046＜二，所以042。〈生，所以工42，+巴＜小，

334412

所以q4＜sin[2，+：]w'，所以x（y+sin。）的取值范围为与

（V3-1万

故答案为：^—，―

[42J

【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用,

解题的关键是根据向量投影的概念表示出XJ,考查计算能力，属于难题.

12.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成.黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.根据路

况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间.由相关数据，驾驶员反应距离Si（单

位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：邑=0.7584丫；刹车距离§2（单位：米）关于车速v

2

（单位：米/秒）的函数模型为：52=0.072v,反应距离与刹车距离之和称为停车距离.已知某个十字路

口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十

字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为秒（结果精确到0.01秒）.

【答案】3.70

【解析】

【分析】依题意求出反应距离与，刹车距离邑，即可得到路程s,再根据速度、路程、时间的关系计算可

得；

【详解】解：依题意当小汽车最大限速v=70km/h（约19.44tn/s）时，

反应距离'=0.7584x19.44它14.7432m,杀ij车距离S?=0.072x19.442它20m,

所以停车距离为14.7432+27.2098=41.953m,

又路口宽度为30m,所以s=41.953+30=71.953m,

s71953

所以时间t=-=—x3.70s；

v19.44

故答案为：3.70

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每

题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.已知。〉6〉0,以下四个数中最大的是（）

a+b

A.bB.yl~abC.D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】首先得审〉痴〉b,而丘、9都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小

即可.

【详解】由题意。〉6〉0,所以6="＜疝，

由基本不等式可得"22J茄，同时注意到awb,所以"2〉J茄〉b,

22

jJ+必j^a+b^_a2+b2a2+2ab+b2_(a-b)2

而审都是正数，所以疝〉b.

故选：D.

14.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退

休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工

延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：

1965年1965年1965年1966年

出生时间...

1月-4月5月-8月9月-12月1月-4月

改革后法定退休年龄60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月...

那么1974年5月出生的男职工退休年龄为()

A.62岁3个月B.62岁4个月C.62岁5个月D.63岁

【答案】C

【解析】

【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可.

【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为%=60工岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为

6

%—60—I—岁，

264

所以公差为:，设5月出生的男职工退休年龄为{%},{4}是首项为60：,公差为;的等差数列，

1974年5月出生的男职工退休年龄为=60：+9x；=62、.

故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.

故选：c.

15.抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件/、8和

C,则下列说法错误的是()

7

A.事件N、2?和C两两互斥B.尸(/)+尸(5)+P(C)=—

8

C.事件/与事件5口。是对立事件D.事件ZU5与相互独立

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件的定义判断A,；利用互斥事件概率加法公式求解判断B；利用对立事件的定义判断

C；利用相互独立事件判断D.

【详解】抛掷三枚硬币，样本空间0={(正，正，正),(正，正，反),(正，反，正),(反，正,正)，

(正，反，反),(反，正，反),(反，反，正),(反，反,反)},共8个样本点，

事件/={(正，正，正)},8={(正，正，反),(正，反，正),(反，正，正)},C={(正，反，反),(反，正，反),(反，反,正)},

对于A,事件48,C中任何两个事件都不能同时发生，事件48,C两两互斥，A正确；

1337

对于B,P(A)+P(B)+P(C)=-+-+-=B正确；

8888

对于C,事件A与BuC可以同时不发生，事件N与事件BuC不是对立事件，C错误；

131333

对于D,P(A+B)=P(A)+P(B)=-+-=P(B+C)=P(B)+P(C)=-+-=

882884

P[(^U5)n(5uC)]=P(5)=-=P(A\JB)P(BuC),则事件NUB，相互独立，D正确.

故选：C

16.设函数y=/(x)与y=g(x)均是定义在R上的函数，有以下两个命题：①若y=/(x)是周期函数，

且是R上的减函数，则函数y=/(x)必为常值函数；②若对任意的。，6eR,有

|/(。)一/他)闫g(a)—g(b)|成立，且=g(x)是R上的增函数，则^=/(x)—g(x)是R上的增函

数.则以下选项正确的是()

A.①是真命题，②是假命题B.两个都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D,两个都是假命题

【答案】A

【解析】

【分析】用反证法判断命题①，用反例判断命题②.

【详解】①若y=/(x)是周期函数，设T是它的正周期，即/(x)=/(x+T),

假设函数y=/Q)不是常值函数，设再</，且"xjw"%),又/(七尸/(%)恒成立，因此

/(西)〉/(%)，

取〃=［上/］+1，其中［血尸］是不大于毛土的最大整数，则再+〃7>%，

而/(再)=/(占+”)，

所以/(西+江)>/(9),这是/(X)是减函数矛盾，所以/(再”)(工2)不成立，

所以/(%)=/(%)，即/(X)是常值函数，①是真命题；

②取/(x)=x,g(x)=2x,则对任意的a,b,|/3)-/倒=,一同，|g(a)—gS)|=2|"W，满足

|/(a)-/(Z7)|<|g(«)-g(&)|,

但/(x)-g(x)=-X是减函数，②是假命题.

故选：A.

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5,现从一批该日用品中随机

抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X12345

fa0.20.45bc

(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值;

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为为、/、七,等级系数为5的2件日用品记为

%、内,现从为、/、七、%、为这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，

写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

【答案】(1)(2=0.1,6=0.15,c=0.1

(2)所有可能的结果详见解析；概率为0.4.

【解析】

【分析】(1)根据频率和频数的关系可求ac的值，根据频率和为1可求。的值.

(2)用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可.

【小问1详解】

因为等级系数为4的恰有3件，所以6=上3=0.15；

20

2

等级系数为5的恰有2件，所以。=一=0.1；

20

因为a+0.2+0.45+b+c=1,所以a=0.1.

故a=0.1,6=0.15,c=0.1.

【小问2详解】

从事、%、W、%、出这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：

｛再,％｝'｛再,七｝‘｛"1，%｝，｛/，%｝,｛*2，w｝'｛*2，％｝‘｛12，％｝,｛工3，％｝'｛七，％｝,｛乂，/｝共

10种情况.

这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：｛占,/｝，｛石,七｝,｛%,演｝,｛必,为｝,共4个.

4

因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：尸=—=0.4.

10

18.如图，已知48_L平面NC。，AB//DE,A/CD为等边三角形，/。=。£=248,点尸为CD的中

点.

(1)求证：4F//平面3CE；

(2)求直线89和平面45C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】(1)设AD=DE=2AB=2a,建立空间直角坐标系N-斗，利用向量的坐标运算得出

AF=^(BE+BQ,结合线面平行判定定理即可得结论；

(2)确定平面48c的一个法向量亢，利用而和力的夹角求解即可.

【小问1详解】

因为45,平面/CD,AB!/DE,A/C。为等边三角形,

设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直角坐标系幺—师,

则A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a,V3a,0),E(a,^a,2a)，

•.•尸为CD的中点，.•/(!■生当a,0),

AF=(1-t7,^-a,0)，BE=(a,拒a,a),BC=(2a,0,-a),

—•1—■——.

AF=-(BE+BC),/厂仁平面3CE,

4F//平面5CF.

【小问2详解】

又3=(0,1,0)是y轴上的单位向量，则其是平面45。的一个法向量,

因为而=Qa,*a,—a)，设跖和平面5CE所成的角为，,

V3

\BF-n\fl

则nilsin(9=。-LT_V3

回祠2axi4

・・・直线BF和平面ABC所成角的正弦值为巴.

4

19.为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB

为半圆的直径，。为半圆的圆心，=2/。=200m,现要将此空地规划出一个等腰三角形区域尸(底

边跖VLCD)种植观赏树木，其余区域种植花卉.谡ZMOB=d,.

jr

（1）当。二—时，求△尸AW的面积；

3

（2）求三角形区域尸跖V面积的最大值.

【答案】（1）（3750百+7500）m2

（2）（7500+5000拒）m?

【解析】

【分析】（1）利用三角函数表达出"M4E的长，再由面积公式即可求解.

（2）用，的三角函数表达出三角形区域尸九W面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域尸面

积的最大值.

【小问1详解】

设肱V与48相交于点E,则Affi=<W.sin4=100x'=506,

32

则AfiV=Affi+EN=50百+100，^£=100+100cosy=150,

易知|Z£|等于P到MN的距离，

x(50V3+100)x150=375073+7500(m2)

【小问2详解】

过点P作P尸W于点尸，则尸尸=ZE=100+100cos（9,

而儿W=〃E+EN=100+100sine,

则三角形区域PMN面积为S=^\MN\-\PF\=5000(1+sin6)(1+cos，)

=5000(1+sin9+cos0+sinOcos8),

TT713兀

设sine+cos8=，，因为。所以F

45T

故/=sin，+cos6=V^sin[，+：]e[l,V^],而$也，(：056=彳^，

(尸―

则S=5000l+r+—=2500(/+l『，故当f=0时，S取得最大值，

I2J

22

5max=2500(72+1)=7500+5000^(m)

故三角形区域尸肋V面积的最大值为(7500+5000后)m2

20.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线.若双曲线G与

椭圆G是夬轴”曲线，且椭圆a：：+，=l(0<b<3),e-=¥(9、02分别为曲线G、G的离

心率).已知点"(1,0),点P为双曲线G上任意一点.

(1)求双曲线G的方程；

(2)延长线段PM到点°,且怛比|=2|MQ|,若点Q在椭圆。2上，试求点尸的坐标；

(3)若点P在双曲线G的右支上，点/、3分别为双曲线G的左、右顶点，直线交双曲线的左支于

点R,直线NP、8R的斜率分别为左在、kBR.是否存在实数X,使得右？=2原&?若存在，求出X的值;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)--/=1

(2)伍,—百)或(6,⑹或(3,0)

（3）当尸、3重合时，AeR；当尸、3不重合时，存在实数2使得左左理由见解析

22Q八

【解析】

【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案；

（2）设「（西,必）,。（々,%）,由=可得％=方，，%=-5%，代入°?方程与G方程联

立，即可求得点尸的坐标；

（3）讨论当P、8重合时，2eR;P、8不重合时，设出直线尸R的方程为》=卬+1,与双曲线方程联立,

消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.

【小问1详解】

22

根据题意双曲线。2:^_y_=l(O<b<3)，

~9~V

因为邪2=加上x也+廿=逑,解得6=1,

J339

丫2

双曲线G的方程为黄，=i；

【小问2详解】

22

由⑴知，=1,C2：y+/=1，

设P（X1,必歹2），

己知"(1,0),x\PM\=2\MQ\,

mi”3-X]1

所以，％=一]%，

由点0在椭圆Q上，则［2）

9

又点p为双曲线G上任意一点，则1―3=1,

苞=6

联立，解得<

所以点P的坐标为(6,-J5")或(6,6)或(3,0)；

【小问3详解】

当尸、8重合时，AeR；当尸、8不重合时，存在实数2=(,使得幻尸=；幻&,理由如下,

当尸、5重合时，由题意左以=0,则七尸二0,贝!J4ER,

当尸、8不重合时，kBR^Q,设直线PR的方程为x=(y+l,P(x”外)，火(吃,外),

x=ty+\

-9^y2+2ty-8=0,

因为双曲线的渐近线方程为V=±p

又直线产加交双曲线的左支于点R,右支于点尸，所以/e(-3,3),

由韦达定理得，M+工=；?与，"为=三\，

t—yt—y

%必

所以k”占+3%+4%,"3_2=夕心―2%

kBR"%仍+4匕沙办+48

/一3ty^一2

—8/c

_/2_9_X_8-2%('_9)_力

『+-16_4"(尸.9)2，

9U-9•'J

所以存在实数2=3，使得幻尸=；心&-

【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方

程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定

值.

21.定义在。上的函数y=f(x),若对任意不同的两点5(x2,/(x2))(x1<x2),都存在

x0e(xpx2),使得函数y=f(x)在/处的切线/与直线48平行，则称函数y=/⑺在。上处处相依，其

中/称为直线48的相依切线，(七,％2)为函数y=f(x)在/的相依区间.己知/(x)=-(<2+l)x2+ta.

(1)当a=2时，函数—x)=V+/(x)在R上处处相依，证明：导函数歹=尸(力在(0,1)上有零点;

⑵若函数G(x)=lnx+/?D在(0,+8)上处处相依，且对任意实数加、"，m>n>Q,都有

G(加)恒成立,求实数。的取值范围.

m-n

0

(3)当a=0时，H(X)=^—=(X>Q),(国,％2)为函数>=〃(％)在%=1的相依区间，证明:

x；+x2>2.

【答案】(1)证明见详解

(2)—,+co^(3)证明见详解

【解析】

【分析】(1)求出歹=厂'(了)，根据零点存在性定理判断证明;

(2)根据函数G(x)在(0,+8)上处处相依，可